[논문]고빈도 시계열 분석을 위한 함수 변동성 fARCH(1) 모형 소개와 예시

윤재은; 김종민; 황선영

doi:10.5351/kjas.2017.30.6.983

고빈도 시계열 분석을 위한 함수 변동성 fARCH(1) 모형 소개와 예시
Functional ARCH (fARCH) for high-frequency time series: illustration 원문보기

응용통계연구 = The Korean journal of applied statistics, v.30 no.6, 2017년, pp.983 - 991

윤재은 (숙명여자대학교 통계학과) , 김종민 (미네소타대학교 통계분야) , 황선영 (숙명여자대학교 통계학과)

초록
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본 논문은 고빈도 시계열 자료 분석을 위한 최신 함수-변동성 functional ARCH : fARCH(1) 모형을 독자들에게 소개하고 국내 자료 적합을 예시하고 있다. fARCH(1) 모형을 KOSPI/현대차 1분 단위 고빈도 수익률 자료에 적합하여 기존의 ARCH 모형에서는 할 수 없었던 다이나믹한 일중(intraday) 변동성을 추정할 수 있음을 보여주고 있다.

Abstract ▼ AI-Helper

High frequency time series are now prevalent in financial data. However, models need to be further developed to suit high frequency time series that account for intraday volatilities since traditional volatility models such as ARCH and GARCH are concerned only with daily volatilities. Due to $H{\ddot{o}}rmann$ et al. (2013), functional ARCH abbreviated as fARCH is proposed to analyze intraday volatilities based on high frequency time series. This article introduces fARCH to readers that illustrate intraday volatility configuration on the KOSPI and the Hyundai motor company based on the data with one minute high frequency.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

fARCH(1)은 Engle (1982)의 ARCH(1) 모형을 함수적 접근으로 확장시킨 개념이다. ARCH(1) 모형이 상수와 과거 수익률의 제곱의 선형결합으로 나타내지는 것과 같이 fARCH(1) 모형에서도 과거 수익률의 제곱들과 그것의 변동성 함수와의 함수적 선형결합(functional linear combination) 형태로 현재 관측값의 변동성 함수를 나타내고자 하였다.
간단한 모형인 fARCH(1) 모형에서 함수 δ와 연산자 β의 추정에 대해 살펴보겠다.
이어 Aue 등 (2017)은 fARCH(1) 모형을 확장한 fGARCH(1, 1) 모형에 대해 연구하였다. 본 논문에서는 이분산성 모형의 함수적 버전인 fARCH(1) 모형, fGARCH(1, 1) 모형에 대해 소개하고 국내 고빈도 자료에 적용한 결과를 제시하였다.
본 연구에서 자료 분석은 Hörmann 등 (2013)의 저자 중 한 명인 Ron Reeder 교수께서 저희들에게 제공해준 R코드를 국내 자료에 맞게 수정/조정하여 수행했음을 밝혀두는 바이다.
본 절에서는 국내 금융시계열 자료에 fARCH(1) 모형을 적용한 결과를 예시하고자 한다. 본 연구에서 자료 분석은 Hörmann 등 (2013)의 저자 중 한 명인 Ron Reeder 교수께서 저희들에게 제공해준 R코드를 국내 자료에 맞게 수정/조정하여 수행했음을 밝혀두는 바이다.
이 연구에서 Hörmann은 fARCH(1) 모형을 소개하고 이 모형이 정의되기 위한 조건 등을 제시하였다.

제안 방법

먼저 함수공간 F 가 힐버트 공간 F = H = L² ([0, 1])인 경우에 강정상 솔루션이 존재하기 위한 충분조건을 살펴보겠다.
P_k (t)를 k일의 시간 t에서의 주가라고 하면 y_k (t) = log P_k (t) − log P_k (t − h)로 하고 시간 간격을 다르게 하여 로그 수익률을 계산할 수 있다. 본 논문에서는 h = 5로 하여 5분 간격 로그 수익률을 계산하여 이용하였다. 로그 수익률의 변동성은 #로 나타낼 수 있다.
자세한 추론 과정과 이론적인 배경은 Hörmann 등 (2013)을 참고하기 바라며 본 절에서는 주요한 식을 중심으로 살펴보고자 한다. 유한한 표본을 이용하는 실증 분석에서는 다음과 같은 유한표본 버전으로 확장한 형태의 공분산 연산자와 교차 공분산 연산자를 이용한다.
자세한 추론 과정과 이론적인 배경은 Hörmann 등 (2013)을 참고하기 바라며 본 절에서는 주요한 식을 중심으로 살펴보고자 한다.

대상 데이터

KOSPI와 KOSPI의 시가총액 상위종목인 현대차 고빈도 자료를 이용하였다. 2010년 1월 5일부터 2015년 6월 30일까지 1,349일의 자료이며 개장시간 동안 1분 간격으로 조사된 고빈도 자료를 이용하였다. P_k (t)를 k일의 시간 t에서의 주가라고 하면 y_k (t) = log P_k (t) − log P_k (t − h)로 하고 시간 간격을 다르게 하여 로그 수익률을 계산할 수 있다.
KOSPI와 KOSPI의 시가총액 상위종목인 현대차 고빈도 자료를 이용하였다. 2010년 1월 5일부터 2015년 6월 30일까지 1,349일의 자료이며 개장시간 동안 1분 간격으로 조사된 고빈도 자료를 이용하였다.

