[논문]방향성 공간적 조건부 자기회귀 모형의 베이즈 분석 방법

경민정

doi:10.7465/jkdi.2016.27.5.1133

방향성 공간적 조건부 자기회귀 모형의 베이즈 분석 방법
Bayesian analysis of directional conditionally autoregressive models 원문보기

Journal of the Korean Data & Information Science Society = 한국데이터정보과학회지, v.27 no.5, 2016년, pp.1133 - 1146

초록
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공간통계 방법 중 지역에 대한 어떤 집합체 자료나 평균자료들을 분석하는데 일반적으로 공간적 자기회귀 (conditionally autoregressive) 모형을 사용한다. 공간적 자기회귀 모형에 정의되는 공간적 이웃 소지역들은 중점의 거리나 근접성으로 정의된다. Kyung과 Ghosh (2009)는 방향에 따라서 이웃간 자기상관성의 크기가 다른 확장된 공간 모형을 제시하였다. 제안된 방향적 조건부 자기회귀 (directional conditionally autoregressive) 모형은 고유 이방성을 모형화하여 기존의 CAR과정을 일반화한다. 제시한 방향적 조건부 자기회귀모형의 모수추정으로 마르코프 체인 몬테 카를로 방법을 기반으로 한 베이즈 추정법을 제시한다. 제시한 모형을 스코틀랜드 그레이터 글래스고우의 로그변환된 부동산 가격에 적용하여 조건부 자기회귀모형과 비교하였다.

Abstract ▼ AI-Helper

Counts or averages over arbitrary regions are often analyzed using conditionally autoregressive (CAR) models. The spatial neighborhoods within CAR model are generally formed using only the inter-distance or boundaries between the sub-regions. Kyung and Ghosh (2009) proposed a new class of models to accommodate spatial variations that may depend on directions, using different weights given to neighbors in different directions. The proposed model, directional conditionally autoregressive (DCAR) model, generalized the usual CAR model by accounting for spatial anisotropy. Bayesian inference method is discussed based on efficient Markov chain Monte Carlo (MCMC) sampling of the posterior distributions of the parameters. The method is illustrated using a data set of median property prices across Greater Glasgow, Scotland, in 2008.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

본 논문에서는 공간 임의 효과 ηi에 적용할 유연한 모형인 DCAR 모형에 대해서 살펴보고, 베이지안 추정법을 바탕으로 실제 데이터에 적용하여 활용성을 연구한다.
본 연구에서는 분산행렬 Σ(ω)에 대해 이방성을 고려한 모형을 살펴본다.
이 절에서는 내재된 공간과정 Z_i의 가우스 DCAR 모형에 대하여 베이지안 추정법에 근거한 모수 추정법과 관련측도의 추정법에 대해 살펴본다.

가설 설정

한가지 제안할 수 있는 방법은 근접성의 방향을 보고 직관적으로 정의하는 것이다. 그러나 본 연구에서는 각 소그룹의 이웃지역 인덱스 집합을 방향성을 지닌 부분집합으로 분리할 수 있다고 가정한다.
부동산가격에 자연로그 변환을 적용한 변수를 반응변수 Z_i = ln(Y_i)로 사용하고 가우스 분포를 가정한다. 각 변수들간 산점도행렬을 살펴보면 선형모형의 적용을 위하여 범죄율과 쇼핑센터까지의 운전시간에 자연로그변환을 적용하는 것이 적절하다고 판단하여 자연로그변환된 범죄율과 운전시간을 설명변수로 대신 사용한다.
연구 공간의 추세와 경향성을 설명하는 고정효과인 대규모 변화를 모형화하기 위하여 어떤 일반성의 손실없이 정준적 일반화된 선형 모형 #을 가정한다.
1)에서 정의한 내제된 공간과정 Z_i의 공간적 고유 이방성을 모형화하여 기존의 CAR 과정을 일반화한 방향성 자기회귀 모형에 대해서 논의한다. 이해와 표기의 편의를 위해 소지역 S_i는 이차원 공간에 정의되었다 가정한다. 즉, #, ∀i.

