이론적 연구를 통하여 정수압의 영향을 받는 항복기준인 Mohr-Coulomb 항복기준과 Drucker-Prager 항복기준의 강도정수를 ${\pi}$-평면에 대해 일치시킴으로써 강도정수간의 상관관계를 분석해 보았다. Drucker-Prager 강도정수 ${\alpha}$와 k를 Mohr-Coulomb 강도정수인 c와 ${\phi}$를 이용하여 표현하였는데 k는 c, ${\phi}$의 함수로 표현되었고 ${\alpha}$는 ${\phi}$만의 함수로 표현되었다. Drucker-Prager 강도정수 ${\alpha}$값은 흙의 내부마찰각이 커짐에 따라 증가함을 알 수 있었는데 Drucker-Prager 항복기준을 나타내는 원이 Mohr-Coulomb 항복기준에 외접 및 내접하는 경우의 ${\alpha}$값을 나타내는 ${\alpha}_c$와 ${\alpha}_i$값에 대하여 평균값인 ${\alpha}_{av}$의 값은 내부마찰각에 비례하였는데 내부마찰각이 $10^{\circ}$인 경우 약 0.07이었으며 내부마찰각이 $45^{\circ}$인 경우 약 0.29이었다. 또한, ${\alpha}_c/{\alpha}_i$값은 내부마찰각에 비례하였는데 내부마찰각이 $10^{\circ}$인 경우 약 1.12이었으며 내부마찰각이 $45^{\circ}$인 경우 약 1.62이었다. Mohr-Coulomb 강도정수가 Drucker-Prager 강도정수 k에 미치는 영향을 살펴보았는데 본 연구에서 가정한 흙의 점착력 중 최소값이 10kPa인 경우를 제외하고 흙의 내부마찰각의 영향을 거의 받지 않고 전체적으로 흙의 점착력에 영향을 받음을 알 수 있었다. 일정한 점착력에 대하여 내부마찰각이 증가함에 따라 일축압축시 및 일축인장시의 Mohr-Coulomb 항복기준에 의한 축차응력인 $S_{c0}$와 $S_{t0}$ 그리고 두 값의 평균값인 $S_{0(ave)}$값은 감소하였다. 또한 내부마찰각이 증가할수록 Mohr-Coulomb 항복궤적을 나타내는 육각형이 더욱 불규칙해져 $S_{0(ave)}$로부터 $S_{c0}$와 $S_{t0}$ 사이의 편차가 내부마찰각이 증가함에 따라 커짐을 알 수 있었다.
이론적 연구를 통하여 정수압의 영향을 받는 항복기준인 Mohr-Coulomb 항복기준과 Drucker-Prager 항복기준의 강도정수를 ${\pi}$-평면에 대해 일치시킴으로써 강도정수간의 상관관계를 분석해 보았다. Drucker-Prager 강도정수 ${\alpha}$와 k를 Mohr-Coulomb 강도정수인 c와 ${\phi}$를 이용하여 표현하였는데 k는 c, ${\phi}$의 함수로 표현되었고 ${\alpha}$는 ${\phi}$만의 함수로 표현되었다. Drucker-Prager 강도정수 ${\alpha}$값은 흙의 내부마찰각이 커짐에 따라 증가함을 알 수 있었는데 Drucker-Prager 항복기준을 나타내는 원이 Mohr-Coulomb 항복기준에 외접 및 내접하는 경우의 ${\alpha}$값을 나타내는 ${\alpha}_c$와 ${\alpha}_i$값에 대하여 평균값인 ${\alpha}_{av}$의 값은 내부마찰각에 비례하였는데 내부마찰각이 $10^{\circ}$인 경우 약 0.07이었으며 내부마찰각이 $45^{\circ}$인 경우 약 0.29이었다. 또한, ${\alpha}_c/{\alpha}_i$값은 내부마찰각에 비례하였는데 내부마찰각이 $10^{\circ}$인 경우 약 1.12이었으며 내부마찰각이 $45^{\circ}$인 경우 약 1.62이었다. Mohr-Coulomb 강도정수가 Drucker-Prager 강도정수 k에 미치는 영향을 살펴보았는데 본 연구에서 가정한 흙의 점착력 중 최소값이 10kPa인 경우를 제외하고 흙의 내부마찰각의 영향을 거의 받지 않고 전체적으로 흙의 점착력에 영향을 받음을 알 수 있었다. 일정한 점착력에 대하여 내부마찰각이 증가함에 따라 일축압축시 및 일축인장시의 Mohr-Coulomb 항복기준에 의한 축차응력인 $S_{c0}$와 $S_{t0}$ 그리고 두 값의 평균값인 $S_{0(ave)}$값은 감소하였다. 또한 내부마찰각이 증가할수록 Mohr-Coulomb 항복궤적을 나타내는 육각형이 더욱 불규칙해져 $S_{0(ave)}$로부터 $S_{c0}$와 $S_{t0}$ 사이의 편차가 내부마찰각이 증가함에 따라 커짐을 알 수 있었다.
