[논문]장기간 의존 시계열에서 붓스트랩을 이용한 장기적 분산 추정

백창룡; 권용

doi:10.5351/kjas.2016.29.3.449

장기간 의존 시계열에서 붓스트랩을 이용한 장기적 분산 추정
Bootstrap estimation of long-run variance under strong dependence 원문보기

응용통계연구 = The Korean journal of applied statistics, v.29 no.3, 2016년, pp.449 - 462

초록
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본 논문은 시계열 분석의 추론에서 매우 중요한 역할을 하는 장기적 분산에 대해서 붓스트랩을 이용한 추정을 다룬다. 본 논문은 기존의 방법을 두가지 측면에서 확장한다. 첫째, 단기억 시계열에서의 장기적 분산 추정을 확장하여 자료의 의존성이 매우 강한 장기간 의존 시계열에서 붓스트랩을 이용한 장기적 분산의 추정에 대해서 논의한다. 또한 장기간 의존 시계열이 평균변화모형과 매우 쉽게 잘 혼동됨이 잘 알려져 있기에 이를 해결하기 위해서 쌍봉형 커널을 이용한 추세 추정 및 붓스트랩의 블럭을 결정하는 방법을 제안한다. 모의 실험결과 제안한 방법이 매우 유의하였으며 북반구 평균 온도 변화 자료 분석으로 실증 자료 예제도 아울러 제시하였다.

Abstract ▼ AI-Helper

This paper considers a long-run variance estimation using a block bootstrap method under strong dependence also known as long range dependence. We extend currently available methods in two ways. First, it extends bootstrap methods under short range dependence to long range dependence. Second, to accommodate the observation that strong dependence may come from deterministic trend plus noise models, we propose to utilize residuals obtained from the nonparametric kernel estimation with the bimodal kernel. The simulation study shows that our method works well; in addition, a data illustration is presented for practitioners.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

본 논문은 블럭 붓스트랩을 이용하여 장기적 분산을 추정하는 방법에 대해서 논의하였다. 기존의 SRD 시계열에 대한 아이디어를 확장하여 LRD 시계열에서의 적용에 대해서 논의하였다. 또한 LRD 시계열이 평균편화에 SRD 에러가 더해진 모형과 매우 쉽게 잘 혼동됨에 따라 쌍봉형 커널을 이용하여 비모수적으로 추세를 추정하고 잔차를 이용하여 LRV를 추정하는 방법을 제안하였다.
또한, LRD 가정 하에서 유한 표본 성능을 좌우하는 커널의 띠넓이 선택,블록 크기 결정 등의 방법들에 대한 연구는 매우 미흡한 실정이다. 따라서 본 연구는 붓스트랩 방법에서 중요한 블럭 크기 결정을 위해 수정된 교차 검증법(modified cross-validation; MCV) 혹은 (2l +1)-CV의 아이디어를 이용한 방법을 제안한다. 이는 곧 추세가 포함된 평균변화모형에서의 LRV 추정으로 확장 가능하며 Kim 등 (2009)에서 제안한 쌍봉형 커널(bimodal kernal)에 기반을 둔 블럭 크기 결정법을 제안한다.
이라고 하자. 본 논문에서는 일반적인 평균변화모형을 추정하기 위해서 비모수적인 커널평활을 이용한 함수 추정법을 다룬다. 커널 함수 추정법에서 가장 중요한 모수는 커널의 띠넓이(bandwidth)이다.
본 논문은 블럭 붓스트랩을 이용하여 장기적 분산을 추정하는 방법에 대해서 논의하였다. 기존의 SRD 시계열에 대한 아이디어를 확장하여 LRD 시계열에서의 적용에 대해서 논의하였다.
본 논문은 자료의 의존성이 매우 강한 장기간 의존 시계열(long range dependence; LRD)에 대한 붓스트랩을 이용한 LRV 추정량에 대해서 제안한다. LRD 시계열은 그 의존성이 시차가 증가함에도 불구하고 매우 천천히 감소하여 SRD 가정 하에서 개발된 방법들이 일치 추정량을 되지 못하기 때문에 수정(modification)이 필요하다.

