[논문]혼합 군에 대한 확률적 란체스터 모형의 정규근사

박동현; 김동현; 문형일; 신하용

doi:10.7232/jkiie.2016.42.2.086

문제 정의

본 논문에서는 모멘트 계산을 통해 두 부대가 전투할 때 시간에 따른 병력 양의 분포를 훨씬 빠르고 높은 정확도로 근사하는 방법을 제시하였다. 특히 두 부대가 여러 종류의 무기체계로 구성된 경우에도, 무기체계 종류의 수와 상관없이 빠르게 근사하는 방법을 제시했고, 높은 정확도를 가지고 있음을 보였다.
본 논문에서는 청군과 홍군이 각각 두 종류의 무기체계로 구성되어있는 경우(N = 2, M = 2)에 대해 위의 방법을 적용시켜보았다. 청군과 홍군이 각각 두 종류의 무기체계를 가지고 있을 때, 총 모멘트의 개수는 14개가 있으며, 모멘트 벡터 M_t와 행렬 V를 다음과 같이 정의한다.

가설 설정

본 논문에서는 모든 모멘트를 다 일치 시키는 것보다 1차 2차 모멘트만 일치 시켰다. (B_t,R_t)의 확률 분포가 unimodal한 점을 착안하여 계산하기 쉬운 정규 분포라고 가정했으며, 1차 모멘트와 2차 모멘트 값을 이용해 근사하였다.
B : First Weapon of Red Force and Second Weapon of Red Force. C : First Weapon of Blue Force and First Weapon of Red Force. D : First Weapon of Blue Force and Second Weapon of Red Force.
)의 확률 분포는 unimodal한 형태의 확률 분포이나, 우리가 흔히 알고 있는 특정한 형태의 확률 분포가 아니다. 그러므로 (B_t,R_t)의 확률 분포를 정확하게 추론하기 위해서는 모수가 굉장히 많은 확률 분포라 가정하고 1차 모멘트와 2차 모멘트 값 뿐만 아니라 모든 모멘트 값들을 일치시키는 모수 값을 결정해야한다. 본 논문에서는 모든 모멘트를 다 일치 시키는 것보다 1차 2차 모멘트만 일치 시켰다.
그러나 우리는 식 (12)을 다양한 무기체계로 구성된 혼합 부대의 전투에도 쉽게 확장할 수 있다. 앞 선 경우와 비슷하게 청군과 홍군이 전투를 하는 상황에서 청군은 M개의 무기 체계, 홍군은 N개의 무기체계로 구성되어 있다고 가정한다. 즉, t시점에서 청군과 홍군의 각 무기체계의 병력 양은 (B_1,t, B_2,t, ⋯, B_d)와 (R_1,t, R_2,t,⋯, R_N,t)로 나타낼 수 있다.

