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문제 정의
- 본 연구는 이차함수 그래프에서 중학교 3학년 학생들이 범하는 오류의 유형과 그 사례를 살펴보고, 이러한 오류가 학습을 통해 어떻게 교정되어지는지 살펴보고자 하는 것이다.
- 본 연구에서 분석을 위한 틀로서 오류 유형을 범주화하기 위해 함수 그래프와 관련하여 학생들의 오류를 분석한 선행 연구를 살펴보았다.
- 본 연구에서는 이차함수를 학습한 학생들에게서 나타나는 함수 그래프에 대한 오류를 분석하고, 이를 교정하기 위한 수업을 진행하였으며, 그 효과를 분석하였다.
- 이에 본 연구는 중학교 3학년 학생들이 이차함수의 그래프에 관한 문제 해결 과정에서 나타나는 오류를 분석하고 그 원인을 파악하여, 그 오류를 교정할 수 있는지도 방안을 모색하고자 한다.
제안 방법
- 그리고 같은 문제의 풀이 과정에서 연속하여 오류가 발생할 경우에는 단순성을 위하여 첫 번째 오류만 분석하고, 선행 오류에 기인하는 다음 단계의 오류는 고려하지 않았다. Ⅱ장에서 선행 연구를 통해 살펴본 함수 그래프에 대한 오류 유형을 개념적인 오류, 문제의 조건을 잘못 이용한 오류, 기술적인 오류, 실수나 부주의로 인한 오류로 분석하였다. 학생들의 답안을 분석하면서 답만 제시한 경우와 풀이 과정을 끼적이기는 하나 의도를 알 수 없는 애매한 답을 쓴 경우를 발견할 수 있었다.
- 대상은 중학교 3학년 3개 반으로 총 82명이며, 같은 교사가 수업을 맡고 있다. 같은 주에 각 반에서 사전 검사를 시행하고 연속 3차시 수업 후에 사후 검사를 실시하였다. 검사의 소요 시간은 40분으로 충분한 시간을 제공하여 학생들로 하여금 분위기에서 문제를 풀게 하였다.
- 같은 주에 각 반에서 사전 검사를 시행하고 연속 3차시 수업 후에 사후 검사를 실시하였다. 검사의 소요 시간은 40분으로 충분한 시간을 제공하여 학생들로 하여금 분위기에서 문제를 풀게 하였다. 사전 검사에서의 학생들의 답지를 분석하여, 오답들 중에서 오류 유형을 분류하였다.
- 검사의 소요 시간은 40분으로 충분한 시간을 제공하여 학생들로 하여금 분위기에서 문제를 풀게 하였다. 사전 검사에서의 학생들의 답지를 분석하여, 오답들 중에서 오류 유형을 분류하였다. 여기서 나타난 학생들의 오류를 교정하기 위하여 수업 활동지를 만들고 연속 3차시 수업을 진행하였다.
- 여기서 나타난 학생들의 오류를 교정하기 위하여 수업 활동지를 만들고 연속 3차시 수업을 진행하였다. 수업을 통해 오류가 교정되었는지 확인하기 위해 사전 검사와 동형의 사후 검사를 실시하였다. 사후검사 결과와 사전 검사 결과를 T-test로서 분석하였는데, 25문제 전체에 대하여 시행하고, 문제 내용별로 묶어서 시행하였다.
- 사전 검사에서의 학생들의 답지를 분석하여, 오답들 중에서 오류 유형을 분류하였다. 여기서 나타난 학생들의 오류를 교정하기 위하여 수업 활동지를 만들고 연속 3차시 수업을 진행하였다. 수업을 통해 오류가 교정되었는지 확인하기 위해 사전 검사와 동형의 사후 검사를 실시하였다.
- 이때 사전·사후 검사지 문항의 전체를 하나로 보아 분석하고, 또한 사전·사후 검사지 문항의 내용별로 대칭성의 이해, 평행이동, 일반형 그래프, 그래프 개형, 포물선의 위치관계 각각에서 향상되었는지 분석하였다.
- 학생들의 답안을 분석하면서 답만 제시한 경우와 풀이 과정을 끼적이기는 하나 의도를 알 수 없는 애매한 답을 쓴 경우를 발견할 수 있었다. 이에 대해 경험이나 추리 등의 사고 과정을 거치지 않고 직접적으로 파악하여 답하는 경우로 생각할 수 있다고 판단하여 잘못된 직관의 오류라 하여 오류 유형에 포함시켰다.
- 이와 같이 나타난 오류들이 학습을 통해 교정될 수 있는지 살펴보기 위해 교정 수업을 실시한 후 사전과 사후 검사를 통해 결과를 분석하였다. 전체적으로 사전과 사후 검사지에 대한 통계 분석 결과 교정 수업 전에 비해 그 후에 성취도가 높게 나타났다.