제안 방법

M번의 반복 횟수 중 반을 burn-in으로 제거하고, 나머지 반복횟수들로 부터 사후분포 π(θ|X, z)를 따르는 표본을 얻어서 사후분석에 사용한다.
이러한 IG은 영역넓이의 중앙값이 124헥타르이고 인구밀도의 중앙값이 4,239명인 소지역이다. 관측된 변수로는 영국 파운드로 관측된 주택가격 (in thousands)과 10,000명당 범죄율 (crime rate), 방의 갯수 (number of rooms)의 중앙값, 부동산 판매 비율 (%)(property sales), 마켓까지의 운전시간(분) (drive time to a shop), 그리고 각 IG에 가장 일반적인 부동산의 형태 (type)이다. 반응변수는 주택가격 (House price)이고 type변수는 명목형 변수로 ‘flat’, ‘terraced’, ‘semi-detached’와 ‘detached’의 네수준으로 표시된다.
베이지안 추정치로 모수들의 사후 중앙값을 사용하는데, 사후 분포가 비대칭인경우 중앙값이 로버스트 추정량을 제공하기 때문이다. 그리고 각 모수의 분포도로 구간추정에 사용하는 2.5 백분위수와 97.5 백분위 수를 사용한 95% 등꼬리 신뢰집합 (credible set; CS)을 계산한다.
다음으로 관측된 반응값과 설명변수을 바탕으로 DCAR 모형의 모수를 추정하는 방법을 살펴본다. Kyung과 Ghosh (2009)는 방향적 조건부 자기 회귀 과정의 베이지안 추정법을 연구하였고, Kyung과 Ghosh (2010)에서는 최대우도 추정법을 살펴보았다.
스코틀랜드 그레이터 글래스고우의 로그변환된 부동산 가격에 가우스 분포를 가정하며 공간 임의 효과를 포함하여 분석하고 비교하였다. 공간자기상관의 효과로 거리상 가까운 지역의 값을 비슷하게 만드는 영향으로 지역전체의 잔차에 존재하는 경향성을 약화시키기 때문에 공간자기상관 모형들의 잔차들이 연구지역 전체에 대한 큰 경향성은 없는 것을 관측할 수 있다.
WinBUGS는 복잡한 사후분포로 부터의 표집법인 Metropolis-Hastings 표집법과 Slice 표집법도 포함한 베이지안 분석의 유용한 프로그램이다. 우리는 이 연구에서 DCAR 모형과 CAR 모형의 사후 분포로부터의 표집을 위해 R에서 WinBUGS를 불러들여 베이지안 분석을 하는 R2WinBUGS 패키지 (Sturtz 등, 2005)를 사용하여 사후분석을 한다.
우선 적절한 집합체적 공간통계적인 모형을 직접적으로 사용하여 Σ 행렬의 원소들의 결정적 함수를 구체화하는 것이다.
이 논문에서는 β와 σ2의 사전분포는 공액사전분포를 사용하고, 제약 조건을 고려해야 하는 δ의 사전분포는 부적절 사전분포를 사용한다.
의 모형화를 위하여 일반적으로 가우스 조건부 자기회귀 모형을 사용한다. 이 절에서는 Brook의 보조정리를 이용하여 CAR의 확장모형인 방향적 조건부 자기회귀 과정의 결합분포를 유도한다.
이 절에서는 공간 DCAR 모형을 스코틀랜드의 그레이터 글래스고우 (Grater Glasgow)의 평균 부동산 가격자료에 적용하여 분석한다. 본 자료는 Scottish Neighborhood Statistics (SNS) 데이터베이스 (http://www.
주어진 자료에 CAR 모형과 DCAR 모형을 적용하여 비교한다. 두 모형을 비교하기 위하여 Spiegelhalter 등 (2002)이 제안한 편차정보기준 (deviance information criterion)을 사용한다.