제안 방법

본 논문에서 제시한 방법이 얼마나 높은 정확도로 근사하는지 확인하기 위해 Taylor의 모형을 이용하여 얻은 청군과 홍군의 확률 분포를 기준으로 두고 Kullback-Leibler divergence를 계산하였다. [Table 2]에서 이 값들을 비교하여 본 논문에서 제시한 방법이 기준 모형을 얼마나 유사하게 묘사하는지를 확인하였다.
단일 무기체계의 경우, 시간에 따른 청군의 병력 양과 살상력을 Bt와 β 시간에 따른 홍군의 병력 양과 살상력을 Rt와 α라고 할 때, B0=100, R0=80, β=0.1, α=0.1로 고정하고 실험을 하였다.
란체스터는 각각 하나의 무기로 구성된 두 부대가 전투를 할 때 시간에 따라 입는 피해 양을 두 개의 미분방정식으로 제시하였고, 전투 결과를 예측할 수 있게 하였다. 또한 그의 모형을 1805년 발생하였던 트라팔가 해전의 결과에 적용시켜봄으로써 모형의 정당성을 입증하였다. 후에 이 모형은 란체스터 모형, 란체스터 방정식, 란체스터 법칙 등으로 불리게 되었다.
기존 연구에서는 부대의 규모가 커지면 커질수록 계산 시간이 많이 소모되는 단점이 있었으나, 본 연구를 통해 부대의 규모와는 상관없이 훨씬 빠르게 확률 분포를 근사할 수 있다. 또한 기존의 방법으로는 여러 무기체계를 가진 부대의 전투에는 적용할 수 없었으나, 본 연구를 통하여 여러 개의 무기체계를 가진 부대의 전투에도 쉽게 적용하여 결과를 검증해 보았다.
본 논문에서는 전투를 모델링 할 때 가장 일반적으로 사용되는 마코프 체인을 활용한 확률적 란체스터 모형을 표현하는 새로운 모형을 제시하고, 첫 번째 모멘트와 두 번째 모멘트를 계산하여 모멘트들의 미분 방정식 형태로 표현하였다. 미분 방정식을 통해 모멘트의 값을 빠르게 계산할 수 있으며, 이 모멘트들을 이용하여 평균과 분산 및 공분산을 계산하고 다변량 정규분포로 근사하여 두 부대의 피해양의 타당한 확률 분포를 제시한다. 기존 연구에서는 부대의 규모가 커지면 커질수록 계산 시간이 많이 소모되는 단점이 있었으나, 본 연구를 통해 부대의 규모와는 상관없이 훨씬 빠르게 확률 분포를 근사할 수 있다.
그러나 마코프 체인을 이용한 Taylor 모형은 무기체계가 2개 이상일 경우 state의 개수가 기하급수적으로 증가하여 적용하기 매우 힘들다. 본 논문에서 두 부대의 무기체계 종류를 2가지로 한정하고 실험을 하였으며, 마코프 체인 모형 대신 몬테카를로 시뮬레이션을 이용한 모형을 통해 얻은 결과를 기준으로 하여 비교하였다.
[Table 2]의 KL divergence값들과 비교하면, 무기체계의 종류가 여러 가지일 경우에도 본 논문의 근사법이 상당히 높은 유사도를 보여준다. 본 논문에서 제시된 방법으로 무기체계의 종류의 수와 상관없이 쉽게 확률적 란체스터 모형을 근사할 수 있다. 그러나 본 논문의 방법은 남은 병력의 수가 음수가 될 수 없다는 조건을 반영하지 않기 때문에, 시간이 충분히 지난 시점에서는 유사도가 더 떨어진다.
그러므로 (B_t,R_t)의 확률 분포를 정확하게 추론하기 위해서는 모수가 굉장히 많은 확률 분포라 가정하고 1차 모멘트와 2차 모멘트 값 뿐만 아니라 모든 모멘트 값들을 일치시키는 모수 값을 결정해야한다. 본 논문에서는 모든 모멘트를 다 일치 시키는 것보다 1차 2차 모멘트만 일치 시켰다. (B_t,R_t)의 확률 분포가 unimodal한 점을 착안하여 계산하기 쉬운 정규 분포라고 가정했으며, 1차 모멘트와 2차 모멘트 값을 이용해 근사하였다.
본 논문에서는 전투를 모델링 할 때 가장 일반적으로 사용되는 마코프 체인을 활용한 확률적 란체스터 모형을 표현하는 새로운 모형을 제시하고, 첫 번째 모멘트와 두 번째 모멘트를 계산하여 모멘트들의 미분 방정식 형태로 표현하였다. 미분 방정식을 통해 모멘트의 값을 빠르게 계산할 수 있으며, 이 모멘트들을 이용하여 평균과 분산 및 공분산을 계산하고 다변량 정규분포로 근사하여 두 부대의 피해양의 타당한 확률 분포를 제시한다.
이는 Taylor의 확률적 란체스터 모형에서 얻어진 시간에 따른 청군과 홍군의 병력양의 확률 분포와 매우 유사한 결과를 보여 준다. 청군의 무기체계 종류의 수를 M이라고 하고 홍군의 무기체계 종류의 수를 N이라고 했을 때, M = 1 N = 1일 경우와, M = 2 N = 2일 경우 , 두 가지 경우에 대해서 실험을 하였다.

