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문제 정의
- 본 논문에서는 관측치의 정보를 손실할 수 있다는 기존 방법의 단점을 보완하기 위하여 새로운 비모수적 검정법을 제안하고자 한다. 제안하는 검정법은 모형에 Hodges와 Lehmann (1962)의 정렬방법(alignedmethod)을 적용하고 Jo와 Kim (2013)의 결합위치(joint placement)를 확장하여 결합위치에 점수함수(score function)를 적용한 선형 위치 통계량(linear placement statistics)을 이용하는 방법이다.
- 본 논문에서는 반복이 있는 랜덤화블록 모형에 대한 검정을 위하여 비모수적 방법으로 정렬방법과 결합위치를 이용한 선형위치통계량을 제안하였다. 이 통계량은 Hodges와 Lehmann (1962)의 정렬방법을 적용하여 정렬자료를 만든 후에 Chung과 Kim (2007)이 제안한 결합위치(joint Placement)를 [0, 1]의 범위에서 정의된 점수함수에 적용하여 구한다.
가설 설정
- H0 : α1 = α2 = · · · = αt vs. H1 : αi 들이 모두 같지는 않다.
- 귀무가설은 처리들의 효과가 모두 같다는 것이고 대립가설은 처리들의 효과 중 적어도 하나는 다르다는 것이다.
- 는 오차항을 나타낸다. 오차항은 동일한 연속분포를 따르는 서로 독립인 확률변수를 가정한다.
제안 방법
- 기존의 3가지 방법과 본 논문에서 제시한 새로운 방법을 비교하기 위해 SAS를 사용해 모의실험을 시행하였다. 모집단의 분포로는 정규분포, 지수분포, Cauchy분포, 이중지수분포를 사용하였다.
- 기존의 3가지 방법과 본 논문에서 제시한 새로운 방법을 비교하기 위해 SAS를 사용해 모의실험을 시행하였다. 모집단의 분포로는 정규분포, 지수분포, Cauchy분포, 이중지수분포를 사용하였다. 각각의 난수 생성은 RANNOR, RANEXP, RANCAU함수를 사용하였고 이중지수분포는 RANUNI함수와 역변환기법을 사용하여 생성하였다.
- 본 논문에서는 반복이 있는 랜덤화 블록 모형에서 정렬자료를 만든 후 결합위치를 이용해 점수함수를 적용시킨 검정통계량에 근거한 새로운 검정법과 기존의 검정법들과의 검정력을 비교하였다. 비교한 기존의 방법들은 모수적 방법인 분산분석법(ANOVA)과 비모수적 방법인 Mack과 Skillings (1980)의 방법, Mack (1981)의 방법이다.
- 본 논문에서는 선형 위치 통계량을 구하기 위한 점수함수로 Φ(x) = |1 − 2x|을 사용한다.
- 결합위치와 선형 위치 통계량을 이용한 다른 검정법은 Jeon과 Kim (2016)이 제시한 방법이 있다. 본문에서는 새롭게 제안한 검정법에 대해 소개하고, 제안 방법과 기존에 사용하던 비모수적 검정법인 Mack과 Skillings (1980)의 방법, Mack(1981)의 방법 그리고 모수적 검정법인 분산분석법과 모의실험을 실시하여 검정력을 비교하였다.
- 여기서 Mack (1981)이 제안한 방법은 각 블록을 일원 배치모형으로 생각하여 검정 통계량을 계산하는 방법이다. 블록별로 Kruskal과 Wallis (1952)의 검정법을 적용한 후 각 블록의 통계량을 모두 더하여 검정한다. Mack과 Skillings (1980)가 제안한 검정법은 각 블록내의 반복 관측치들의 평균을 이용하여 Friedman (1937)이 제안한 검정 통계량을 구하는 것이다.
데이터처리
- 처리의 수는 4개와 6개일 경우를 비교하였고 블록의 수는 5개와 7개일 경우를 고려하였다. 또한 각 처리의 블록 내에서의 반복수는 2번으로 설정하였고 유의수준은 0.05로 해서 각 통계량들의 검정력을 비교하였다. 각 분포에서 검정력들을 비교한 결과는 처리의 수가 4개이고 블록의 수가 5개일 때는 Table 3.
