[논문]고등학생의 이차함수 표상에서 나타난 그래프 사용 모드 및 표상의 유연성 분석

이유빈; 조정수

고등학생의 이차함수 표상에서 나타난 그래프 사용 모드 및 표상의 유연성 분석
An Analysis Modes Related to Use of Graph and Flexibility of Representation Shown in a Quadratic Function Representation of High School Students 원문보기

학교수학 = School Mathematics, v.18 no.1, 2016년, pp.127 - 141

이유빈 (울산신정고등학교) , 조정수 (영남대학교)

초록
AI-Helper

본 연구는 Chauvat의 그래프 사용 모드에 근거하여 고등학교 1학년 학생의 이차함수 문제해결에서 나타나는 그래프 표상의 사용 모드를 분석하고자 한다. 이 분석으로부터 Bannister (2014)의 표상의 유연성을 통해 연구 참여 학생들의 이차함수 이해 정도를 조사하였다. 그 결과 고등학교 1학년 학생들이 주로 사용하는 그래프 표상 모드는 계산 도표학적 모드이며, 조작적 모드를 사용할 경우에는 오류를 발생하는 것을 알 수 있었다. 그리고 함수의 이해를 대상과 과정 관점에서 표상의 사용으로 분류한 Bannister(2014)의 유연성의 분류에서는 과정 관점으로 함수를 이해하고 두 표상 사이에 조작이 일어나지 않는 경직된 형태를 보이는 것으로 나타났다. 이러한 결과를 바탕으로 교실에서 학생들을 위한 그래프 표상 사용에 대한 교육 및 다양한 관점으로 함수를 이해할 수 있는 교수 -학습 방법에 대한 연구가 필요할 것으로 보인다.

Abstract ▼ AI-Helper

This study analyzes modes related to use of graph representation that appears to solve high school students quadratic function problem based on the graph using modes of Chauvat. It was examined the extent of understanding of the quadratic function of students through the flexibility of the representation of the Bannister (2014) from the analysis. As a result, the graph representation mode in which a high school students are mainly used is a nomographic specific mode, when using operational mode, it was found to be an error. The flexibility of Bannister(2014) that were classified to the use of representation from the point of view of the object and the process in the understanding of the function was constrained operation does not occur between the two representations in understanding the function in the process of perspective. Based on these results, the teaching on use graph representation for the students in classroom is required and the study of teaching and learning methods can understand the function from various perspectives is needed.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