대상 데이터

본 연구는 총 5장으로 구성되어 있다. 제 1장 서론에서는 지금까지 연구되어온 확률적 란체스터 모형에 관한 설명과 문제점을 언급하고 본 연구의 필요성과 내용을 설명하였다.

데이터처리

본 논문에서 제시된 방법의 정확도를 측정하기 위해 몬테카를로 시뮬레이션을 이용하여 계산한 시간에 따른 청군의 홍군의 총 병력의 확률 분포를 기준으로 하여 Kullback-Leibler divergence를 [Table 3]에서 계산하였다.

이론/모형

Figure 3. Probability Distribution of Each Weapon of Blue and Red Force at t = 6 Using Montecarlo Simulation method (Rep : 10⁶).
본 논문에서 제시한 근사법으로 얻은 확률 분포는 Taylor의 모형을 통해 얻은 확률 분포와 유사한 등고선을 보여준다. 마코프 체인을 이용한 Taylor의 모형은 계산하는데 7초가 소모되었고, 식 (20)을 이용하여 Taylor의 모형을 근사하는 방법은 계산하는데 0.
본 논문에서 제시한 방법이 얼마나 높은 정확도로 근사하는지 확인하기 위해 Taylor의 모형을 이용하여 얻은 청군과 홍군의 확률 분포를 기준으로 두고 Kullback-Leibler divergence를 계산하였다. [Table 2]에서 이 값들을 비교하여 본 논문에서 제시한 방법이 기준 모형을 얼마나 유사하게 묘사하는지를 확인하였다.

성능/효과

두 부대가 각각 여러 종류의 무기체계를 가진 경우에 대해서도 본 논문에 제시한 방법을 이용하여 매우 빠르게 근사할 수 있다. 그러나 마코프 체인을 이용한 Taylor 모형은 무기체계가 2개 이상일 경우 state의 개수가 기하급수적으로 증가하여 적용하기 매우 힘들다.
본 논문에서 제시한 근사법을 이용하여 시간에 따른 청군과 홍군의 병력 양의 확률 분포를 매우 빠른 시간에 얻을 수 있다. 이는 Taylor의 확률적 란체스터 모형에서 얻어진 시간에 따른 청군과 홍군의 병력양의 확률 분포와 매우 유사한 결과를 보여 준다.
본 논문에서 제시한 방법으로 Taylor의 모형을 근사한 경우, 병력의 수가 음수가 될 수 없다는 사실을 고려하지 않았으므로 시간이 많이 흘러 남은 병력의 양이 0 근처인 경우에는 제대로 근사할 수 없다. 그러나 시점이 충분히 지나지 않은 상황에서는 기준이 되는 Taylor의 모형을 높은 유사도로 근사할 수 있음을 확인하였다.
본 논문에서는 일반적으로 사용되는 Taylor의 확률적 란체스터 모형의 계산 시간을 훨씬 빠르게 하고, 여러 무기체계를 가진 부대의 전투에도 쉽게 적용할 수 있도록 개선하였다. 청군의 병력 양과 살상력을 B와 β, 홍군의 병력 양과 살상력을 R과 α라고 했을 때, 마코프 체인 모형에 의하면 state는 (B, R)로 나타나고, 아무런 사상자가 없거나 청군에서 사상자 한 명이 발생하거나 홍군에서 사상자 한명이 발생, 이렇게 세 개의 가능한 transition이 있다.
34초의 계산시간이 소모된다. 즉, 본 논문에서 제시한 근사법으로 매우 빠르게 몬테카를로 시뮬레이션을 이용하여 얻은 확률 분포와 유사한 확률 분포를 얻을 수 있다. 청군의 총 병력 (B₁+B₂)과 홍군의 총 병력 (R₁+R₂)의 확률 분포는 [Figure 5]와 같다.
본 논문에서는 모멘트 계산을 통해 두 부대가 전투할 때 시간에 따른 병력 양의 분포를 훨씬 빠르고 높은 정확도로 근사하는 방법을 제시하였다. 특히 두 부대가 여러 종류의 무기체계로 구성된 경우에도, 무기체계 종류의 수와 상관없이 빠르게 근사하는 방법을 제시했고, 높은 정확도를 가지고 있음을 보였다. 혼합 군의 경우로 쉽게 확장이 가능하기 때문에 본 논문의 근사방법을 이용하여 최적 병력조합을 구성하는 문제에 쉽게 응용될 수 있다.