제안 방법

성능비교의 측도로서는 MSE값을 사용하였다. MSE는 500번의 반복을 통하여 구하였다. 즉
따라서 LRV의 추정에 있어서 SRD를 포함하는 LRD 모형에서의 LRV 추정량을 쓴다고 할지라도 정확한 추정을 기대하기는 힘들다. 따라서 평균변화모형에 대해서 적절한 추정을 한 다음 오차에 대해서 LRV를 추정하는 방법을 다음과 같이 제안한다. 먼저 평균변화모형을
즉 LRD에서의 LRV는 SRD를 포함하는 보다 넓은 시계열에서의 LRV이다. 따라서, SRD 시계열에 대해서 LRD 가정하에서 LRV를 추정하였을 경우, 즉 d를 추정하여 LRV를 통하여 추정하였을 때 어떠한 성능을 보이는지에 대해서 모의 실험을 통해 확인하였다.
기존의 SRD 시계열에 대한 아이디어를 확장하여 LRD 시계열에서의 적용에 대해서 논의하였다. 또한 LRD 시계열이 평균편화에 SRD 에러가 더해진 모형과 매우 쉽게 잘 혼동됨에 따라 쌍봉형 커널을 이용하여 비모수적으로 추세를 추정하고 잔차를 이용하여 LRV를 추정하는 방법을 제안하였다. 모의 실험 결과 우리가 제안한 붓스트랩에 기반한 방법이 대체로 LRV를 잘 추정하였으나 종속관계가 매우 클 경우에는 MAC 추정량보다 성능이 좋지는 못하였다.
따라서 실증 자료 분석에서는 하나의 LRV 추정량에만 의존하지 말고 여러 추정량을 동시에 살펴보면서 특히 MAC 추정량과 차이가 많이 나올 경우에는 더 세심한 주의를 기울여야 할 것이다. 또한 LRV 추정량의 일상생활 응용 자료로 서기 1년에서부터 1979년까지 재구성된 북반구의 평균온도 자료를 분석하여 향후 60년에 대한 95% 예측구간을 제공하였다. 그 결과 온도 변화는 평균변화와LRD 성질 모두를 가지는 것으로 나타나 Mills (2007)가 주장한 것과는 달리 두 모형 모두를 동시에 고려해야하는 자료임으로 밝혀져 후속 연구가 필요할 것으로 본다
MCV는 통상적인 leave-oneout 교차 검증이 아니라 주어진 시점에 대해서 앞뒤로 l개의 관측치를 제거하여 강한 종속 관계를 제거한 leave-(2l +1)-out CV을 의미한다. 본 논문은 MCV를 커널 추정량으로 Kim 등 (2009)에서 제안한 쌍봉형 커널을 이용한 띠넓이 선택을 사용하여 leave-(2l +¹⁾-out CV의 느린 계산 속도를 개선하였다. 띠넓이 선택은 다음과 같다.
H¨ardle 등 (2003)에 따르면 MBB의 RMSE가 작으나 NBB와 MBB의 이론적인 수렴속도는 같으며 모의 실험 결과는 거의 비슷함을 보고하였다. 본 연구에서도 NBB와 MBB의 차이는 거의 미미하여 겹침을 허락하는 붓스트랩만 모의 실험에서 다루었다. NBB의 경우도 블럭 크기는 (3.
본 장에서는 모의 실험을 통해서 앞서 제 3장에서 제안한 LRD 가정하에서 붓스트랩을 이용하여 LRV 추정하는 방법의 성능을 기존에 제안되었던 HAC 추정량 (2.6) 및 MAC 추정량 (2.8)과 비교 연구한다. 성능비교의 측도로서는 MSE값을 사용하였다.
본격적으로 우리가 제안한 방법론에 대한 성능을 살펴보기 위해서 표본 크기 n = 1,000인 FARIMA(1, d, 0) 모형을 여러 조합의 AR 계수 ρ와 모수 d에 대해서 생성하여 MSE를 구하였고 Table 4.2에 정리하였다.
