[논문]스도쿠 풀이에서 욕심쟁이 기법과 가지치기를 이용한 완전이진트리 생성 기법

김태석; 김종수

doi:10.9717/kmms.2017.20.4.696

스도쿠 풀이에서 욕심쟁이 기법과 가지치기를 이용한 완전이진트리 생성 기법
A Method to Expand a Complete Binary Tree using Greedy Method and Pruning in Sudoku Problems 원문보기

멀티미디어학회논문지 = Journal of Korea Multimedia Society, v.20 no.4, 2017년, pp.696 - 703

김태석 (Dept. of Computer Software Engineering, Dong-Eui University) , 김종수 (Dept. of System Management, Korea Lift College)

Abstract ▼ AI-Helper

In this paper, we show how to design based on solving Sudoku problem that is one of the NP-complete problems like Go. We show how to use greedy method which can minimize depth based on tree expansion and how to apply heuristic algorithm for pruning unnecessary branches. As a result of measuring the performance of the proposed method for solving of Sudoku problems, this method can reduce the number of function call required for solving compared with the method of heuristic algorithm or recursive method, also this method is able to reduce the 46~64 depth rather than simply expanding the tree and is able to pruning unnecessary branches. Therefore, we could see that it can reduce the number of leaf nodes required for the calculation to 6 to 34.

주제어

AI 본문요약
AI-Helper

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문제 정의

본 논문에서 바둑과 같이 NP-완전 문제 중에 하나인 스도쿠를 풀이할 수 있는 풀이기 설계방법을 제안하였다. 아주 복잡한 난이도를 가지는 NP 문제들은 정확한 수학적 공식이나 일반적인 해법을 찾을 수 없는 경우가 많다.
NP 문제를 해결하기 위한 인공지능은 반드시 최적의 해법을 구해야 할 필요는 없기 때문에 짧은 시간에 해를 구할 수 있는 알고리즘의 개발이 중요하다고 할 수 있다. 본 논문에서는 NP 완전문제인 스도쿠의 풀이기 위해 트리순회와 잘 알려져 있는 풀이 방법을 구현한 알고리즘과 욕심쟁이 기법(greedy method)을 이용하여 트리를 순회를 최소화하기 위한 예를 보인다.