이들은 함수 문제 해결의 성공 여부와 과정과 대상 관점을 연결하여 6가지의 유형의 문제 해결 유형을 세분화하였다. 그리고 학생들의 문제 해결력의 향상과 대상과 과정 관점의 형성을 위해서 지필환경을 보완할 수 있는 동적인 교육 공학 환경의 필요성을 주장하였다.
따라서 본 연구는 선행 연구 분석을 통해 드러난 이런 측면을 보완하기 위해 Chauvat의 그래프 사용 모드에 근거하여 고등학교 1학년 학생의 이차함수 문제해결에서 나타나는 그래프 표상의 사용 모드를 분석하고 Bannister(2014)의 표상의 유연성을 통해 연구 참여 학생들의 이차함수 이해 정도를 조사하였다.
본 연구의 결과도 이러한 그의 주장을 뒷받침한다. 따라서 학생들이 그래프를 단순히 점들의 연결이라는 개념을 벗어나 다양한 모드로 그래프 표상을 사용할 수 있는 경험과 그래프 표상을 함수 표상의 하나로 인식하고 조작, 사용할 수 있는 과제를 풍부하게 제공하는 수업이 필요함을 본 연구를 통해 알 수 있다. 그리고 학생들이 계산도표학적 모드를 선호하는 원인 등에 대한 연구가 필요함을 알 수 있다.
본 연구는 학생들이 그래프 표상을 어떻게 사용하고 있는지를 살펴보고 이를 통해 이차함수에 대한 이해를 과정과 대상 관점에서 살펴보고자 하였다. 이에 본 연구의 결과 학생들의 그래프 사용 모드는 수치적 결과를 획득하기 위해 그래프를 사용하는 계산 도표학적 모드가 주된 사용 모드이며 표의기호적 모드의 사용의 경우 많은 학생들이 오류를 보임을 알 수 있었다.
본 연구는 학생들이 그래프 표상을 어떻게 사용하고 있는지를 살펴보고 이를 통해 이차함수에 대한 이해를 과정과 대상 관점에서 살펴보았다. 본 연구 결과로부터 얻은 결론과 그로부터의 시사점은 다음과 같다.
예를 들어 포물선 모양의 그래프는 두 변수 사이의 이차적인 변화의 아이디어를 나타내므로 표의기호적 모드의 예가 된다(Yavuz, 2010, 재인용). 본 연구에 참여한 고등학생들은 기울기가 서로 다른 두 그래프를 비교하는 문제에서 그래프들 사이의 위치 관계를 바탕으로 문제를 해결하려 하였다. 하지만 그래프의 의미를 고려하지 않고 좁은 관점으로 그래프의 위치만 인식하고 답을 기록함으로써 그래프 해석에 오류를 보이는 것을 알 수 있었다.
본 연구의 목적은 학생들이 문제에서 주어진 그래프 표상을 어떻게 사용하고 있으며 이를 통해 함수 개념에 대한 이해의 관점을 알아보는 연구이다. 구체적으로 본 연구에서는 2015년 4월 6일 ~ 4월 31일 사이에 진행된 이차함수의 수업을 받은 고등학교 1학년을 대상으로 연구를 진행하였다.
더 나아가 Maria & Vanessa (2012)는 학교에서 시각적 표상의 사용을 규정하는 규칙과 기준은 수학 교수 활동의 중요한 부분이 되어야 한다고 하였다. 이들 연구자들의 주장처럼 그래프 표상을 제대로 사용하지 못하는 학생들을 위해 그래프 표상을 올바르게 해석하고 사용할 수 있는 교육 및 교수 학습 활동이 요구됨을 본 연구를 통해서 알 수 있다.