- 이 통계량은 Hodges와 Lehmann (1962)의 정렬방법을 적용하여 정렬자료를 만든 후에 Chung과 Kim (2007)이 제안한 결합위치(joint Placement)를 [0, 1]의 범위에서 정의된 점수함수에 적용하여 구한다. 모의실험을 실시하여 새롭게 제안한 검정법의 검정력을 정규분포, 지수분포, 이중지수분포, Cauchy분포에서 비모수적 방법인 Mack의 방법, Mack과 Skillings의 방법, 그리고 모수적 방법인 분산분석법의 검정력과 비교하였다.
- 각각의 난수 생성은 RANNOR, RANEXP, RANCAU함수를 사용하였고 이중지수분포는 RANUNI함수와 역변환기법을 사용하여 생성하였다. 생성된 난수를 이용하여 계산된 검정통계량이 기각역에 속하는지를 판단하는 과정을 10,000번 반복하는 Monte Carlo Study를 실시하였다.
이론/모형
- 모집단의 분포로는 정규분포, 지수분포, Cauchy분포, 이중지수분포를 사용하였다. 각각의 난수 생성은 RANNOR, RANEXP, RANCAU함수를 사용하였고 이중지수분포는 RANUNI함수와 역변환기법을 사용하여 생성하였다. 생성된 난수를 이용하여 계산된 검정통계량이 기각역에 속하는지를 판단하는 과정을 10,000번 반복하는 Monte Carlo Study를 실시하였다.
- 랜덤화 블록 계획법에서 처리들 간에 효과의 차이가 있는지 알아보기 위한 검정들 중에 모수적 방법으로는 분산분석법을 사용한다. 비모수적 방법은 Friedman (1937)이 제안한 방법과 Page (1963)가 제안한 방법이 있다.
- 반복이 있는 랜덤화 블록 모형에서 블록 간의 정보를 이용하기 위해 Hodges와 Lehmann (1962)의 정렬 방법을 적용하여 정렬자료를 만든다. 정렬자료를 구하는 방법은 아래와 같다.
- 본 논문에서는 반복이 있는 랜덤화블록 모형에 대한 검정을 위하여 비모수적 방법으로 정렬방법과 결합위치를 이용한 선형위치통계량을 제안하였다. 이 통계량은 Hodges와 Lehmann (1962)의 정렬방법을 적용하여 정렬자료를 만든 후에 Chung과 Kim (2007)이 제안한 결합위치(joint Placement)를 [0, 1]의 범위에서 정의된 점수함수에 적용하여 구한다. 모의실험을 실시하여 새롭게 제안한 검정법의 검정력을 정규분포, 지수분포, 이중지수분포, Cauchy분포에서 비모수적 방법인 Mack의 방법, Mack과 Skillings의 방법, 그리고 모수적 방법인 분산분석법의 검정력과 비교하였다.
- 본 논문에서는 관측치의 정보를 손실할 수 있다는 기존 방법의 단점을 보완하기 위하여 새로운 비모수적 검정법을 제안하고자 한다. 제안하는 검정법은 모형에 Hodges와 Lehmann (1962)의 정렬방법(alignedmethod)을 적용하고 Jo와 Kim (2013)의 결합위치(joint placement)를 확장하여 결합위치에 점수함수(score function)를 적용한 선형 위치 통계량(linear placement statistics)을 이용하는 방법이다. 제안하는 방법은 Hodges와 Lehmann (1962)의 정렬방법을 이용하기 때문에 블록 간의 정보를 이용할 수 있고, 관측치들의 평균이 아닌 Jo와 Kim (2013)의 결합위치를 사용하기 때문에 기존 방법의 단점을 보완할 수 있다.
성능/효과
- 모의실험의 결과에서 유의수준을 보면, Cauchy분포를 제외한 나머지 분포에서는 거의 모든 방법들이 1종오류를 잘 제어했다. 검정력을 보면, 처리의 수가 4개 또는 6개이고 블록의 수가 5개일 때 정규분포에서는 분산분석법의 검정력이 가장 컸고 나머지 분포에서는 Mack과 Skillings의 방법의 검정력이 가장 컸다. 다만 이중지수분포일 때 나머지 분포에 비해 새롭게 제안한 방법과 Mack과 Skillings의 방법의검정력의 차이가 줄어든다는 것을 알 수 있었다.
- 검정력을 살펴보면 정규분포에서는 모형에 상관없이 분산분석법의 검정력이 가장 높았다. 새롭게 제안한 방법의 검정력은 Mack과 Skillings의 방법보다는 낮았지만 Mack의 방법보다 높았다.
