탄성파 자료의 역산은 파동방정식에 기초하고 있으므로 파동방정식의 해를 정확하게 구하는 것이 가장 중요하다. 특히, 전파형역산은 파동장 전체를 이용하기 때문에 정문제에 해당하는 모델링이 정확하게 이루어져야 신뢰할 수 있는 결과를 얻게 된다. 파동방정식의 수치해를 구하는 대표적인 기법인 유한차분법과 유한요소법은 해의 수렴성을 보장할 수 있어야 하는데, 해의 수렴성은 이론적으로 일반화된 증명이 되어 있으나 실제 문제에 적용할 경우 일관성과 안정성을 분석해야 한다. 모델링 결과의 일관성은 송신원 함수의 구현이 매우 중요한 부분인데, 유한차분법은 디랙 델타 함수(Dirac delta function)를 나타낼 때 격자 간격으로 표준화된 싱크 함수(sinc function)를 사용해야 하는 반면 유한요소법은 격자 간격에 관계없이 기저함수 값을 사용하면 된다. 주파수 영역 파동방정식을 사용할 경우 송신 파형 함수의 스펙트럼을 정확하게 표현하기 위해 샘플링 이론으로 정의되는 시간 간격보다 더 조밀한 샘플링 간격을 사용하고 나이퀴스트(Nyquist) 주파수보다 더 높은 주파수를 최대 주파수로 사용해야 한다. 또한, 복소각주파수를 사용하는 경우 감쇠 파동방정식을 만족하기 위해서는 송신 파형 함수를 먼저 감쇠한 후 사용해야 한다. 이러한 요건들이 모두 만족되었을 때 신뢰할 수 있는 역산 알고리즘 개발이 가능하다.
탄성파 자료의 역산은 파동방정식에 기초하고 있으므로 파동방정식의 해를 정확하게 구하는 것이 가장 중요하다. 특히, 전파형역산은 파동장 전체를 이용하기 때문에 정문제에 해당하는 모델링이 정확하게 이루어져야 신뢰할 수 있는 결과를 얻게 된다. 파동방정식의 수치해를 구하는 대표적인 기법인 유한차분법과 유한요소법은 해의 수렴성을 보장할 수 있어야 하는데, 해의 수렴성은 이론적으로 일반화된 증명이 되어 있으나 실제 문제에 적용할 경우 일관성과 안정성을 분석해야 한다. 모델링 결과의 일관성은 송신원 함수의 구현이 매우 중요한 부분인데, 유한차분법은 디랙 델타 함수(Dirac delta function)를 나타낼 때 격자 간격으로 표준화된 싱크 함수(sinc function)를 사용해야 하는 반면 유한요소법은 격자 간격에 관계없이 기저함수 값을 사용하면 된다. 주파수 영역 파동방정식을 사용할 경우 송신 파형 함수의 스펙트럼을 정확하게 표현하기 위해 샘플링 이론으로 정의되는 시간 간격보다 더 조밀한 샘플링 간격을 사용하고 나이퀴스트(Nyquist) 주파수보다 더 높은 주파수를 최대 주파수로 사용해야 한다. 또한, 복소 각주파수를 사용하는 경우 감쇠 파동방정식을 만족하기 위해서는 송신 파형 함수를 먼저 감쇠한 후 사용해야 한다. 이러한 요건들이 모두 만족되었을 때 신뢰할 수 있는 역산 알고리즘 개발이 가능하다.
Since seismic inversion is based on the wave equation, it is important to calculate the solution of wave equation exactly. In particular, full waveform inversion would produce reliable results only when the forward modeling is accurately performed because it uses full waveform. When we use finite-di...
Since seismic inversion is based on the wave equation, it is important to calculate the solution of wave equation exactly. In particular, full waveform inversion would produce reliable results only when the forward modeling is accurately performed because it uses full waveform. When we use finite-difference or finite-element method to solve the wave equation, the convergence of numerical scheme should be guaranteed. Although the general proof of convergence is provided theoretically, the consistency and stability of numerical schemes should be verified for practical applications. The implementation of source function is the most crucial factor for the consistency of modeling schemes. While we have to use the sinc function normalized by grid spacing to correctly describe the Dirac delta function in the finite-difference method, we can simply use the value of basis function, regardless of grid spacing, to implement the Dirac delta function in the finite-element method. If we use frequency-domain wave equation, we need to use a conservative criterion to determine both sampling interval and maximum frequency for the source wavelet generation. In addition, the source wavelet should be attenuated before applying it for modeling in order to make it obey damped wave equation in case of using complex angular frequency. With these conditions satisfied, we can develop reliable inversion algorithms.