제안 방법

116명의 학생 정답지를 문항별로 유형을 분류하는 동안 같은 유형은 전체 비율을 구하기 위해 학생 수를 기록하였다. 116명의 정답지를 가지고 1차 자료 분석을 마쳤으며 일정 기간이 흐른 뒤 다시 한 번 2차 자료 분석을 실시하여 자료 분석의 신뢰도를 높였다. 본 연구의 이러한 자료 분석 과정을 예시하기 위하여 4번 문항의 최종 분석 결과를 제시하면 <표 III-3>과 같다.
이들은 중학교 2. 3학년에서 이차식과 이차함수에 대해 학습하였다. 그리고 고등학교 1학년 교육 과정에서도 이차함수를 배웠다.
모든 문항은 개방형 서술 문항으로 구성하였다. 50분 동안 수학 교과 교사가 감독하였으며 학생들의 의문점이나 문항 진술을 이해하지 못한 경우는 문항에 대한 도움을 제공하였다.
이에 본 연구에서는 고등학교 1학년 학생들을 연구 대상으로 선정하였다. 그리고 이들이 가장 많이 다뤄본 함수 중에 하나인 이차함수 문제를 연구 문항으로 선정하였다.
이러한 분석 결과를 확장하여 유형을 분류하였다. 그리고 이렇게 분류된 정답 유형을 기록한 뒤 유형별로 그래프 사용 모드(계산 도표학적 모드, 표의적 모드, 조작적 모드)와 표상의 유연성 정도(유연함, 단절됨, 경직됨)를 오른쪽 여백에 기록하였다. 한 문항에 두 개 이상의 모드를 사용한 경우 주된 모드를 기록하여 한 학생이 이중으로 기록되지 않게 하였다.
수집된 학생들의 정답지 가운데 총 아홉 문제 중 다섯 문제 이상을 해결한 정답지만을 1차 분류하였다. 그래프 사용 모드에는 세 가지 모드가 있다.
이 학생들은 이차함수에 대한 개념을 중학교에서 학습한 학생들이며 고등학교에 복소수 내용을 학습하고 난 뒤 이차함수에 대해 학습한 학생들이다. 연구 문항은 총 아홉 문제로 이 문제들은 모두 선행연구자들(이광상, 조민식, 류희찬, 2006; Even, 1998)의 연구들에서 사용한 문항을 이차함수에 적합한 문항으로 수정하여 사용하였다. 초기의 검사 문항은 총 열 한 개의 문항으로 구성되었으며 이를 바탕으로 현장 교사 및 수학 교육과 교수 등의 조언을 통하여 내용 타당도를 검증하였다.
우선 학생들의 풀이에 있는 서술을 중심으로 이를 대표할 수 있는 요약 서술을 서술 코드로 정하고 116명의 정답을 분석하였다. 이러한 분석 결과를 확장하여 유형을 분류하였다. 그리고 이렇게 분류된 정답 유형을 기록한 뒤 유형별로 그래프 사용 모드(계산 도표학적 모드, 표의적 모드, 조작적 모드)와 표상의 유연성 정도(유연함, 단절됨, 경직됨)를 오른쪽 여백에 기록하였다.
본 연구의 목적은 학생들이 문제에서 주어진 그래프 표상을 어떻게 사용하고 있으며 이를 통해 함수 개념에 대한 이해의 관점을 알아보는 연구이다. 이러한 연구 목적에 적합한 자료 분석을 위해 학생 정답지의 배점과 총점은 부여하지 않았으며 학생들의 정답지에 기록된 문항별 정답의 유형을 중심으로 분석을 하였다. 우선 학생들의 풀이에 있는 서술을 중심으로 이를 대표할 수 있는 요약 서술을 서술 코드로 정하고 116명의 정답을 분석하였다.
본 연구에 사용된 문항들 중에는 세 가지 모드를 모두 사용할 수 있는 문항들이 포함되어 있다. 이에 학생들이 주된 그래프 표상 사용 모드를 알아보기 위해서는 적어도 아홉 문항 중 다섯 문항 이상을 해결하여야지만 주된 모드가 드러날 수 있을 것이라고 판단하여 1차 분류의 기준을 다섯 문항 이상 푼 정답지로 제한하였다. 그리고 이중에서 정답만 기술한 정답지를 제외하는 2차 분류 작업을 하였다.
Bannister(2014)는 함수를 나타내는 그래프 표상과 대수적 표상의 변환 능력의 정도와 함수 개념의 이해 관점인 과정 관점과 대상 관점을 연결하여 학생들이 표상으로 어떻게 이용하는가에 따른 유연성을 세 가지로 구분하였다. 첫 번째는 유연한(flexible) 경우로 이 경우에 표상의 사용은 과정과 대상의 두 가지 측면의 모든 구성 개념을 사용하였으며 표상은 대수적 표상과 그래프 표상을 사용하여 조작을 하는 경우이다. 두 번째는 단절된(disconnected) 경우로 이 경우 과정과 대상의 두 가지 측면의 구성 개념을 보였으나 문제를 해결하는 데는 이 두 가지 측면이 서로 변환되지 않는 경우이다.
첫째, 본 연구에 참여한 고등학생들의 주된 그래프 표상 사용 모드는 계산 도표학적 모드였다. 함수의 개념은 기하와 대수라는 두 정신적 이미지 사이의 관계로, 구체적으로 기하에서는 그래프 표상, 대수에서는 대수적 표상을 연결하고 이를 변환하는 능력이 중요하다(Kleiner, 1989).
연구 문항은 총 아홉 문제로 이 문제들은 모두 선행연구자들(이광상, 조민식, 류희찬, 2006; Even, 1998)의 연구들에서 사용한 문항을 이차함수에 적합한 문항으로 수정하여 사용하였다. 초기의 검사 문항은 총 열 한 개의 문항으로 구성되었으며 이를 바탕으로 현장 교사 및 수학 교육과 교수 등의 조언을 통하여 내용 타당도를 검증하였다. 내용 타당도의 검사 결과를 바탕으로 두 개의 문항을 삭제하여 최종 연구에 사용된 문항은 아홉 문항이다.