이러한 문제는 의존 구조를 보존하기 위해서 한 개씩 자료를 뽑는 것이 아니라 시계열 자료를 길이가 ℓ인 블럭으로 뽑는 K¨unsch (1989)의 moving block bootstrap(MBB)에 의해 해결의 실마리를 찾게 되었다. 블럭 붓스트랩은 그 이후 겹침을 허락하지 않는 블럭 붓스트랩(nonoverlapping block boostrap; NBB), 정상성을 보존해주는 정상 블럭 붓스트랩(stationary block bootstrap; SBB), 자료를 이어 붙여 처음과 끝부분의 블럭 크기가 작아지는 단점을 해결한 순환 블럭 붓스트랩(circular block bootstrap; CBB) 등의 여러 변형된 방법으로 발전하였다. 하지만, 커널 평활법이 띠넓이에 의존하듯이 블럭 붓스트랩은 블럭의 크기가 유한 표본에서의 성능을 크게 결정하는 매우 중요한 모수다.
1은 자료의 시계열도와 표본자기상관회귀함수 그림을 나타낸다. 시차가 200에서도 매우 강한 종속성을 보이고 있음이 명확하고 비모수 함수 추정에서 이러한 강한 종속성을 제거하기 위해서 쌍봉형 커널을 사용하여 띠넓이를 선택하고 Nadaraya-Watson 추정량 (3.4)을 시계열도에 첨부하였다. 그림에서 살펴보듯 매우 뚜렷한 추세가 관측됨을 알 수 있으며 1700년도 이후에는 꾸준히 증가되어 왔음을 관찰할 수 있다.
을 HAC, MAC 방법 및 붓스트랩 방법인 BB1과 쌍봉형 커널을 이용하여 추세를 제거한 다음에 블럭의 크기를 결정하는 BB2 방법 4가지에 대해서 비교하였다.
을 통해 가장 적절한 붓스트랩 반복수를 결정하였다. FARIMA(0, d, 0) 모형의 스펙트럴 밀도함수는
따라서 본 연구는 붓스트랩 방법에서 중요한 블럭 크기 결정을 위해 수정된 교차 검증법(modified cross-validation; MCV) 혹은 (2l +1)-CV의 아이디어를 이용한 방법을 제안한다. 이는 곧 추세가 포함된 평균변화모형에서의 LRV 추정으로 확장 가능하며 Kim 등 (2009)에서 제안한 쌍봉형 커널(bimodal kernal)에 기반을 둔 블럭 크기 결정법을 제안한다.
4에서 지적하였듯이 LRD 모형은 평균변화모형에 SRD 에러가 더해진 모형과 유한표본에서 매우 쉽게 혼동이 된다. 이를 극복하기 위해서 쌍봉형 커널을 이용하여 추세를 추정하고 붓스트랩의 블럭 크기를 결정하는 BB2방법을 제안하였다. 그 성능을 검증하기 위해서 Mills (2007)에서 등장하는 평균변화모형
1에 보고하였다. 일반적으로 LRD 모수 d의 값이 증가할수록 MSE가 증가하고 붓스트랩 반복수가 늘어날수록 MSE는 작아지는 경향이 있는데 대략 n_B = 500을 넘어서면 그 감소효과는 거의 미비하여 본 모의 실험에서는 n_B = 500을 채택하여 연구를 진행하였다.
본 논문이 제안한 방법론의 실생활 응용으로 Mills (2007)에서 사용된 AD 1년부터 1979년까지 재구성된 연간 북반구 기온 데이터를 사용하여 실증자료 분석을 시행하였다. 재구성된 자료는 Moberg 등(2005)이 구현한 것으로 실측 자료가 존재하지 않은 먼 과거의 온도는 나이테와 같이 잘 드러나는 정보와 깊은 호수나 바다 퇴적물에서 얻을 수 있는 잘 드러나지 않는 정보를 결합하여 서기 1년부터 기온 자료를 재구성해서 구하였다. 기상학의 전통에 따라 1961년부터 1990년까지의 평균 온도와의 차이(anomaly)로 주어지며 섭씨온도를 사용한다.
4에 정리하였다. 추세 제거 유무에 대한 혼동을 피하기 위해서 추세를 제거한 뒤 잔차에 대해서LRV를 추정한 방법을 HAC2, MAC2 그리고 BB2라고 표시하였다. AR(1)의 계수 ρ가 음수여서 양의 종속관계를 가지지 못하는 경우에는 추세제거의 유무가 LRV의 추정에 큰 영향을 주지 않는다.