Since seismic inversion is based on the wave equation, it is important to calculate the solution of wave equation exactly. In particular, full waveform inversion would produce reliable results only when the forward modeling is accurately performed because it uses full waveform. When we use finite-difference or finite-element method to solve the wave equation, the convergence of numerical scheme should be guaranteed. Although the general proof of convergence is provided theoretically, the consistency and stability of numerical schemes should be verified for practical applications. The implementation of source function is the most crucial factor for the consistency of modeling schemes. While we have to use the sinc function normalized by grid spacing to correctly describe the Dirac delta function in the finite-difference method, we can simply use the value of basis function, regardless of grid spacing, to implement the Dirac delta function in the finite-element method. If we use frequency-domain wave equation, we need to use a conservative criterion to determine both sampling interval and maximum frequency for the source wavelet generation. In addition, the source wavelet should be attenuated before applying it for modeling in order to make it obey damped wave equation in case of using complex angular frequency. With these conditions satisfied, we can develop reliable inversion algorithms.
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문제 정의
본 논문에서는 음향파 완전파형역산에서 사용되는 유한차분법, 유한요소법, 시간 영역, 주파수 영역 모델링 기법 간의 차이점을 비교하고, 이들 기법들이 일관성 있는 수치해를 얻기 위해 고려해야 할 사항과 방법에 대해 기술하고자 한다. 본론의 전반부에는 수치해를 구하기 위한 기본 이론과 일관성 있는 수치해를 구하기 위한 이론에 대해 설명한다.
지구물리분야에서는 지층이나 지질구조와 관련된 여러 물리적 현상을 이용하여 지구 내부 구조를 파악하는 것을 주 목적으로 한다. 이 목적을 달성하기 위해서 특정한 물리적 현상에 대한 정문제(forward problem)를 정의하고 이를 이용하여 역문제(inverse problem)를 푸는 것이 핵심이다.
본론의 전반부에는 수치해를 구하기 위한 기본 이론과 일관성 있는 수치해를 구하기 위한 이론에 대해 설명한다. 후반부에는 전반부에서 이론적으로 밝힌 방법론의 효용성을 수치 예제를 통해 보여주고자 한다.
제안 방법
그러나 시간 영역 모델링과 동일한 샘플링 간격을 이용하여 주파수 영역 모델링을 수행하면 계산해야 할 주파수의 개수가 현저하게 증가하므로 계산 시간이 불필요하게 증가한다. 따라서 계산 효율성을 위해 샘플링 이론으로 계산되는 샘플링 간격의 절반 크기를 이용하여 주파수 영역에서 모델링을 수행한 뒤 시간 영역 모델링 결과와 비교하였다(Fig. 8). 인공 경계면에서의 반사파 잡음을 최소화하기 위해 시간 영역 모델링 기법에는 Reynolds (1978)가 제안한 경계조건을 적용하였고 주파수 영역 모델링 기법에는 Clayton and Engquist (1980)의 45° 근사 경계조건을 사용하였다.
유한차분법에 의한 파동 방정식의 풀이는 오래 전부터 이미 널리 사용되어 왔고 수학적으로도 완전한 해석이 이루어져 있으나 원칙적으로는 어떤 수치해법을 적용하기 위해서는 수렴성(convergence)에 대한 해석이 먼저 이루어져야 한다. 여기서는 편의상 1차원 양방향 음향 파동방정식을 이용하여 수렴성을 확인해 보겠다. 밀도가 균질한 매질에서 1차원 양방향 음향 파동방정식은 다음과 같다.
대상 데이터
1). 모델링을 위해 사용한 송신 파형은 최대 주파수 9.375 hz를 갖는 1차 미분 가우스 함수이고 총 3초간 기록하였다.
이론/모형
유한차분법으로 모델링을 수행할 때 이산화된 디랙 델타 함수를 표현하려면 격자 간격을 고려하여 정확한 싱크 함수를 정의해야 한다. 격자 간격에 따른 모델링 결과를 비교하기 위하여 4 m 격자 간격과 8 m 격자 간격의 Marmousi 속도 모형을 이용하여 모델링을 수행하였다. 식 (31)과 같이 격자 간격을 고려하지 않은 디랙 델타 함수를 사용할 경우 진폭이 동일하지 않음을 확인할 수 있다(Fig.
본 연구에서는 수치해의 일관성을 확인하기 위하여 Marmousi 모형(Versteeg et al., 1994)의 일부를 사용하였다. 해당 모형의 수평 거리는 4.