In this theoretical study, the strength parameters of the Drucker-Prager yield criterion and Mohr-Coulomb yield criterion were set to equal values, in order to analyze the correlation among the parameters. The Drucker-Prager strength parameters ${\alpha}$ and k were represented by the Moh...
In this theoretical study, the strength parameters of the Drucker-Prager yield criterion and Mohr-Coulomb yield criterion were set to equal values, in order to analyze the correlation among the parameters. The Drucker-Prager strength parameters ${\alpha}$ and k were represented by the Mohr-Coulomb strength parameters c and ${\phi}$. Specifically it can be seen that k is function of c, ${\phi}$ and ${\alpha}$ is function of ${\phi}$ alone. Drucker-Prager strength parameter ${\alpha}$ increases as the internal friction angle of soil increases. ${\alpha}_{av}$ which is the average of ${\alpha}_c$ and ${\alpha}_i$ was proportional to internal friction angle in which ${\alpha}_c$ and ${\alpha}_i$ are ${\alpha}$ values corresponding to the circles of the Drucker-Prager yield cirteria circumscribes and inscribes the Mohr-Coulomb yield criterion respectively. The values of the ${\alpha}_{av}$ was 0.07 and 0.29 which correspond to the internal friction angle of $10^{\circ}$ and $45^{\circ}$ respectively. In addition, value of ${\alpha}_c/{\alpha}_i$ was proportional to internal friction angle of soil and the values of ${\alpha}_c/{\alpha}_i$ 1.12 and 1.62 which corresponds to internal friction angle of $10^{\circ}$ and $45^{\circ}$ respectively.The influence of the Mohr-Coulomb strength parameters on the Drucker-Prager strength parameter k was investigated and it was found that k was mainly influenced by the cohesion of the soil, except in the case of the minimum assumed value of c of 10kPa. The deviator stresses, $S_{c0}$ and $S_{t0}$, which correspond to the cases of the Mohr-Coulomb yield criterion under uniaxial compression and uniaxial tension, respectively, and $S_{0(ave)}$, which is the average value of $S_{c0}$ and $S_{t0}$, decrease as the internal friction angle increases. Furthermore, the hexagon, which represents the Mohr-Coulomb yield locus, becomes more irregular, and the deviations of $S_{c0}$ and $S_{t0}$ from $S_{0(ave)}$ also increase, as the internal friction angle increases.