- 이차함수 그래프에서 학생들이 범하는 오류를 살펴보기 위해 사전 검사지의 답안을 분석하였다. 이때 사전 검사지에 학생들이 직접 작성한 풀이 과정을 보고 분석하였으며, 답지 중에서 문항에 대한 완전한 답을 제시한 경우, 전혀 어떠한 답도 제시하지 않은 경우, 풀이 과정에서 글자가 흐릿하고 무슨 글자인지 식별하지 못하는 경우는 제외하였다.
- 학생들에게 실시한 검사지의 전체 문항 수는 25개이며 그 중 문제 4번, 문제 7번, 문제 10번, 문제 14번, 문제 18번은 각각 2개씩 소문항을 갖고 있으므로 총 30문항에 대해 분석하였다. 이 때 82명을 대상으로 하였으므로 총 2460개의 답안에 대해 정답, 오답, 무응답의 빈도를 구한 결과는 <표 Ⅳ-1>과 같다.
대상 데이터
- 대구시 달성군에 소재한 S중학교 3학년 학생 82명을 연구 대상으로 이차함수 그래프에 관한 검사를 실시하였다. 사전 검사에서 학생들의 정답률은 44.
- 대상은 중학교 3학년 3개 반으로 총 82명이며, 같은 교사가 수업을 맡고 있다. 같은 주에 각 반에서 사전 검사를 시행하고 연속 3차시 수업 후에 사후 검사를 실시하였다.
- 본 연구는 대구시 달성군에 소재한 S중학교 3학년 학생 82명(3개반)을 대상으로 하였다. 수준별 수학 학습을 시행하고 있지 않은 일반 학급으로, 연구를 진행할 시점에서 이 학급의 학생들은 이차함수에 관하여 학습한 상태였다.
데이터처리
- 두 번째 연구 문제에서 사전 검사에 비해 사후 검사의 향상 정도를 파악하기 위해 SPSS를 이용하여 T-test를 하였다. 그 결과는 <표 Ⅳ-3>과 같다.
- 수업을 통해 오류가 교정되었는지 확인하기 위해 사전 검사와 동형의 사후 검사를 실시하였다. 사후검사 결과와 사전 검사 결과를 T-test로서 분석하였는데, 25문제 전체에 대하여 시행하고, 문제 내용별로 묶어서 시행하였다.
- 위와 같이 학생들의 사전 검사에서 분석한 오류에 대하여 수업 후 교정되었는지 분석하기 위해 IBM SPSS Statistics 20을 이용하여 대응표본 T-test를 하였다. 이때 사전·사후 검사지 문항의 전체를 하나로 보아 분석하고, 또한 사전·사후 검사지 문항의 내용별로 대칭성의 이해, 평행이동, 일반형 그래프, 그래프 개형, 포물선의 위치관계 각각에서 향상되었는지 분석하였다.
이론/모형
- 본 연구에서 사용한 검사 도구는 선행 연구(성종기 2000, 장양순, 2010)의 검사지들을 참고하여 과 같이 구성하였다.
성능/효과
- 넷째, 기술적인 오류는 문제를 푸는 과정에서 연산을 잘못 사용하거나 계산 과정에서 발생하는 오류로서 ‘－’ 부호를 붙이지 않아 계산이 틀린 것이 대부분이었다.
- 셋째, 정리나 정의를 부적절하게 사용하는 오류는 특정하고 동일한 규칙, 원칙, 정리 혹은 정의 등이 잘못 이해되어 쓰여 지는 경우에 있어서의 오류이다. 넷째, 기술적인 오류는 문제를 푸는 과정에서 연산을 잘못 사용하거나 계산 과정에서 발생하는 오류이다.
- 셋째, 검토하지 않은 해답의 오류는 학생들의 풀이 과정 각 단계들 그 자체는 옳은데, 검토하지 않았기 때문에 마지막에 제시된 해는 옳지 않은 오류를 말한다. 넷째, 잘못 이용된 자료에 의한 오류는 문항에 주어진 자료와 학생들이 사용한 자료 사이의 불일치로 인한 오류이다. 다섯째, 애매한 오류는 학생들이 문제를 풀이한 과정이 애매모호하여, 학생이 제시한 답을 보고 학생의 의도를 정확히 알 수 없는 경우를 말한다.
- 8점 높다. 대응표본 상관계수를 살펴 사전 검사와 사후검사의 상관계수가 0.391이므로 유의성이 없는 것으로 나타났다. 95%의 신뢰구간은 (－1.
- 52로서 사후 검사의 평균이 약 7점 높다. 대응표본 상관계수를 살펴 사전 검사와 사후검사의 상관계수가 0.601이므로 대칭성의 이해보다 더 유의성이 있는 것으로 나타났다. 95%의 신뢰구간은 (－9.
- 37로서 사후 검사의 평균이 약 15점 높다. 대응표본 상관계수를 살펴보면 사전 검사와 사후 검사의 상관계수가 0.769이므로 큰 유의성이 있는 것으로 나타났다. 95%의 신뢰구간은 (－19.