제안 방법

이 연구는 재귀적 알고리즘을 적용하기 전에 탐색횟수를 줄일 수 있도록 행, 열 그리고 그룹에서 탐색대상이 되는 숫자가 가장 작은 세트부터 숫자를 채워나 가는 욕심쟁이 기법을 구현하고 있다. GUI는 구현되지 않았으며, 컴퓨터의 계산능력을 충분히 활용하여 시간복잡도를 최적화 시켰다. 재귀적 호출을 사용하는 방식을 의사코드로 나타내면 Table 1과 같다.
Hidden Single과 Naked Pair를 사용하는 전처리 과정을 거친 후에도 스도쿠 방진 전체가 숫자로 채워지지 않으면, 다음 단계는 욕심쟁이 기법을 사용하여 최소 깊이 전개에 가장 효과적인 cell을 검색한 후, 트리의 전체 잎에 해당 cell의 숫자들을 자식 노드로 추가한다. 이렇게 생성된 잎 노드를 사용하여 스도쿠 방진을 다시 생성하며, 만약 스도쿠 방진이 숫자로다 채워지면 정답 검증기를 사용하여 정답을 검증하는 과정을 반복한다.
후보의 개수가 2개 이상일 경우, method 2를 적용한다. 두 후보에서 각각의 값이 정답으로 설정되었을 때, 정답으로 설정되지 않은 행 열 또는 그룹에서 가장 많은 값을 제거하는 숫자 선택해서 새로 생성되는 depth의 자식 노드로 추가한다. 이 후, 다시 전처리를 수행하며, 스도쿠 방진이 전부 채워졌을 경우 정답검증기를 사용하여 가치평가를 수행하여 불필요한 가지를 친다.
분산 환경에서 1,920개의 CPU와 289개의 GPU로 구성된 구글의 딥마인드 알파고는 머신러닝과 몬테카를로 트리 순회 기술을 조합한 알고리즘을 사용하여 (2.08×10170)/ 4개의 경우의 수를 가지는 바둑에서 인간의 지능을 뛰어넘는 인공지능을 만들어냈다.
초기에 문제가 출제되면 전처리 과정을 거친 후, Hidden Single과 Naked Pair로 알려진 알고리즘으로 부분 정답을 찾아내거나 전개가 불필요한 가지를 친다. 스도쿠 방진 전체가 임의로 선택된 숫자로 채워지면 정답 검증기를 사용하여 정답을 검증한 후, 정답이면 결과를 출력하여 종료하고, 정답이 아닐 경우에는 다시 문제를 초기화한 후, 트리를 생성하고 최소 깊이 전개를 위해 욕심쟁이 기법을 사용하여 전처리된 셀들 중에서 시간복잡도를 최소화할 수 있는 Cell을 구한 후, 해당 Cell에 포함된 숫자들을 사용하여 자식 노드로 전개한다. 정답검증기의 주요 역할은 현재 정답이 검증되고 있는 잎 노드가 속한 경로가 앞으로 계속해서 깊이 전개를 해야 하는지 가치를 평가하는 것이며, 가치 평가의 결과는 현재 잎이 정답인 경우 스도쿠 방진을 리턴하고, 추가적인 깊이 전개가 더 필요한 경우 욕심쟁이 기법으로 찾은 Cell 을 이용하여 가장 깊은 잎 노드를 대상으로 자식 노드를 추가해 나간다.
com/81” 에 소개되어 있다[11]. 이 연구는 재귀적 알고리즘을 적용하기 전에 탐색횟수를 줄일 수 있도록 행, 열 그리고 그룹에서 탐색대상이 되는 숫자가 가장 작은 세트부터 숫자를 채워나 가는 욕심쟁이 기법을 구현하고 있다. GUI는 구현되지 않았으며, 컴퓨터의 계산능력을 충분히 활용하여 시간복잡도를 최적화 시켰다.
스도쿠 방진 전체가 임의로 선택된 숫자로 채워지면 정답 검증기를 사용하여 정답을 검증한 후, 정답이면 결과를 출력하여 종료하고, 정답이 아닐 경우에는 다시 문제를 초기화한 후, 트리를 생성하고 최소 깊이 전개를 위해 욕심쟁이 기법을 사용하여 전처리된 셀들 중에서 시간복잡도를 최소화할 수 있는 Cell을 구한 후, 해당 Cell에 포함된 숫자들을 사용하여 자식 노드로 전개한다. 정답검증기의 주요 역할은 현재 정답이 검증되고 있는 잎 노드가 속한 경로가 앞으로 계속해서 깊이 전개를 해야 하는지 가치를 평가하는 것이며, 가치 평가의 결과는 현재 잎이 정답인 경우 스도쿠 방진을 리턴하고, 추가적인 깊이 전개가 더 필요한 경우 욕심쟁이 기법으로 찾은 Cell 을 이용하여 가장 깊은 잎 노드를 대상으로 자식 노드를 추가해 나간다. 해당 잎 노드가 오답인 경우 더이상 깊이 전개가 되지 않도록 가지를 친다.
제안된 방법에서는 스도쿠 풀이를 위해 적용될 수 있는 알고리즘 중에서 사용 빈도수가 비교적 높은 “Full House/Last Dight”, “Hidden Single”, “Naked Single”, 그리고 “Naked Pair”만을 구현하였다.
제안된 방법은 기존에 알려진 휴리스틱 알고리즘과 욕심쟁이 기법을 사용하여 트리 전개를 최소화하는 기법을 사용한다. Fig.
호도쿠나 재귀적 호출을 사용하는 방법의 서로 다른 설계 목적을 가지고 있음으로 각각의 구현 방법에 대한 성능평가를 위해 임의로 출제된 난이도가 높은 스도쿠 문제를 대상으로 처리 시간과 주요항목을 측정하였고, 이를 위해 호도쿠와 재귀적호출 방법은 기존의 프로그램에 해당코드를 추가하였다. 주어진 문제는 다음과 같다.