In this theoretical study, the strength parameters of the Drucker-Prager yield criterion and Mohr-Coulomb yield criterion were set to equal values, in order to analyze the correlation among the parameters. The Drucker-Prager strength parameters ${\alpha}$ and k were represented by the Mohr-Coulomb strength parameters c and ${\phi}$. Specifically it can be seen that k is function of c, ${\phi}$ and ${\alpha}$ is function of ${\phi}$ alone. Drucker-Prager strength parameter ${\alpha}$ increases as the internal friction angle of soil increases. ${\alpha}_{av}$ which is the average of ${\alpha}_c$ and ${\alpha}_i$ was proportional to internal friction angle in which ${\alpha}_c$ and ${\alpha}_i$ are ${\alpha}$ values corresponding to the circles of the Drucker-Prager yield cirteria circumscribes and inscribes the Mohr-Coulomb yield criterion respectively. The values of the ${\alpha}_{av}$ was 0.07 and 0.29 which correspond to the internal friction angle of $10^{\circ}$ and $45^{\circ}$ respectively. In addition, value of ${\alpha}_c/{\alpha}_i$ was proportional to internal friction angle of soil and the values of ${\alpha}_c/{\alpha}_i$ 1.12 and 1.62 which corresponds to internal friction angle of $10^{\circ}$ and $45^{\circ}$ respectively.The influence of the Mohr-Coulomb strength parameters on the Drucker-Prager strength parameter k was investigated and it was found that k was mainly influenced by the cohesion of the soil, except in the case of the minimum assumed value of c of 10kPa. The deviator stresses, $S_{c0}$ and $S_{t0}$, which correspond to the cases of the Mohr-Coulomb yield criterion under uniaxial compression and uniaxial tension, respectively, and $S_{0(ave)}$, which is the average value of $S_{c0}$ and $S_{t0}$, decrease as the internal friction angle increases. Furthermore, the hexagon, which represents the Mohr-Coulomb yield locus, becomes more irregular, and the deviations of $S_{c0}$ and $S_{t0}$ from $S_{0(ave)}$ also increase, as the internal friction angle increases.
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문제 정의
Tresca 항복기준과 von Mises 항복기준은 정수압과 무관하므로 Tresca 항복면은 중심이 공간대각선상에 있는 공간대각선방향으로의 정육각형기둥이 되고 von Mises 항복면은 중심이 공간 대각선상에 있는 공간대각선 방향으로의 원기둥이 된다. Mohr-Coulomb 항복기준과 Drucker-Prager 항복기준은 각각 Tresca 항복기준과 von Mises 항복기준의 확장형식이라 할 수 있는데 본 연구에서는 정수압응력에 의존하는 항복기준인 Mohr-Coulomb 항복기준과 Drucker-Prager 항복기준을 일치시키고자 할 때 Drucker-Prager 강도정수가 Mohr-Coulomb 강도정수에 어떻게 영향을 받는지를 매개변수연구를 통해 살펴보고자 하였다.
가설 설정
62이다. Mohr-Coulomb 강도정수 c 및 Φ에 따른 Drucker-Prager 강도정수 k의 변화양상을 살펴보기 위해 흙의 내부마찰각은 5º에서부터 45º까지 5º씩 증가된 값을 가정하였고 점착력은 10kPa에서부터 50kPa까지 10kPa씩 증가된 값을 가정하였다. 가정한 점착력에 대하여 흙의 내부마찰각에 대한 kc와 ki를 나타내면 각각 Fig.
그리고 τu와 σn은 각각 파괴면에 작용하는 전단응력과 수직응력을 의미한다. Mohr-Coulomb 항복기준이 의미하는 바는 압력 σn이 커질수록 재료가 견딜 수 있는 전단응력도 커진다는 것이다. Mohr-Coulomb 항복기준은 Tresca 항복기준의 일반화된 버전이라 할 수 있는데 Φ = 0이고 c = k인 경우 Tresca 항복기준이 되기 때문이다.
Tresca 항복기준과 von Mises 항복기준은 정수압의 영향을 받지 않는 것으로 금속의 소성모델에 적합하다. 암석과 흙 그리고 콘크리트와 같은 재료의 경우 항복은 정수압응력과 밀접한 관련이 있다. Drucker-Prager 항복기준[5]은 von Mises 항복기준을 간단히 수정한 것으로 식 (5)와 같이 정수압을 의미하는 응력불변량 I1을 von Mises 항복기준에 도입하고 있다.
제안 방법
이론적 연구를 통하여 정수압에 영향을 받는 항복기준인 Mohr-Coulomb 항복기준과 Drucker-Prager 항복기준의 강도정수를 π-평면에 대해 일치시킴으로써 강도 정수간의 상관관계를 분석해 보았다. 연구를 통해 얻은 결론은 다음과 같다.