인공 경계면에서의 반사파 잡음을 최소화하기 위해 시간 영역 모델링 기법에는 Reynolds (1978)가 제안한 경계조건을 적용하였고 주파수 영역 모델링 기법에는 Clayton and Engquist (1980)의 45° 근사 경계조건을 사용하였다.
성능/효과
앞 절에서 언급했던 바와 같이 일반적으로 안정적인 파동 방정식의 해를 얻기 위해서는 감쇠 계수를 적용하여 주파수 영역에서 모델링을 수행한 뒤 역 푸리에 변환을 이용하여 시간 영역으로 파동장을 변환한다. 이 결과를 시간 영역에서 계산된 트레이스와 비교하면 감쇠 효과로 인해 진폭이 작게 나타남을 확인 할 수 있다(Fig. 10a). 감쇠된 진폭을 보상하기 위해 모델링에 사용한 감쇠계수를 이용하여 지수함수적으로 진폭을 조정하면 시간 영역 결과에 비해 약간 큰 진폭 값을 갖게 된다(Fig.
후속연구
특히, 최근 많은 연구가 이루어지고 있는 전파형역산과 같은 기술은 파동의 일부분이 아닌 전체를 이용하기 때문에 정확한 파동방정식의 해가 필요하다. 본 논문에서 다룬 것처럼 잘 정립된 유한차분법이나 유한요소법을 이용하여 수치해를 얻을 때에도 일반적으로 알려진 수렴성이나 수치적 안정성을 정확하게 분석할 필요가 있다. 또한 정확한 수치해를 구하는 것은 다양한 수치적 방법 사이의 일관성을 유지하는 것과 동일하며, 이를 위해 각 수치 해법의 특성을 정확하게 파악하는 것이 필요하다.
수치 예제를 통해 확인한 것처럼 수치적 기법의 일관성과 안정성을 고려하고 송신원을 정확하게 구현하면 정확한 파동방정식의 해를 구할 수 있다. 이러한 과정을 거쳐 개발된 모델링 또는 역산 알고리즘은 수치해의 오차에서 발생하는 시행착오나 잘못된 역산 결과를 그대로 믿게 되는 중대한 오류에서 어느정도 자유로울 수 있을 것으로 기대한다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
지구물리분야의 주목적은 무엇인가?
지구물리분야에서는 지층이나 지질구조와 관련된 여러 물리적 현상을 이용하여 지구 내부 구조를 파악하는 것을 주 목적으로 한다. 이 목적을 달성하기 위해서 특정한 물리적 현상에 대한 정문제(forward problem)를 정의하고 이를 이용하여 역문제(inverse problem)를 푸는 것이 핵심이다.
유한차분법에서 송신원을 구현하는 방법에는 무엇이 있는가?
유한차분법에서 송신원을 구현하는 방법에는 크게 초기값 방법(initial value method)과 하중 함수 방법(forcing function method) 두 가지로 구분할 수 있다. 초기값 방법은 해석적 해를 송신원을 포함하는 영역에 초기값으로 주고 모델링하는 것으로 송신원 근처의 파동장이 정확하게 모델링 되지만 시간 순서에 따라 구현해주어야 하기 때문에 주파수 영역 모델링에서는 사용될 수 없다는 한계점이 있다.
지구물리분야에서 주 목적을 달성하기위해서 무엇을 푸는 것이 핵심인가?
지구물리분야에서는 지층이나 지질구조와 관련된 여러 물리적 현상을 이용하여 지구 내부 구조를 파악하는 것을 주 목적으로 한다. 이 목적을 달성하기 위해서 특정한 물리적 현상에 대한 정문제(forward problem)를 정의하고 이를 이용하여 역문제(inverse problem)를 푸는 것이 핵심이다. 탄성파 분야에서는 수많은 역산 문제들이 존재하는데 그 중 전파형 역산(full waveform inversion)이 고급 영상화 기술로 여겨지며 최근 가장 큰 관심을 받고 있다(Virieux and Operto, 2009).
참고문헌 (12)
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Douglas, Jr. J., Santos, J. E., Sheen, D., and Bennethum, L. S., 1993, Frequency domain treatment of one-dimensional scalar waves, Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, 3, 171-194.
Douglas, Jr. J., Sheen, D., and Santos, J. E., 1994, Approximation of scalar waves in the space-frequency domain, Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, 4, 509-531.
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Robertsson, J. O., Bednar, B., Blanch, J., Kostov, C., and van Manen, D. J., 2007, Introduction to the supplement on seismic modeling with applications to acquisition, processing, and interpretation. Geophysics, 72, SM1-SM4.
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