- 3%로 가장 많이 나타났고, 그 다음으로 잘못된 직관의 오류가 33% 나타났다. 문제의 조건을 잘못 이용한 오류는 12.5%이며, 기술적인 오류는 1.7%이고, 실수나 부주의로 인한 오류는 1.5%로 가장 낮은 빈도를 보였다.
- 세 번째, 정리하기에서는 학생들은 빈칸에 알맞은 말이나 식을 채우면서 앞의 내용을 확인하고, 교사는 핵심 내용을 정리해 준다.
- 둘째, 기술적인 오류는 문제를 푸는 과정에서 연산을 잘못 사용하거나 계산 과정에서 발생하는 오류를 말한다. 셋째, 검토하지 않은 해답의 오류는 학생들의 풀이 과정 각 단계들 그 자체는 옳은데, 검토하지 않았기 때문에 마지막에 제시된 해는 옳지 않은 오류를 말한다. 넷째, 잘못 이용된 자료에 의한 오류는 문항에 주어진 자료와 학생들이 사용한 자료 사이의 불일치로 인한 오류이다.
- 셋째, 문제의 조건을 잘못 이용한 오류는 주어진 문제의 그래프 개형 조건을 가지고 부호를 결정하는 문제에서 많이 나타났다. 주로 그래프를 통해 문제 해결에 필요한 조건을 가져와야 하는 경우 오류를 범하는 경우가 많았다.
- 둘째, 문제의 내용을 잘못 해석하는 오류는 한 상징적인 언어 안에 표현되어 있는 수학적 사실들을 다른 상징적인 언어로 잘못 해석하는 오류이다. 셋째, 정리나 정의를 부적절하게 사용하는 오류는 특정하고 동일한 규칙, 원칙, 정리 혹은 정의 등이 잘못 이해되어 쓰여 지는 경우에 있어서의 오류이다. 넷째, 기술적인 오류는 문제를 푸는 과정에서 연산을 잘못 사용하거나 계산 과정에서 발생하는 오류이다.
- 셋째, 함수의 시각적 표현과 관련된 그래프는 변화 현상을 해석하며 구체적인 수학적 지식과 추상적인 수학적 지식을 연결시킬 수 있다는 점에서 함수 개념 이해를 위한 효과적인 수단이 된다. 이는 그래프가 문자적인 표현 수단으로서의 역할을 담당하면서 일종의 그림 형태로 존재하기 때문에 현상과 수학적 지식을 연결시켜 줄 수 있음을 의미한다.
- 이와 같이 나타난 오류들이 학습을 통해 교정될 수 있는지 살펴보기 위해 교정 수업을 실시한 후 사전과 사후 검사를 통해 결과를 분석하였다. 전체적으로 사전과 사후 검사지에 대한 통계 분석 결과 교정 수업 전에 비해 그 후에 성취도가 높게 나타났다. t-검정 결과 통계적으로도 유의미한 결과이다.
- 첫째, 개념적인 오류는 이차함수와 관련된 용어로서 꼭짓점, 축의 방정식, 절편의 의미를 이해하지 못하는 경우와 x축에 관한 평행이동, y축에 관한 평행이동 등 이차함수 그래프의 개념을 이해하지 못하고 있는 경우이다. 학생들은 그래프를 그릴 때에도 꼭짓점, 축의 방정식, x절편과 y절편을 이용하기보다는 지나는 점을 찍어서 선으로 연결하여 포물선 모양으로 그리는 경우가 많았다.
- 분석 결과 학습 내용에 따라 오류 교정이 성공적인 부분도 있고 그렇지 못한 부분도 나타났기 때문이다. 학습 내용별로 각각 분석한 결과는 대칭성의 이해, 평행이동, 일반형 그래프 각각에서 사전에 비해 사후에 성취도가 높게 나타났으며, 이는 통계적으로 유의미한 결과이다. 그러나 그래프 개형과 포물선의 위치관계에 관하여 사전·사후 검사에 대한 t-검정 결과 사전에 비해 사후의 평균 점수가 높게 나타났지만, 통계적으로 유의미하다고 할 수는 없다.
후속연구
- 그뿐만 아니라, 문제 상황에 알맞은 그래프 표상을 연결 짓지 못하고, 문제를 해결하는데 그래프가 필수적인 도구가 될 수도 있다는 사실을 인식하지 못한 채 수학에서 부가적인 표현 양식으로만 생각하는 경향이 있다. 이러한 문제점을 해결하기 위해, 여러 가지 방법이 시도될 수 있으나 무엇보다 함수의 그래프를 구성하거나 해석할 때 학생들이 자주 범하는 오류를 파악하여, 그 오류에 대한 지도 방법을 고안하는 것이 학생들의 성취도 향상에 직접적인 효과를 줄 수 있을 것이다.
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