대상 데이터

본 연구의 목적은 학생들이 문제에서 주어진 그래프 표상을 어떻게 사용하고 있으며 이를 통해 함수 개념에 대한 이해의 관점을 알아보는 연구이다. 구체적으로 본 연구에서는 2015년 4월 6일 ~ 4월 31일 사이에 진행된 이차함수의 수업을 받은 고등학교 1학년을 대상으로 연구를 진행하였다. 이 학생들은 이차함수에 대한 개념을 중학교에서 학습한 학생들이며 고등학교에 복소수 내용을 학습하고 난 뒤 이차함수에 대해 학습한 학생들이다.
그리고 이중에서 정답만 기술한 정답지를 제외하는 2차 분류 작업을 하였다. 그 결과 최종 분석 자료로 사용된 학생들의 정답지는 총 116명의 정답지이다.
본 연구의 대상은 울산광역시 소재 S고등학교 1학년 학생 400여명이다. 이 학교는 울산광역시의 중심가에 위치하며 학급의 수는 39학급, 교직원의 100여명으로 인문계 고등학교로는 규모가 큰 학교이다.
본 연구의 연구 대상은 고등학교에서 이차함수를 학습한 1학년 학생들이다. 이들은 중학교 2.
이러한 연구 목적에 적합한 자료 분석을 위해 학생 정답지의 배점과 총점은 부여하지 않았으며 학생들의 정답지에 기록된 문항별 정답의 유형을 중심으로 분석을 하였다. 우선 학생들의 풀이에 있는 서술을 중심으로 이를 대표할 수 있는 요약 서술을 서술 코드로 정하고 116명의 정답을 분석하였다. 이러한 분석 결과를 확장하여 유형을 분류하였다.
3년에 걸친 이차식과 이차함수에 대한 학습은 학생들에게 이차함수에 대한 개념이 어느 정도 정립되어 있다고 볼 수 있다. 이에 본 연구에서는 고등학교 1학년 학생들을 연구 대상으로 선정하였다. 그리고 이들이 가장 많이 다뤄본 함수 중에 하나인 이차함수 문제를 연구 문항으로 선정하였다.

이론/모형

본 연구에 사용된 문항의 그래프는 CAS형 그래핑 계산기인 Texas Instrument의 TI-nspir를 사용하였다. 본 연구에서 사용된 문항 아홉 개 중세 문항을 제시하면 다음 <표 III-2>와 같다.