- 검정력을 보면, 처리의 수가 4개 또는 6개이고 블록의 수가 5개일 때 정규분포에서는 분산분석법의 검정력이 가장 컸고 나머지 분포에서는 Mack과 Skillings의 방법의 검정력이 가장 컸다. 다만 이중지수분포일 때 나머지 분포에 비해 새롭게 제안한 방법과 Mack과 Skillings의 방법의검정력의 차이가 줄어든다는 것을 알 수 있었다. 처리의 수가 4개 또는 6개이고 블록의 수가 7개일 때 정규분포에서는 분산분석법의 검정력이 가장 컸고 Cauchy분포에서는 Mack과 Skillings의 방법의 검정력이 가장 컸다.
- 제안하는 방법의 검정 통계량의 근사분포가 표준정규분포라는 장점을 고려하면 검정력의 차이가 크지 않을 때도 제안하는 방법을 사용하는 것이 더 효율적이다. 따라서 모든 분포에서 Mack의 방법보다 제안하는 방법을 사용하는 것이 더 바람직하다. Mack과 Skillings의 방법은 제안하는 방법보다 검정력이 높은 경우가 많았다.
- 블록의 수가 5개일 때는 Mack과 Skilling의 방법보다 효율적이라고 할 수 없지만 블록의 수가 7개일 때는 Mack과 Skilling의 방법과 비슷하거나 더 효율적이라고 할 수 있다. 따라서 새롭게 제안한 방법은 블록의 수가 적을 때보다 많은 경우에서 효율이 좋다는 것을 알 수 있었다.
- 모의실험의 결과를 보면, 정규분포일 때를 제외하고 제안하는 방법이 분산분석법보다 검정력이 높았다. 따라서 정규분포일 때를 제외하면 제안하는 방법이 분산분석법보다 효율적이다. 또한 제안하는 방법이 Cauchy 분포일 때를 제외하면 Mack의 방법보다 검정력이 높았다.
- 지수분포에서는 전체적으로 Mack과 Skillings의 방법의 검정력이 가장 높았고 새롭게 제안한 검정법이 두 번째로 높았다. 또한 모형에 상관없이 대립가설이 증가했다가 완만해지는 형태에서 두 검정법의 검정력이 큰 차이를 보였다. 모형별로 검정력을 살펴보면, 처리의 수가 4개이고 블록의 수가 5개일 때는 대립가설이 증가했다가 감소하고 다시 증가하는 형태에서 새롭게 제안한 방법과 Mack과 Skillings의 방법의 검정력이 각각 0.
- Cauchy 분포에서는 다른 분포에 비해 검정력이 전체적으로 작게 나타났다. 또한 전체적으로 Mack과 Skillings의 방법의 검정력이 새롭게 제안한 방법과 Mack의 방법보다 컸다. 처리의 수가 4개이고 블록의 수가 5개일 때 대립가설이 증가했다가 완만해지는 형태에서 새롭게 제안한 방법과 Mack과 Skillings의 방법의 검정력이 0.
- 따라서 정규분포일 때를 제외하면 제안하는 방법이 분산분석법보다 효율적이다. 또한 제안하는 방법이 Cauchy 분포일 때를 제외하면 Mack의 방법보다 검정력이 높았다. Cauchy 분포에서도 두 검정법의 검정력의 차이가 크지 않았다.
- 모의실험의 결과를 보면, 정규분포일 때를 제외하고 제안하는 방법이 분산분석법보다 검정력이 높았다. 따라서 정규분포일 때를 제외하면 제안하는 방법이 분산분석법보다 효율적이다.
- 모의실험의 결과에서 유의수준을 보면, Cauchy분포를 제외한 나머지 분포에서는 거의 모든 방법들이 1종오류를 잘 제어했다. 검정력을 보면, 처리의 수가 4개 또는 6개이고 블록의 수가 5개일 때 정규분포에서는 분산분석법의 검정력이 가장 컸고 나머지 분포에서는 Mack과 Skillings의 방법의 검정력이 가장 컸다.
- 또한 모형에 상관없이 대립가설이 증가했다가 완만해지는 형태에서 두 검정법의 검정력이 큰 차이를 보였다. 모형별로 검정력을 살펴보면, 처리의 수가 4개이고 블록의 수가 5개일 때는 대립가설이 증가했다가 감소하고 다시 증가하는 형태에서 새롭게 제안한 방법과 Mack과 Skillings의 방법의 검정력이 각각 0.84와 0.88로 비교적 차이가 적게 나타났다. 또한 대립가설이 감소했다가 증가하는 형태에서는 검정력이 각각 0.