성능/효과
(3) Mohr-Coulomb의 강도정수가 Drucker-Prager 강도정수 k에 미치는 영향을 살펴보았는데 본 연구에서 가정한 흙의 점착력 중 최소값인 10kPa인 경우를 제외하고 흙의 내부마찰각의 영향을 거의 받지 않고 전체적으로 흙의 점착력에 영향을 받음을 알 수 있었다.
후속연구
(5) 본 연구를 통하여 Mohr-Coulomb 항복기준을 Drucker-Prager 항복기준으로 근사시킬 경우 두 가지의 항복기준을 신뢰성 있게 일치시켜 볼 수 있는 편차의 한계를 규정하는데 도움이 될 것으로 생각된다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
일반적으로 가장 많이 쓰이는 항복기준은 어떤 것들이 있는가?
등방 금속재료의 항복조건으로 일반적으로 가장 많이 쓰이는 항복기준은 Tresca 항복기준[1]과 von Mises 항복기준[2]으로서 Taylor and Quinney [3]는 일련의 시험을 통해 Tresca 항복조건과 von Mises 항복기준이 금속의 실제거동을 잘 모사함을 입증한 바 있다. Tresca 항복기준은 재료에 발생하는 최대 전단응력이 특정한 임계값에 도달할 때 항복이 일어난다는 것으로 식 (1)과 같이 표현된다.
Drucker-Prager 강도정수와 내부마찰각의 관계는?
Table 1과 Fig. 9를 통해 알 수 있듯이 sc0와 st0 그리고 s0(ave)값은 내부마찰각이 증가할수록 감소함을 알 수 있다. 또한 Fig. 9를 통해 알 수 있듯이 내부마찰각이 증가할수록 Mohr-Coulomb 항복궤적을 나타내는 육각형이 더욱 불규칙해짐을 알 수 있어 s0(ave)로부터 sc0와 st0 사이의 편차가 내부마찰각이 증가함에 따라 커짐을 알 수 있다. Table 1로부터 계산에 고려한 모든 점착력에 대하여 내부마찰각에 따른 편차(deviation)를 나타내면 Fig.
Tresca 항복기준이란?
등방 금속재료의 항복조건으로 일반적으로 가장 많이 쓰이는 항복기준은 Tresca 항복기준[1]과 von Mises 항복기준[2]으로서 Taylor and Quinney [3]는 일련의 시험을 통해 Tresca 항복조건과 von Mises 항복기준이 금속의 실제거동을 잘 모사함을 입증한 바 있다. Tresca 항복기준은 재료에 발생하는 최대 전단응력이 특정한 임계값에 도달할 때 항복이 일어난다는 것으로 식 (1)과 같이 표현된다.
참고문헌 (8)
Tresca, H., Memoire sur l'ecoulement des corps solides soumis a de fortes pressions. C.R. Acad. Sci. Paris, vol. 59, p. 754, 1864.
von Mises, R., Mechanik der festen Korper im plastisch deformablen Zustand. Gottin. Nachr. Math. Phys., vol. 1, pp.582-592, 1913.
Taylor, G. I. and Quinney, H., The latent energy remaining in a metal after cold working, P. Roy. Soc. Lond. A Mat. 143:849, p.307-326, 1934.
Fung, Y.C., Foundations of Solid Mechanics, Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1965.
Drucker, D. C. and Prager, W., Soil mechanics and plastic analysis for limit design. Quarterly of Applied Mathematics, vol. 10, no. 2, pp. 157-165, 1952.
Haigh, Bernard Parker, "Strain-energy Function and the Elastic-limit". Report of the Eighty-Seventh Meeting of the British Association for the Advancement of Science, 9-13 September 1919, Bournemouth. London: John Murray. pp. 486-495, 1920.
Westergaard HM, On the resistance of ductile materials to combined stresses. J Franklin Inst., 189, pp. 627-640, 1920. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/S0016-0032(20)90373-3
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