성능/효과

넷째, 본 연구에 참여한 고등학생들의 함수에 대한 이해의 관점은 과정 관점이 대부분이며 표상의 유연성은 하나의 과정 관점 중심의 개념이해와 함께 대수적 표상과 그래프 표상 사이에 변환이 일어나지 않는 경직된 형태를 보였다. 본 연구의 이러한 결과는 함수와 관련된 문제의 해결에서 과정과 대상 관점의 형성은 매우 중요하다는 이광상, 조민식, 류희찬(2006)의 연구, 그 예로, 특히 함수의 연산이나 함수의 도함수를 구하는 과정에서 대상으로 함수를 인식해야지만 문제를 해결할 수 있다는 선행 연구의 결과와 견해를 같이하고 있다(Dubinsky & Harel, 1992; Selden & Selden, 1992).
하지만 그래프의 의미를 고려하지 않고 좁은 관점으로 그래프의 위치만 인식하고 답을 기록함으로써 그래프 해석에 오류를 보이는 것을 알 수 있었다. 다시 말해 함수의 그래프 표상을 표의기호적 모드로 사용하였으나 사용에서 오류를 보여 문제를 해결하지 못하는 것으로 나타났다.
둘째, 함수와 관련된 문제에서 조작적 모드에 의한 그래프 표상 사용으로 문제를 해결할 수 있음에도 불구하고 계산 도표학적 모드의 사용이 두드러졌다. 본 연구에 참여한 학생들은 주어진 그래프 표상의 조작을 통해서가 아닌 대수식의 조작이나 이미 알고 있는 대수식의 확인을 위해 그래프 표상을 사용하는 것을 알 수 있었다.
둘째, 함수와 관련된 문제에서 조작적 모드에 의한 그래프 표상 사용으로 문제를 해결할 수 있음에도 불구하고 계산 도표학적 모드의 사용이 두드러졌다. 본 연구에 참여한 학생들은 주어진 그래프 표상의 조작을 통해서가 아닌 대수식의 조작이나 이미 알고 있는 대수식의 확인을 위해 그래프 표상을 사용하는 것을 알 수 있었다. 이로 인해 그래프 표상은 여전히 계산 도표학적 모드 중심으로 사용되고 있었다.
그래프 표상을 표의기호적 모드로 사용한다는 것은 그래프 표상을 통해 함수에 대한 아이디어를 찾아내는 것을 말한다(Yavuz, 2010, 재인용). 본 연구에 참여한 학생들은 함수의 그래프 표상을 사용하여 문제에서 주어진 함수에 관한 아이디어를 구하려고 하였으나 그래프가 가지는 의미를 고려하지 않고 함수의 행동만을 인식하고 답을 구하는 것이 관찰되었다.
셋째, 고등학교 학생들이 그래프 표상을 표의 기호적 모드로 사용하기는 하지만 잘못된 사용으로 오답을 하는 것으로 나타났다. 그래프 표상을 표의기호적 모드로 사용한다는 것은 그래프 표상을 통해 함수에 대한 아이디어를 찾아내는 것을 말한다(Yavuz, 2010, 재인용).
본 연구는 학생들이 그래프 표상을 어떻게 사용하고 있는지를 살펴보고 이를 통해 이차함수에 대한 이해를 과정과 대상 관점에서 살펴보고자 하였다. 이에 본 연구의 결과 학생들의 그래프 사용 모드는 수치적 결과를 획득하기 위해 그래프를 사용하는 계산 도표학적 모드가 주된 사용 모드이며 표의기호적 모드의 사용의 경우 많은 학생들이 오류를 보임을 알 수 있었다. 그리고 함수를 이해하는 관점은 과정 관점 중심으로 이해하고 있었다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	계산 도표학적 모드는 무엇인가?	세 가지 유형을 자세히 설명하면 다음과 같다. 계산 도표학적 모드는 국소적인 절차를 사용하여 수치적인 결과를 얻기 위해 그래프를 사용하는 모드이다. 그리고 이때 그래프에는 사용자에게 필요한 모든 정보를 포함하고 있으며 수치적인 결과를 얻기 위해 그래프를 조작하고 사용하는 것이다.
	대상(Object) 관점과 과정(Process) 관점은 어떤 표상과 관련이 있는가?	그리고 이러한 함수 개념을 이해하는 관점에는 대상(Object) 관점과 과정(Process) 관점이 있으며 함수 문제 해결에서 과정과 대상 관점의 형성은 성공적인 문제 해결을 위해서는 매우 중요하다. 이 대상과 과정 관점은 함수를 나타내는표, 대수식, 그래프 표상과 관련이 있다. 그래서 학생들은 함수와 관련된 이러한 표상들을 조작하는 과정을 통해 함수의 이해 관점을 형성한다 (Moschovich, Schoenfeld, & Arcavi, 1993).
	함수 개념을 이해하는 관점은 어떻게 나누어져 있는가?	함수 개념은 수학 학습에서 가장 중요한 개념 중 하나이며 함수에 대한 감각을 기르는 것은 수학 학습에 중요한 목표 중 하나이다(Eisenberg, 1992). 그리고 이러한 함수 개념을 이해하는 관점에는 대상(Object) 관점과 과정(Process) 관점이 있으며 함수 문제 해결에서 과정과 대상 관점의 형성은 성공적인 문제 해결을 위해서는 매우 중요하다. 이 대상과 과정 관점은 함수를 나타내는표, 대수식, 그래프 표상과 관련이 있다.

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저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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