대상 데이터

이다. MAC 추정량의 성능 역시 튜닝 모수 m에 그 성능이 크게 좌우되며 Abadir 등 (2009)에 따르면 MSE를 가장 작게 만드는 최적의 튜닝 모수는 O(n^4/5)이며 모의 실험에서는 m = [n^.8]이 가장 작은 MSE를 산출하여 본 논문에서는 이를 사용하였다.
본 논문이 제안한 방법론의 실생활 응용으로 Mills (2007)에서 사용된 AD 1년부터 1979년까지 재구성된 연간 북반구 기온 데이터를 사용하여 실증자료 분석을 시행하였다. 재구성된 자료는 Moberg 등(2005)이 구현한 것으로 실측 자료가 존재하지 않은 먼 과거의 온도는 나이테와 같이 잘 드러나는 정보와 깊은 호수나 바다 퇴적물에서 얻을 수 있는 잘 드러나지 않는 정보를 결합하여 서기 1년부터 기온 자료를 재구성해서 구하였다.

이론/모형

한편, 앞서 설명한 HAC, MAC 추정량 모두 LRD 모수 d에 의존하기 때문에 이에 대한 일치 추정량이 필요하다. 본 논문에서는 피리오도그램 (2.9)에 기반한 준모수적 추정방법인 local Whittle(LW) 추정량을 사용하여 d를 추정하였다. LW 추정량은

성능/효과

가장 높은 정확성을 보여주는 경우는 MAC 추정량으로 ρ나 d가 증가하여 매우 강한 종속관계를 보일수록 타 방법과 비교하여 좋은 포함확률을 기록하였다.
먼저 dˆ값이 .2에 가까워 추세를 제거한 온도 변화는 추세와 LRD 모두 영향을 받고 있으며, 향후 60년간 평균 온도는 완만한 증가추세를 보이고 있음을 확인할 수 있다.
또한 LRD 시계열이 평균편화에 SRD 에러가 더해진 모형과 매우 쉽게 잘 혼동됨에 따라 쌍봉형 커널을 이용하여 비모수적으로 추세를 추정하고 잔차를 이용하여 LRV를 추정하는 방법을 제안하였다. 모의 실험 결과 우리가 제안한 붓스트랩에 기반한 방법이 대체로 LRV를 잘 추정하였으나 종속관계가 매우 클 경우에는 MAC 추정량보다 성능이 좋지는 못하였다. 이는 MAC 추정량이 준모수적 방법의 특성을 가지고 있기 때문이라 판단된다.
하지만 기존의 여러 연구들이 지적하였듯이 ρ ≈ 1인 경우 LRV 추정량의 성능은 확연히 떨어짐을 확인할 수 있다. 방법론들을 서로 비교해 보자면 우리가 제안한 BB1 방법이 HAC 및 MAC 방법과 비교하여 작은 MSE를 보여 성능이 우수함을 확인할 수 있었으며 쌍봉형 커널을 통해 추세를 추정한 BB2의 방법도 BB1과 거의 비슷한 성능을 보여 AR(1) 모형의 추세인 평균이 0인 직선을 잘 추정하고 있음을 보여준다.

후속연구

또한 LRV 추정량의 일상생활 응용 자료로 서기 1년에서부터 1979년까지 재구성된 북반구의 평균온도 자료를 분석하여 향후 60년에 대한 95% 예측구간을 제공하였다. 그 결과 온도 변화는 평균변화와LRD 성질 모두를 가지는 것으로 나타나 Mills (2007)가 주장한 것과는 달리 두 모형 모두를 동시에 고려해야하는 자료임으로 밝혀져 후속 연구가 필요할 것으로 본다
이는 MAC 추정량이 준모수적 방법의 특성을 가지고 있기 때문이라 판단된다. 따라서 실증 자료 분석에서는 하나의 LRV 추정량에만 의존하지 말고 여러 추정량을 동시에 살펴보면서 특히 MAC 추정량과 차이가 많이 나올 경우에는 더 세심한 주의를 기울여야 할 것이다. 또한 LRV 추정량의 일상생활 응용 자료로 서기 1년에서부터 1979년까지 재구성된 북반구의 평균온도 자료를 분석하여 향후 60년에 대한 95% 예측구간을 제공하였다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	블럭 붓스트랩은 어떤 변형된 방법으로 발전하였는가?	이러한 문제는 의존 구조를 보존하기 위해서 한 개씩 자료를 뽑는 것이 아니라 시계열 자료를 길이가 ℓ인 블럭으로 뽑는 K¨unsch (1989)의 moving block bootstrap(MBB)에 의해 해결의 실마리를 찾게 되었다. 블럭 붓스트랩은 그 이후 겹침을 허락하지 않는 블럭 붓스트랩(nonoverlapping block boostrap; NBB), 정상성을 보존해주는 정상 블럭 붓스트랩(stationary block bootstrap; SBB), 자료를 이어 붙여 처음과 끝부분의 블럭 크기가 작아지는 단점을 해결한 순환 블럭 붓스트랩(circular block bootstrap; CBB) 등의 여러 변형된 방법으로 발전하였다. 하지만, 커널 평활법이 띠넓이에 의존하듯이 블럭 붓스트랩은 블럭의 크기가 유한 표본에서의 성능을 크게 결정하는 매우 중요한 모수다.
	정상시계열에 대한 장기적 분산이란?	정상시계열에 대한 장기적 분산(long-run variance; LRV)은 모평균의 추정값인 표본 평균의 점근적 정규성을 위한 표준화된 극한(scaling limit)으로 정의된다. 따라서 LRV는 시계열 분석의 추론에서 매우 중요한 역할을 하는 모수이다.
	LRV의 활용 분야는?	따라서 LRV는 시계열 분석의 추론에서 매우 중요한 역할을 하는 모수이다. 예를 들어 정상시계열의 모평균에 대한 추론, 자기 상관성을 갖는 회귀분석에서의 회귀 모수에 대한 검증, 단위근 검증, 변화점 감지를 위한 CUSUM 통계량 등등 그 활용 분야는 무궁무진하다.

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용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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