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문제 정의
- 제안한 EPSAO는 현재 구속조건이 없는 문제에만 적용이 가능하다. 그러므로 향후 연구과제로 구속조건 문제를 처리할 수 있는 EPSAO를 개발하고자 한다.
- 기존 근사최적설계 기법 및 순차적 근사최적설계 기법은 전역 최적해(Global optimum)를 찾는 것을 목표로 한다. 그러므로 정확한 전역 최적해를 탐색하기 위해 많은 실험 정보들을 필요로 하며, 그만큼 많은 CAE 해석이 요구된다.
- 따라서, 본 논문에서는 산업제품의 상세설계 단계에서 단지 20~30회 미만의 CAE 해석 안에 최적 설계안을 도출해내는 효율적인 점진적 변수선택 기반 근사최적화 기법(Efficient progressive screening-based approximate optimization, 이하 EPSAO)을 제안한다. 본 논문에서 제안한 EPSAO는 구속조건이 없는 설계 문제에만 적용할 수 있으며, 구속조건이 있는 설계 문제에 대한 적용은 향후 연구 과제로 남아있다.
- 본 논문에서는 산업제품의 상세설계 단계에서 설계 인자의 개수와 상관없이 20~30회 미만의 CAE해석 만으로 향상된 해를 도출할 수 있는 EPSAO를 제안했다.
제안 방법
- EPSAO의 성능을 평가하기 위해 크게 두 분류의 예제에 적용해 보았다. 첫 번 째 적용한 문제는 그림 6(a)에서 볼 수 있듯이 계곡 형태(valley shaped)이거나 그림 6(b), (c)와 같이 국부 최적해(local optimum)가 많이 존재하여 전역 최적화(global optimum)를 찾기 어려운 문제이다.
- 개선된 CMA-ES의 성능을 평가하기 위해서 다음과 같이 3가지 성능 평가 지표를 사용하였다.
- 기존의 CMA-ES 대비하여 개선된 CMA-ES의 성능을 평가하기 위하여 전체설계 영역 대비 가용영역(feasible region)과 목적함수의 형태에 따라 문제를 분류하여 전역최적화 기법의 성능평가에 주로 사용되는 수학적 문제에 적용하였다 [8].
- 이로 인해 초기 실험점 주위에서 빠른 해의 향상을 기대할 수 있다. 또한, 초기 단계부터 시작하여 반복되는 최적화 단계에서 실험점의 개수가 달라지기 때문에 각 단계의 실험점의 개수에 따라 다항 회귀항의 개수을 선택할 수 있도록 하여 모델을 구성하도록 하였다.
- 본 논문에서는 전역 최적해를 찾아주는 개선된 CMA-ES 기법과EPSAO에 다양한 예제를 적용하여 정확성, 효율성, 강건성을 비교하였다.
- 두 번째 문제는 최적화 기법의 테스트 문제로 잘 알려진 Schittkowski문제[13]로써 매우 비선형이 높은 문제들이다. 적용한 수학적 문제들은 설계인자의 개수를 변경할 수 있는 문제로써 각 문제마다 설계인자의 개수를 2, 4, 6, 8, 10으로 하여 총 20 (4*5)개의 문제를 풀어 보았다. Schittkowski 문제는 설계인자의 개수가 2~10으로 구성된 8개의 문제이다.
데이터처리
- 두 기법의 효율성은 20번의 반복 수행에 대한 평균함수 해석 횟수(average number of function calls)로 비교하였다.
- 본 논문에서 제안한 EPSAO의 성능은 상용 최적화 소프트웨어인 SORS와 SRSM의 결과와 비교 평가하였다. 결과를 확인하여 보면, 수학적 예제에서는 EPSAO의 정확도가 SORS와 SRSM보다 각각 20%, 10% 우수한 것을 확인할 수 있었다.
- 정확성의 성능지표는 그림 4에서와 같이 실제 해와 각 기법에서 구한 최적해의 오차(error)를 계산하였으며, 각 문제마다 20번 반복 수행한 평균오차(meanerror)로 비교하였다.
- 제안한 EPSAO의 성능을 평가하기 위해 상용 최적 설계 소프트웨어인 Hyperstudy에 탑재되어 있는 최적화 기법 중 EPSAO와 특성이 비슷한 SORS (Second Order Response Surface), SRSM (Scalable response surface method)와 성능 비교를 해보았다.