- 본 논문에서 제안한 검정법은 모든 모형에서 Mack의 검정법보다 더 효율적이다. 블록의 수가 5개일 때는 Mack과 Skilling의 방법보다 효율적이라고 할 수 없지만 블록의 수가 7개일 때는 Mack과 Skilling의 방법과 비슷하거나 더 효율적이라고 할 수 있다.
- 검정력을 살펴보면 정규분포에서는 모형에 상관없이 분산분석법의 검정력이 가장 높았다. 새롭게 제안한 방법의 검정력은 Mack과 Skillings의 방법보다는 낮았지만 Mack의 방법보다 높았다. 처리의 수가 4개 또는 6개이고 블록의 수가 5개일 때 대립가설이 증가했다가 완만해지는 형태에서 새롭게 제안한 방법과 Mack과 Skillings의 방법 그리고 분산분석법의 검정력이 각각 0.
- 이중지수분포에서는 새롭게 제안한 방법과 Mack과 Skiilings의 방법의 검정력이 다른 검정법들에 비해 높았고 두 검정력이 대부분 비슷하게 나타났다. 처리의 수가 4개 또는 6개이고 블록의 수가 5개일 때 모든 대립가설 형태에서 Mack과 Skillings의 방법의 검정력이 가장 컸지만 새롭게 제안한 방법과 큰 차이를 보이지는 않았다.
- 제안하는 검정법은 모형에 Hodges와 Lehmann (1962)의 정렬방법(alignedmethod)을 적용하고 Jo와 Kim (2013)의 결합위치(joint placement)를 확장하여 결합위치에 점수함수(score function)를 적용한 선형 위치 통계량(linear placement statistics)을 이용하는 방법이다. 제안하는 방법은 Hodges와 Lehmann (1962)의 정렬방법을 이용하기 때문에 블록 간의 정보를 이용할 수 있고, 관측치들의 평균이 아닌 Jo와 Kim (2013)의 결합위치를 사용하기 때문에 기존 방법의 단점을 보완할 수 있다. 또한 Hong과 Lee(2014)에 의해 선형 위치 통계량의 근사분포가 표준정규분포라는 것을 알 수 있기 때문에 검정법을 이용하기에 편하다는 장점이 있다.
- Cauchy 분포에서도 두 검정법의 검정력의 차이가 크지 않았다. 제안하는 방법의 검정 통계량의 근사분포가 표준정규분포라는 장점을 고려하면 검정력의 차이가 크지 않을 때도 제안하는 방법을 사용하는 것이 더 효율적이다. 따라서 모든 분포에서 Mack의 방법보다 제안하는 방법을 사용하는 것이 더 바람직하다.
- 지수분포에서는 전체적으로 Mack과 Skillings의 방법의 검정력이 가장 높았고 새롭게 제안한 검정법이 두 번째로 높았다. 또한 모형에 상관없이 대립가설이 증가했다가 완만해지는 형태에서 두 검정법의 검정력이 큰 차이를 보였다.
- 새롭게 제안한 방법의 검정력은 Mack과 Skillings의 방법보다는 낮았지만 Mack의 방법보다 높았다. 처리의 수가 4개 또는 6개이고 블록의 수가 5개일 때 대립가설이 증가했다가 완만해지는 형태에서 새롭게 제안한 방법과 Mack과 Skillings의 방법 그리고 분산분석법의 검정력이 각각 0.14, 0.16, 0.17로 비교적 차이가 크지 않았다. 처리의 수가 4개이고 블록의 수가 7개일 때에도 대립가설이 증가했다가 완만해지는 형태에서 세 분석법의 검정력이 각각 0.
- 이중지수분포에서는 새롭게 제안한 방법과 Mack과 Skiilings의 방법의 검정력이 다른 검정법들에 비해 높았고 두 검정력이 대부분 비슷하게 나타났다. 처리의 수가 4개 또는 6개이고 블록의 수가 5개일 때 모든 대립가설 형태에서 Mack과 Skillings의 방법의 검정력이 가장 컸지만 새롭게 제안한 방법과 큰 차이를 보이지는 않았다. 처리의 수가 4개이고 블록의 수가 7개일 때는 대립가설이 증가했다가 완만해지는 형태와 증가했다가 감소하고 다시 증가하는 형태에서 새롭게 제안한 방법의 검정력이 각각 0.