대상 데이터

베이지안 추정을 위해 서로 다른 세 시작점으로부터 각각 5000번씩 반복 후 앞의 2000번은 Burnin으로 제거하고 나머지 3000번의 반복으로 얻은 사후표본, 즉 총 9000개의 사후표본을 사용한다. 베이지안 추정치로 모수들의 사후 중앙값을 사용하는데, 사후 분포가 비대칭인경우 중앙값이 로버스트 추정량을 제공하기 때문이다.
이 절에서는 공간 DCAR 모형을 스코틀랜드의 그레이터 글래스고우 (Grater Glasgow)의 평균 부동산 가격자료에 적용하여 분석한다. 본 자료는 Scottish Neighborhood Statistics (SNS) 데이터베이스 (http://www.sns.gov.uk/)에서 구할 수 있고, 지도를 그릴 수 있는 지형다각자료와 좌표가 포함되어 있는 자료를 R의 CARBayes (Lee, 2013) 패키지에서 쉽게 구할 수 있다.
연구지역은 그레이터 글래스고우와 클라이드 (Clyde)의 건강관련 구분지역 (health board)으로 271개의 중간지역 (intermediate geographies: IG)으로 나뉘어져 있다. 이러한 IG은 영역넓이의 중앙값이 124헥타르이고 인구밀도의 중앙값이 4,239명인 소지역이다.

이론/모형

특히, 방향성 모수 δ₁과 δ₂는 가우스 DCAR 모형의 분산공분산 행렬에 내제된 모수로 수리적인 추정량을 구할 수 없다. 그러므로 가우스 DCAR 모형의 모수들은 조건부 사후 분포와 수치적 방법을 적용한 베이지안 추정법을 사용하여 분석한다.
내재된 공간과정 Z_i의 모형화를 위하여 일반적으로 가우스 조건부 자기회귀 모형을 사용한다. 이 절에서는 Brook의 보조정리를 이용하여 CAR의 확장모형인 방향적 조건부 자기회귀 과정의 결합분포를 유도한다.
주어진 자료에 CAR 모형과 DCAR 모형을 적용하여 비교한다. 두 모형을 비교하기 위하여 Spiegelhalter 등 (2002)이 제안한 편차정보기준 (deviance information criterion)을 사용한다. 먼저 편차 (deviance) 는
실질적으로, 조건부 사후분포로 부터 깁스 표집법 (Gibbs sampling)을 사용하기 위하여 간단한 분석 팩키지인 WinBUGS (http://www.mrc-bsu.cam.ac.uk/bugs/winbugs/contents.shtml)를 사용한다. WinBUGS는 복잡한 사후분포로 부터의 표집법인 Metropolis-Hastings 표집법과 Slice 표집법도 포함한 베이지안 분석의 유용한 프로그램이다.
완전 조건부 분포들로 부터 Brook의 보조정리 (Brook, 1964)를 이용하여 결합 분포를 유도한다. 이 정리는 양의 조건을 만족시키는 완전 조건부로부터 유일한 결합분포를 구조적으로 다시 되돌릴 수 있게 해준다 (Besag, 1974; Besag과 Kooperberg, 1995).
Kyung과 Ghosh (2009)는 방향적 조건부 자기 회귀 과정의 베이지안 추정법을 연구하였고, Kyung과 Ghosh (2010)에서는 최대우도 추정법을 살펴보았다. 이 논문에서는 Kyung과 Ghosh (2009)가 제시한 방향적 조건부 자기 회귀 모형의 베이지안 추정법을 적용한다.