후속연구

하지만 본 논문에서 제시한 근사 법은 병력의 수가 음수가 될 수 없다는 사실을 반영하지 않고 정규분포로 근사하기 때문에 시점이 많이 지난 후 부터는 정확도가 떨어진다. 병력의 수가 음수가 될 수 없다는 사실을 반영하고 전투가 진행되고 시간이 많이 지난 후의 결과도 쉽게 근사할 수 있는 방법을 추후 연구 과제로 남긴다.
혼합 군의 경우로 쉽게 확장이 가능하기 때문에 본 논문의 근사방법을 이용하여 최적 병력조합을 구성하는 문제에 쉽게 응용될 수 있다. 이 외에도 혼합 군을 다루는 여러 문제를 푸는 데에 활용 될 수 있을 것이다. 하지만 본 논문에서 제시한 근사 법은 병력의 수가 음수가 될 수 없다는 사실을 반영하지 않고 정규분포로 근사하기 때문에 시점이 많이 지난 후 부터는 정확도가 떨어진다.
특히 두 부대가 여러 종류의 무기체계로 구성된 경우에도, 무기체계 종류의 수와 상관없이 빠르게 근사하는 방법을 제시했고, 높은 정확도를 가지고 있음을 보였다. 혼합 군의 경우로 쉽게 확장이 가능하기 때문에 본 논문의 근사방법을 이용하여 최적 병력조합을 구성하는 문제에 쉽게 응용될 수 있다. 이 외에도 혼합 군을 다루는 여러 문제를 푸는 데에 활용 될 수 있을 것이다.

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	란체스터 모형의 장점은?	그러나 초기 란체스터 모형은 시간에 따른 두 부대의 피해양이 확률적으로 나타나는 것이 아닌 하나의 값으로 고정되어 있다는 큰 결점이 있다. 란체스터 모형은 수학적으로 간단하고 직관적으로 이해하기 쉬운 모형이었으나, 전투상황에서의 불확실성을 전혀 반영하지 못했다. 이러한 단점을 보완하기 위해 불확실성을 모형에 반영하는 여러 연구가 있었다.
	마코프 체인을 활용한 확률적 란체스터 모형의 단점은?	이 모형의 경우 앞서 제시된 방법들 보다 더 타당한 결과를 제시했다. 그러나 이 모형의 경우 각 군의 병력이 M명, N명이라고 하였을 때 총 (M+1)(N+1)개의 state 가 발생한다. 즉, 각 군의 병력의 규모가 커지면 커질수록 계산 양이 매우 커지게 되어 각 state에 있을 확률을 구하기가 어려워진다. 또한 여러 무기체계를 가진 부대 간의 전투에 마코프 체인을 활용할 경우, 계산 시간이 기하급수적으로 증가하여 이 방법을 적용할 수가 없다.
	초기 란체스터 모형의 큰 결점은?	후에 이 모형은 란체스터 모형, 란체스터 방정식, 란체스터 법칙 등으로 불리게 되었다. 그러나 초기 란체스터 모형은 시간에 따른 두 부대의 피해양이 확률적으로 나타나는 것이 아닌 하나의 값으로 고정되어 있다는 큰 결점이 있다. 란체스터 모형은 수학적으로 간단하고 직관적으로 이해하기 쉬운 모형이었으나, 전투상황에서의 불확실성을 전혀 반영하지 못했다.

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