- 다만 이중지수분포일 때 나머지 분포에 비해 새롭게 제안한 방법과 Mack과 Skillings의 방법의검정력의 차이가 줄어든다는 것을 알 수 있었다. 처리의 수가 4개 또는 6개이고 블록의 수가 7개일 때 정규분포에서는 분산분석법의 검정력이 가장 컸고 Cauchy분포에서는 Mack과 Skillings의 방법의 검정력이 가장 컸다. 지수분포에서는 대부분의 대립가설 형태에서 Mack과 Skillings의 방법의 검정력이 가장 컸지만 어떠한 형태에서는 새롭게 제안한 방법과 Mack과 Skillings의 방법의 검정력이 비슷하게 나타났다.
- 또한 전체적으로 Mack과 Skillings의 방법의 검정력이 새롭게 제안한 방법과 Mack의 방법보다 컸다. 처리의 수가 4개이고 블록의 수가 5개일 때 대립가설이 증가했다가 완만해지는 형태에서 새롭게 제안한 방법과 Mack과 Skillings의 방법의 검정력이 0.03과 0.08로 다른 대립가설 형태에 비해 차이가 적었다. 처리의 수가 4개이고 블록의 수가 7개일 때도 증가했다가 완만해지는 대립가설 형태에서 검정력이 각각 0.
- 91로 차이가 크지 않았다. 처리의 수가 4개이고 블록의 수가 7개일 때는 대립가설이 완만했다가 증가하는 형태에서 각각의 검정력이 0.37과 0.39로 차이가 적었고 대립가설이 감소했다가 증가하는 형태에서는 검정력이 0.96과 0.97로 매우 비슷했다. 처리의 수가 6개이고 블록의 수가 5개일 때는 대립가설이 큰 폭으로 감소하는 형태일 때 검정력이 각각 0.
- 처리의 수가 4개 또는 6개이고 블록의 수가 5개일 때 모든 대립가설 형태에서 Mack과 Skillings의 방법의 검정력이 가장 컸지만 새롭게 제안한 방법과 큰 차이를 보이지는 않았다. 처리의 수가 4개이고 블록의 수가 7개일 때는 대립가설이 증가했다가 완만해지는 형태와 증가했다가 감소하고 다시 증가하는 형태에서 새롭게 제안한 방법의 검정력이 각각 0.15와 0.67로 다른 검정법들에 비해 크게 나타났다. 처리의 수가 6개이고 블록의 수가 7개일 때는 대립가설이 증가했다가 완만해지는 형태와 완만했다가 증가하고 다시 완만해지는 형태에서 제안 방법의 검정력이 각각 0.
- 08로 다른 대립가설 형태에 비해 차이가 적었다. 처리의 수가 4개이고 블록의 수가 7개일 때도 증가했다가 완만해지는 대립가설 형태에서 검정력이 각각 0.04와 0.09로 비교적 차이가 적었다. 처리의 수가 6개이고 블록의 수가 5개일 때는 증가했다가 완만해지는 형태에서 두 검정력이 0.
- 99로 매우 비슷했다. 처리의 수가 6개이고 블록의 수가 7개일 경우에는 대립가설이 완만했다가 증가하고 다시 완만해지는 형태에서 검정력이 두 방법 모두 0.99로 거의 같았다.
- 67로 다른 검정법들에 비해 크게 나타났다. 처리의 수가 6개이고 블록의 수가 7개일 때는 대립가설이 증가했다가 완만해지는 형태와 완만했다가 증가하고 다시 완만해지는 형태에서 제안 방법의 검정력이 각각 0.30과 0.90으로 다른 검정법들보다 크게 나타났다.
후속연구
- 추후에 정렬방법과 선형위치통계량을 이용한 검정방법에 대해 연구가 진행된다면 본 논문에서 제안한 점수함수의 형태 이외에 다른 함수형태를 적용할 수 있는지 더 연구해 볼 수 있을 것이다. 본 논문에서 제안한 검정법은 검정통계량이 표준정규분포로 수렴한다는 장점이 있기 때문에 또 다른 실험설계를 위한 유용한 비모수 검정법이 될 것이라고 기대된다.
- 추후에 정렬방법과 선형위치통계량을 이용한 검정방법에 대해 연구가 진행된다면 본 논문에서 제안한 점수함수의 형태 이외에 다른 함수형태를 적용할 수 있는지 더 연구해 볼 수 있을 것이다. 본 논문에서 제안한 검정법은 검정통계량이 표준정규분포로 수렴한다는 장점이 있기 때문에 또 다른 실험설계를 위한 유용한 비모수 검정법이 될 것이라고 기대된다.
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