성능/효과

9x9 정형 스도쿠에서 25개의 숫자가 공개된 문제의 경우에서 볼 때, 단순하게 트리만을 전개하는 경우에는 최악의 경우 56단계의 깊이 전개가 필요하고, 그에 따른 잎도 엄청나게 늘어날 수 있지만, 제안된 방법에서는 주어진 문제들에 대하여 전개된 깊이가 4∼9단계로 줄어들었으며, 계산에 필요한 잎 노드가 6∼34개로 줄어든 볼 수 있었다.
호도쿠에서 가장 많이 사용되는 풀이방 법은 Full House, Naked Single, Hidden Single이였으며, 다음으로 Locked Condidates, XY-Chain 등 이였다. GUI를 구현하지 않고 오직 스도쿠 문제 풀이를 위한 코드로만 구현된 재귀적호출 방법이 가장 빠른 시간을 보였지만, 호도쿠에서 전체 알고리즘의 수나 제안된 방법에서의 깊이와 잎의 곱을 호출횟수로 가정한다면 다른 2개의 방법보다 메서드 호출 횟수가 많은 것을 알 수 있다. 재귀적 방법에서는 불필요한 호출을 최적화하기 힘들다는 단점도 있다.
본 논문에서도 많은 계산량을 가지는 게임인 스도쿠 문제의 풀이기를 설계하는데 있어서 트리전개바탕으로 욕심쟁이 기법을 사용하여 완전이진트리에서 전개될 깊이를 최소화는 방법과 자주 사용되는 알고리즘을 사용하여 불필요한 가지를 쳐냄으로써 계산되어야 할 잎 노드를 최소화시키는 방법을 보였다. 향후 일상생활에서 접할 수 있는 다양한 NP-완전문제들에 대하여 최적의 풀이를 수행할 수 있도록 제안된 방법을 응용하고 개선할 수 있는 연구가 지속적으로 필요하다.
스도쿠 풀이를 위해 사용될 수 있는 알고리즘의 구현하기 위하여 strategy 패턴을 사용하였고, Abstract Solver를 확장한 SimpleSolver, ChainSolver, ColoringSolver, 그리고 FishSolver와 같은 다양한 메서드들이 구현되었음을 볼 수 있다. 총 23개의 클래스를 사용하여 47개의 풀이 방법을 구현하고 있다 [10].
스도쿠를 풀이하기 위한 첫 번째 단계는 각각의 정답이 주어진 각 셀을 제외하고 정답이 아닌 셀에 대하여 정답이 될 수 있는 숫자들의 집합을 찾아내는 것이다. 제안된 방법에서, Cell 클래스는 스도쿠 문제를 풀이하기 위한 기본 정보를 가지고 있는데, Cell의 좌표와 입력 가능한 숫자의 집합이다. 스도쿠 문제의 전처리를 위한 사용자 인터페이스는 Fig.
총 47개의 알려진 풀이방법으로 구성된 호도쿠는 주어진 문제에서 적용할 수 있는 알고리즘의 탐색시 간이 많이 소요되었다. 이것은 같은 조건에서 사용될 수 있는 여러 개의 알고리즘을 모두 탐색하기 때문으로 예상된다.
트리를 전개하면서 “Full House/Last Dight”, “Hidden Single”, “Naked Single” 알고리즘과 욕심쟁이 기법을 사용하는 제안된 방법은 깊이 전개를 최소화하고 필요 없는 가지를 쳐냄으로써 계산에 필요한 잎 노드를 많이 줄인 것을 볼 수 있다.