이론/모형
- EPSAO의 성능을 평가하기 위해 CMA-ES와 마찬가지로 3가지 성능 평가 지표를 사용했으며, 그 성능평가 지표는 다음과 같다.
- 따라서, 적은 실험점으로도 완전일차다항식을 구성할 수 있는 “Moore-Penrose generalized inverse”를 사용하였다 [7].
성능/효과
- 효율성의 경우에는 SORS와 유사한 성능을 보이며, SRSM비하여 매우 우수한 성능을 보인다. Schittkowski 문제에서는 정확도와 강건성이 모든 기법이 유사하였지만, EPSAO의 효율성이 SORS와 SRSM보다 각각 20%, 50% 우수한 것을 확인할 수 있었다.
- 결과를 종합하여 보면 본 논문에서 수학적 예제들과 Schittkowski 문제를 적용한 결과, 본 연구를 통하여 개발한 EPSAO가 SORS와 SRSM에 비하여 우수한 정확성과 강건성을 보장하면서 효율성이 매우 우수한 것을 확인할 수 있었다.
- 결과를 확인하여 보면 3-8번까지의 문제의 경우는 두 기법 모두 오차가 거의 없는 것을 확인할 수 있었지만, 1, 2, 9, 10번 문제의 경우는 기존의 CMA-ES의 정확도가 낮은 것을 확인할 수 있었다. 총 10개의 문제의 평균오차는 기존의 CMA-ES는 5.
- 본 논문에서 제안한 EPSAO의 성능은 상용 최적화 소프트웨어인 SORS와 SRSM의 결과와 비교 평가하였다. 결과를 확인하여 보면, 수학적 예제에서는 EPSAO의 정확도가 SORS와 SRSM보다 각각 20%, 10% 우수한 것을 확인할 수 있었다. 효율성의 경우에는 SORS와 유사한 성능을 보이며, SRSM비하여 매우 우수한 성능을 보인다.
- 결론적으로 본 논문에서 개발한 EPSAO를 다양한 예제에 적용하여 본 결과, SORS와 SRSM에 비하여 우수한 정확성과 강건성을 보장하면서 효율성이 매우 우수한 것을 확인할 수 있다.
- 그림 7을 보면 강건성은 모든 기법에서 동일한 성능을 가졌다(모든 기법이 20개의 수학적 문제의 해를 도출해냄). 그러나 정확도와 효율성에서는 성능차이를 보였다. 총 20개의 수학적 문제에 대하여 정확도의 경우에 EPSAO가 SORS보다 약20%, SRSM보다 약 10% 성능이 우수한 것을 확인할 수 있다.
- 그러므로 정확한 전역 최적해를 탐색하기 위해 많은 실험 정보들을 필요로 하며, 그만큼 많은 CAE 해석이 요구된다. 그러나 제안한 EPSAO는 산업제품의 상세설계 단계의 기간/비용을 대폭 감소시키고, 기존 설계보다 향상된 해를 찾는 것을 목표로 개발되었기 때문에 설계인자의 개수와 상관없이 20~30회 미만의 CAE 해석만으로 향상된 해를 도출할 수 있다.
- 그림 9를 보면 적용한 예제에서는 모든 기법이 같은 정확도와 강건성을 보였다. 그러나 효율성의 경우, EPSAO가 SORS보다 약20%, SRSM보다 약 50% 우수한 성능을 보였다. 그림 10에서는 Schittkowski적용 예제의 각 기법 별 함수 해석횟수를 나타낸 그림으로 문제의 특성마다 전역 최적해를 찾을 때까지의 함수 해석횟수가 차이가 존재하지만, 본 예제에서는 EPSAO의 효율성이 가장 우수함을 확인할 수 있다.
- 그러나 효율성의 경우, EPSAO가 SORS보다 약20%, SRSM보다 약 50% 우수한 성능을 보였다. 그림 10에서는 Schittkowski적용 예제의 각 기법 별 함수 해석횟수를 나타낸 그림으로 문제의 특성마다 전역 최적해를 찾을 때까지의 함수 해석횟수가 차이가 존재하지만, 본 예제에서는 EPSAO의 효율성이 가장 우수함을 확인할 수 있다.
- 총 10개의 문제 중에서 1번과 9번의 문제의 경우는 기존의 CMA-ES가 전역 최적해를 찾지 못하였으며, 2번과 10번의 문제의 경우는 두 기법 모두 전역 최적해를 찾지 못하였다. 따라서, 강건성도 개선된 CMA-ES가 더 우수함을 확인할 수 있다.