성능/효과

936)보다는 수치적으로 작은 효과를 보이고 있다. AIC와 BIC를 비교하면 DCAR 과정보다는 CAR 과정이 조금은 더 그레이터 클래스고우의 부동산가격 분석 모형에 적합함을 알 수 있다. 그러나 그 차이는 무시할 만 하다.
이것은 그레이터 클래스고우의 부동산가격에 대하여 추정한 DCAR 추정치와 CAR 추정치의 비율에 대한 산점도로, 예측값이 관측된 값과 유사할 수록 기울기 1인 직선식에 더 가깝다는 의미를 갖는다. DCAR 예측치와 CAR 예측치 모두 직선식에 가깝기 때문에 이 자료는 CAR 모형이 DCAR 모형의 특수한 형태로 표현할 수 있다는 것을 알 수 있다.
936)보다는 수치적으로 작은 효과를 보이고 있다. 그러나 DCAR 모형과 CAR 모형의 차이가 거의 없고 스코틀랜드 그레이터 글래스고우의 부동산가격을 예측하는 데는 CAR 모형과 DCAR 모형이 사용될 수 있음을 확인하였다.
세 모형 모두에 유의한 설명변수들은 로그변환된 10,000명당 범죄율과, 방의 갯수, 그리고 부동산 판매비율이다. 그러나 선형모형의 부동산의 형태 (type)에 대한 베이즈 추정치는 CAR 모형과 DCAR 모형의 베이지안 추정치보다 두 배 이상의 작은 값으로 나타났고, 로그변환된 마켓까지의 운전시간 (log(time))에 대한 베이즈 추정치는 다른 모형의 베이지안 추정치 보다 세 배 정도 작은 값으로 나타났다. 주의할 점은 표준오차와 함께 고려했을 때, 선형모형에서는 type과 log(time)이 유의하지만, 95% 신뢰집합을 고려한 CAR 모형이나 DCAR 모형의 베이지안 추정치의 경우 두 변수는 유의하지 않다는 차이를 보이고 있다.
936 보다 큰 값을 보이고 있다. 방향성을 고려하지 않은 공간효과 모형에서도 유의한 양의 공간효과를 확인할 수 있으며, 방향성을 고려했을 때 북동남서 방향의 공간상관관계 (0.899)가 북서남동 방향의 공간상관관계 (0.936)보다는 수치적으로 작은 효과를 보이고 있다. AIC와 BIC를 비교하면 DCAR 과정보다는 CAR 과정이 조금은 더 그레이터 클래스고우의 부동산가격 분석 모형에 적합함을 알 수 있다.
이는 공간자기상관의 효과로 거리상 가까운 지역의 값을 비슷하게 만드는 영향으로 지역전체의 잔차에 존재하는 경향성을 약화시키기 때문이다. 앞의 표에서 설명한 것 처럼, DCAR 모형과 CAR 모형의 차이가 거의 없고 부동산가격을 예측하는 데는 CAR 모형과 DCAR 모형이 사용될 수 있음을 확인하였다.

후속연구

2절에서 정의한 이웃지역의 인덱스 집합의 부분집합은 파벌을 형성하는 더 많은 부분집합으로 나뉠 수 있다. 그러나 이러한 방향성에 대한 부분집합의 갯수를 늘리면 더 많은 수의 모수를 추정해야하는 문제가 발생하며, 적당한 수의 부분집합의 갯수를 구하는 방법을 앞으로의 연구주제로 고려한다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	토블러의 첫 번째 법칙이 발생하는 원인은 무엇인가?	지리학에서 이러한 특성은 ‘토블러의 첫 번째 법칙’으로 알려져 있다 (Miller, 2004). 통계학적인 관점에서 볼 때 이러한 특성은 거리상 가까운 지역들로부터 수집된 관측치들 사이의 자기상관관계가 먼 거리의 관측치들과의 자기상관관계보다 높기 때문에 나타나는 결과로 보여 진다. 그러므로 격자 또는 지역자료 (Cressie, 1993)로 알려진 지역에 대한 어떤 집합체 자료나 평균자료들이 다양한 분야의 연구에서 관측되고 있으며 공간통계 방법을 사용한 분석이 사용되고 있다.
	토블러의 첫 번째 법칙이란 무엇인가?	지리학적 지역 집합이 주어졌을 때, 가까운 지역에서 수집된 관측치들은 거리상 먼 지역 자료의 관측치에 비해 서로 비슷한 특성을 띄는 경향을 보이게 된다. 지리학에서 이러한 특성은 ‘토블러의 첫 번째 법칙’으로 알려져 있다 (Miller, 2004).
	DCAR 모형이란 무엇인가?	그러므로 방향적 조건부 자기회귀 (directional conditionally autoregressive) 모형은 고유 이방성을 모형화하여 기존의 CAR 과정을 일반화 시킨 모형이다. 즉, 모든 방향으로 일정한 공간적 자기상관 무게를 부여하는 CAR모형의 한계에 대하여 강한 방향적 직교 공간적 자기상관성을 공간 임의 효과에 포함하여 일반화 시킨 것이 DCAR 모형이다.

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저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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