후속연구

9x9 정형 스도쿠에서 25개의 숫자가 공개된 문제의 경우에서 볼 때, 단순하게 트리만을 전개하는 경우에는 최악의 경우 56단계의 깊이 전개가 필요하고, 그에 따른 잎도 엄청나게 늘어날 수 있지만, 제안된 방법에서는 주어진 문제들에 대하여 전개된 깊이가 4∼9단계로 줄어들었으며, 계산에 필요한 잎 노드가 6∼34개로 줄어든 볼 수 있었다. 구현된 GUI를 코드를 없애고, 가장 많이 적용되는 알고리즘을 추가적으로 구현하고, 욕심쟁이 기법을 최적화하면 계산시간이 더욱 단축될 수 있을 것으로 보인다.
본 논문에서도 많은 계산량을 가지는 게임인 스도쿠 문제의 풀이기를 설계하는데 있어서 트리전개바탕으로 욕심쟁이 기법을 사용하여 완전이진트리에서 전개될 깊이를 최소화는 방법과 자주 사용되는 알고리즘을 사용하여 불필요한 가지를 쳐냄으로써 계산되어야 할 잎 노드를 최소화시키는 방법을 보였다. 향후 일상생활에서 접할 수 있는 다양한 NP-완전문제들에 대하여 최적의 풀이를 수행할 수 있도록 제안된 방법을 응용하고 개선할 수 있는 연구가 지속적으로 필요하다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	스도쿠 풀이에서 재귀적인 호출 방법이 가진 장단점은 무엇인가?	수학자들에 의해, 문제풀이에 대한 다항방정식을 정의할 수 없는 NP 완전 문제임이 증명된 스도쿠 문제를 컴퓨터로 풀이하는데 있어서 좋은 방법 중에 하나는 CPU의 초고속 연산능력을 최대한 활용할 수 있는 재귀적인 호출을 이용하는 것이지만, 구현되는 코드에 불필요한 코드가 추가되면 재귀호출횟수만큼 소요시간이 증가한다는 단점이 있다. 스도쿠와 같은 NP 완전 문제를 풀이하기 위한 또 다른 방법은 각각에 해당하는 경우를 계산하기 위한 트리 전개를 하는 것이며 이 경우 트리 전개를 최소화하는 방법에 대한 연구가 필요하다.
	스도쿠에서 욕심쟁이 기법은 어떻게 적용되는가?	욕심쟁이 기법이 적용되는 과정은 다음과 같다. 앞의 문제에 대해서 먼저 전처리를 거친 실행결과에서 method 1을 적용하면 C(5,1) = {5, 9}와 C(6,7) = {1, 4}의 두 개의 셀이 가장 적은 원소의 개수를 가지고 있다는 것을 볼 수 있다. 후보의 개수가 2개 이상일 경우, method 2를 적용한다. 두 후보에서 각각의 값이 정답으로 설정되었을 때, 정답으로 설정되지 않은 행 열 또는 그룹에서 가장 많은 값을 제거하는 숫자 선택해서 새로 생성되는 depth의 자식 노드로 추가한다. 이 후, 다시 전처리를 수행하며, 스도쿠 방진이 전부 채워졌을 경우 정답검증기를 사용하여 가치평가를 수행하여 불필요한 가지를 친다. 제안된 알고리즘의 의사코드를 Table 2에서 볼 수 있다.
	NP-완전(NP-complete, NPC)문제에 대해 설명하시오	NP-완전(NP-complete, NP-C, NPC)은 NP 집합에 속하는 결정 문제 중에서 가장 어려운 문제의 부분집합으로, 모든 NP 문제를 다항 시간 내에 NP-완전문제로 환산할 수 있다. NP완전 문제의 예는 해밀턴 경로 문제, 외판원 문제, 그래프 색칠 문제, 시간표 짜기 문제들이 있으며, 스도쿠와 바둑게임도 이에 속한다. 컴퓨터과학자들은 NP-완전문제를 실용적인 관점에서 해결하기 위해서 다항방정식을 찾는 대신 근사 알고리즘(approximation algorithm)이나 휴리 스틱 알고리즘을 사용하거나 욕심쟁이 알고리즘을 사용하여 훨씬 적은 양의 계산으로 빠르게 정답을 찾는 방법을 사용한다[9].

참고문헌 (11)

A. Hulpke, P. Kaski and P.R.J. OSTERGARD, "The Number of Latin Squares of Order 11," math.CO., arXiv.org, pp. 1-22, 2010.
T.S. Kim and J.S. Kim, "A Comparative Study of Solver of 9x9 Normal Sudoku," Proceedings of the Korea Multimedia Society Conference, pp. 232-237, 2016.
T.S. Kim and J.S. Kim, "A Study on the Undo Function Implementation using the Design Patterns," Journal of the Korea Industrial Information Systems Research, Vol. 19, No. 8, pp. 1544-1522, 2016.
J.S. Kim and T.S. Kim, "Design of Network-based Game using the GoF Design Patterns," Journal of Korea Multimedia Society, Vol. 9, No. 6, pp. 742-749, 2006.

원문보기 상세보기
Google AlphaGo, https://www.wikipedia.org, (accessed Feb., 1, 2016).
David Silver, A. Huang, C.J. Maddison, A. Guez, L. Sifre, and G.V.D. Driessche et al., "Mastering the Game of Go with Deep Neural Networks and Tree Search," Nature, Vol 529, pp. 1-37, 2016.

상세보기
H.J. Yang, H.Y. Jang, and B.T. Zhang, "Monte Carlo Tree Search for a Board Game with Nonconsecutive Turns," Proceedings of Korea Institute of Information Scientists and Engineers, pp. 1717-1719, 2014.
P-NP Problem, http://www.wikipedia.org, (accessed Nov., 5, 2016).
Computational Complexity Theory, http://www.aistudy.com, (accessed Nov., 5, 2016).
Hodoku, http://hodoku.sourceforge.net/en/index.php, (accessed Jun., 3, 2016).
Recursive Method for Solving Sodoku, http://sunnyholic.com/81, (accessed Nov., 7, 2016).

저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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