- EPSAO는 적응형 초박 초기점 생성 알고리즘, 주요 변수 판별 및 다항 회귀모델 생성 알고리즘, 지능형 설계영역 관리 알고리즘과 전역 최적해를 찾아주는 CMA-ES로 구성 되어 있다. 따라서, 제안한 EPSAO은 기존 근사최적설계 기법이나 순차적 근사최적설계기법의 초기단계에서 설계인자의 개수에 따라 CAE 해석 회수가 증가하는 문제를 피하고, 효율적으로 개선된 해를 찾을 수 있게 된다.
- 3%로 개선된 CMAES가 더 우수한 정확성을 보였다. 또한, 개선된 CMA-ES는 적용한 모든 예제에서 우수한 강건성을 보장하면서 더 적은 평균 함수 해석 횟수로 전역 최적해를 찾음으로써 기존의 CMA-ES보다 더 우수한 효율성을 보였다.
- 마지막으로 본 논문에서 적용한 예제에 대한 효율성을 비교하여 보면, 모든 경우에서 개선된 CMA-ES가 전역 최적해를 찾기 위한 평균 함수 해석 횟수가 더 적은 것을 알 수 있으며 효율성이 우수함을 확인할 수 있다.
- 제안한 EPSAO는 현재 구속조건이 없는 문제에만 적용이 가능하다. 그러므로 향후 연구과제로 구속조건 문제를 처리할 수 있는 EPSAO를 개발하고자 한다.
- 주요 변수를 기반으로 다항 회귀 모델을 구성 한 후 근사최적설계의 각 반복 단계마다 지능적으로 설계영역을 변화시켜줌으로써 정확성(해의 향상을 나타내는 지표)과 효율성을 동시에 향상을 시켰다. 그림 3은 지능형 설계영역의 크기를 결정하는 방법을 설명한 것이다.
- 총 10개 문제에서 평균오차가 기존의 CMA-ES는 5.63%, 개선된 CMA-ES는 4.3%로 개선된 CMAES가 더 우수한 정확성을 보였다. 또한, 개선된 CMA-ES는 적용한 모든 예제에서 우수한 강건성을 보장하면서 더 적은 평균 함수 해석 횟수로 전역 최적해를 찾음으로써 기존의 CMA-ES보다 더 우수한 효율성을 보였다.
- 그림 5을 확인하여 보면 강건성과 효율성을 동시에 확인할 수 있다. 총 10개의 문제 중에서 1번과 9번의 문제의 경우는 기존의 CMA-ES가 전역 최적해를 찾지 못하였으며, 2번과 10번의 문제의 경우는 두 기법 모두 전역 최적해를 찾지 못하였다. 따라서, 강건성도 개선된 CMA-ES가 더 우수함을 확인할 수 있다.
- 결과를 확인하여 보면 3-8번까지의 문제의 경우는 두 기법 모두 오차가 거의 없는 것을 확인할 수 있었지만, 1, 2, 9, 10번 문제의 경우는 기존의 CMA-ES의 정확도가 낮은 것을 확인할 수 있었다. 총 10개의 문제의 평균오차는 기존의 CMA-ES는 5.63%이며, 개선된 CMA-ES는 4.3%로 개선된 CMA-ES가 우수함을 확인할 수 있었다.
- 그러나 정확도와 효율성에서는 성능차이를 보였다. 총 20개의 수학적 문제에 대하여 정확도의 경우에 EPSAO가 SORS보다 약20%, SRSM보다 약 10% 성능이 우수한 것을 확인할 수 있다.
- 효율성의 경우에는 EPSAO와 SORS은 성능이 비슷했지만 SRSM은 다른 두 기법에 비해 50%의 성능이 저하 됨을 확인할 수 있다. 그림 8은 수학적 예제 중에서 대표적으로 Levy function에 대한 각 기법 별 함수 해석횟수를 나타낸 그림이다.
후속연구
- 따라서, 본 논문에서는 산업제품의 상세설계 단계에서 단지 20~30회 미만의 CAE 해석 안에 최적 설계안을 도출해내는 효율적인 점진적 변수선택 기반 근사최적화 기법(Efficient progressive screening-based approximate optimization, 이하 EPSAO)을 제안한다. 본 논문에서 제안한 EPSAO는 구속조건이 없는 설계 문제에만 적용할 수 있으며, 구속조건이 있는 설계 문제에 대한 적용은 향후 연구 과제로 남아있다.
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