이론/모형

Engle (1982)의 ARCH 모형과 같이 이분산(heteroskedastic) 자료에서 함수적 데이터 분석 접근을 위한 functional heteroskedastic framework에 대한 연구는 Hörmann 등 (2013)에 의해 이루어졌다.

성능/효과

하나의 그래프가 하루중의 변동성 변화를 나타내고 있으며 하루를 0부터 1까지로 보고 일중 로그 수익률의 변동성을 추정한 결과를 보여주고 있다. 전 시점까지 누적되어 있는 과거값들의 정보를 이용하여 추정한 결과가 실제 수익률의 변화를 어느 정도 잘 반영하고 있음을 알 수 있으며 fARCH(1)을 이용하여 일중의 다이나믹한 변동성 그래프를 얻을 수 있었다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	금융시계열에서 함수적 데이터 분석은 어떻게 활용되는가?	이러한 함수적 접근은 지금까지는 함수적 시계열이 등분산(homoskedastic)인 경우에 대해 많이 연구가 되었는데 최근에는 고빈도 변동성 자료(high-frequency volatility data)의 분석과 관련되어서도 연구가 이루어지고 있다. 금융시계열에서 함수적 데이터 분석은 변동성을 모델링하기 위한 방법으로 적용할 수 있으며 고빈도 자료를 활용한 함수적 데이터 분석은 관측값의 연속적인 흐름(continuous flow)에 대한 정보를 얻을 수 있게 해준다. 함수적 데이터 분석의 세부적인 내용은 Ramsay와 Silvermann (2005) 등을 참고하기 바란다.
	함수적 시계열 모형 중 가장 잘 알려진 ARH(1) 모형의 한계점은 무엇인가?	함수적 시계열 모형 중 가장 잘 알려진 모형은 autoregressive hilbertian process (ARH(1)) (Brockwell과 Davis, 1991) 모형으로 AR(1) 모형의 확장이다. 이 모형은 활용 면에서 비선형 모형을 나타내는 데에 한계가 있다. 이에 Hörmann 등 (2013)은 함수적 이분산성 모형의 framework를 정립하고 functional ARCH (fARCH) 모형을 제안하였다.
	변동성 모델링에 사용하는 모형은 무엇인가?	변동성(volatility, 조건부 분산)을 모델링하는 것은 금융시계열분석의 주요한 요소 중 하나이다. 대부분의 변동성 모델링은 Engle (1982)의 ARCH 모형, Bollerslev (1986)의 GARCH 모형 등 다양한 조건부 이분산성 모형을 설정하고 모수를 추정하는 모형 기반(model based) 방법을 통해 이루어진다. ARCH모형과 GARCH 모형은 대표적인 변동성 모형으로 이에 대한 많은 연구들이 있으며 이 모형들에 기초한 다양한 변형 모형들이 금융시계열분석에서 이론과 응용 면에서 주요한 역할을 하고 있다.

참고문헌 (12)

Andersen, T. G., Bollerslev, T., Diebold, F. X., and Labys, P. (2003). Modelling and forecasting realized volatility, Econometrica, 71, 579-625.

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Aue, A., Horvath, L., and Pellatt, D. (2017). Functional generalized autoregressive conditional heteroskedasticity, Journal of Time Series Analysis, 38, 3-21.

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Bollerslev, T. (1986). Generalized autoregressive heteroskedasticity, Journal of Econometrics, 31, 307-327.

상세보기
Brockwell, P. and Davis, R. A. (1991). Time Series: Theory and Methods, Springer, New York.
Didericksen, D., Kokoszka, P., and Zhang, X. (2010). Empirical properties of forecasts with the functional autoregressive model (Technical report), Utah State University.
Engle, R. F. (1982). Autoregressive conditional heteroskedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation, Econometrica, 50, 987-1007.

상세보기
Hormann, S., Horvath, L., and Reeder, R. (2013). A functional version of the ARCH model, Econometric Theory, 29, 267-288.

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Jin, M. K., Yoon, J. E., and Hwang, S. Y. (2017). Choice of frequency via principal component for highfrequency volatility models, Korean Journal of Applied Statistics, 30, 747-757.

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Martens, M. (2002). Measuring and forecasting S&P 500 index-futures volatility using high-frequency data, Journal of Futures Markets, 22, 497-518.

상세보기
Ramsay, J. O. and Silverman, B. W. (2005). Functional Data Analysis (2nd ed), Springer, New York.
Tsay, R. S. (2010). Analysis of Financial Time Series (3rd ed), John Wiley & Sons, New York.
Yoon, J. E. and Hwang, S. Y. (2015). Volatility computations for financial time series: high frequency and hybrid method, Korean Journal of Applied Statistics, 28, 1163-1170.

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