[논문]Markov 과정의 최초통과시간을 이용한 지수가중 이동평균 관리도의 평균런길이의 계산

박창순

doi:10.5351/kjas.2017.30.1.001

Markov 과정의 최초통과시간을 이용한 지수가중 이동평균 관리도의 평균런길이의 계산
Average run length calculation of the EWMA control chart using the first passage time of the Markov process 원문보기

응용통계연구 = The Korean journal of applied statistics, v.30 no.1, 2017년, pp.1 - 12

초록
AI-Helper

많은 확률과정이 Markov 특성을 만족하거나 근사적으로 만족하는 것으로 가정된다. Markov 과정에서 특히 관심을 끄는 것은 최초통과시간이다. 최초통과시간에 대한 연구는 Wald의 축차분석에서 시작하여 근사적 특성에 대한 많은 연구가 되어왔고 컴퓨터의 발달로 통계계산적 방법이 사용되면서 근사적 결과가 참값에 가까운 값을 계산할 수 있게 되었다. 이 논문은 Markov 과정의 예로서 지수가중 이동평균 관리도를 사용할 때 평균런길이를 계산하는 과정과 계산상의 주의점, 문제점 등을 연구하였다. 이 결과는 다른 모든 Markov 과정에 적용될 수 있으며 특히 Markov 연쇄로의 근사는 확률과정의 특성의 연구에 유용하고 계산적 접근을 용이하게 한다.

Abstract ▼ AI-Helper

Many stochastic processes satisfy the Markov property exactly or at least approximately. An interested property in the Markov process is the first passage time. Since the sequential analysis by Wald, the approximation of the first passage time has been studied extensively. The Statistical computing technique due to the development of high-speed computers made it possible to calculate the values of the properties close to the true ones. This article introduces an exponentially weighted moving average (EWMA) control chart as an example of the Markov process, and studied how to calculate the average run length with problematic issues that should be cautioned for correct calculation. The results derived for approximation of the first passage time in this research can be applied to any of the Markov processes. Especially the approximation of the continuous time Markov process to the discrete time Markov chain is useful for the studies of the properties of the stochastic process and makes computational approaches easy.

주제어

AI 본문요약
AI-Helper

* AI 자동 식별 결과로 적합하지 않은 문장이 있을 수 있으니, 이용에 유의하시기 바랍니다.

문제 정의

Markov 과정이 취하는 값, 즉 상태공간(state space)은 이산적 상태공간(countable state space)과 연속된 상태공간(continuous state space)으로 구분된다. 여기서는 연속된 상태공간을 가지는 Markov 과정이 주어진 경계선을 최초로 통과하는 시간, 즉 최초통과시간에 대한 통계적 특성을 계산하는 통계계산 과정에 대해 알아보고자 한다. X₁, X₂, .
이 논문에서는 Markov 과정의 최초통과시간에 대한 예로서 지수가중 이동평균 관리도를 들어 평균최초 통과시간인 평균런길이를 계산하는 데 사용될 수 있는 세가지 방법을 소개하고 비교하였다. 저자는 계산의 정확성과 신뢰성을 위해 Markov 연쇄를 통한 근사 방법을 사용하였다.
이 논문에서는 여러 가지 방법의 이론적 연구보다 실제 계산에 있어 어떤 방법을 사용하는 것이 실질적으로 더 정확하고 효용성이 있는가를 판단하고 비교하는데 있다. 따라서 R 언어를 사용한 실제 계산에서 어떤 함수를 어떻게 사용하는가를 보여주고 발생하는 계산상의 문제를 해결하고 원하는 정확도를 얻을 수 있는 방법에 대해 설명하고자 한다.

가설 설정

이산된 시간에서의 대표적 확률과정으로 Markov 과정을 들 수 있는데 이는 기억하지 못함(memorylessness)으로 특징되는 Markov 특성을 만족하는 확률과정이다. Markov 과정이 취하는 값, 즉 상태공간(state space)은 이산적 상태공간(countable state space)과 연속된 상태공간(continuous state space)으로 구분된다. 여기서는 연속된 상태공간을 가지는 Markov 과정이 주어진 경계선을 최초로 통과하는 시간, 즉 최초통과시간에 대한 통계적 특성을 계산하는 통계계산 과정에 대해 알아보고자 한다.

제안 방법

저자는 계산의 정확성과 신뢰성을 위해 Markov 연쇄를 통한 근사 방법을 사용하였다. 또한 통계량의 분포함수가 닫힌 형태로 표현될 수 없을 때 모의실험을 통해 추정한 다음 Markov 연쇄로의 근사를 통해 계산하는 과정과 그에 따른 문제점 및 대책을 제시하였다.

데이터처리

제 2.3절에서 설명한 Markov 연쇄를 사용한 평균런길이의 계산 방법에 대해 정확도를 비교하기 위해 모의실험을 통해서도 평균런길이를 계산하였다. 제 1절의 Weibull 분포의 척도모수의 변화를 탐지하는 지수가중이동평균 관리도에서 평균런길이를 계산할 때에 모의실험과 Markov 연쇄를 사용한 방법의 비교를 위해 다음과 같은 모수들을 설정하였다.
확률밀도함수를 추정하기 위해 N = 10,000,000개의 Weibull 확률변수값을 추출하였고 로그변환을 통해 SEV 분포의 난수로 사용하였다. Figure 5.

이론/모형

따라서 R 언어를 사용한 실제 계산에서 어떤 함수를 어떻게 사용하는가를 보여주고 발생하는 계산상의 문제를 해결하고 원하는 정확도를 얻을 수 있는 방법에 대해 설명하고자 한다. 이러한 방법을 설명하는데 있어 Markov 과정을 사용하는 대표적인 예로서 지수가중 이동평균(exponentially weighted moving average; EWMA) 관리도를 사용한다. 관리도에서는 최초통과시간을 런길이(run length)라 하고 그 평균을 평균런길이(average run length; ARL)라 한다.
이 논문에서는 Markov 과정의 최초통과시간에 대한 예로서 지수가중 이동평균 관리도를 들어 평균최초 통과시간인 평균런길이를 계산하는 데 사용될 수 있는 세가지 방법을 소개하고 비교하였다. 저자는 계산의 정확성과 신뢰성을 위해 Markov 연쇄를 통한 근사 방법을 사용하였다. 또한 통계량의 분포함수가 닫힌 형태로 표현될 수 없을 때 모의실험을 통해 추정한 다음 Markov 연쇄로의 근사를 통해 계산하는 과정과 그에 따른 문제점 및 대책을 제시하였다.

성능/효과

1에서는 Markov 연쇄를 사용한 평균런길이의 계산이 신뢰할 만한 값으로 계산되는 가를 보기 위해 모의실험을 통한 평균런길이와 근사적 95% 신뢰구간을 비교하였다. 표에 의하면 Markov 연쇄에 의한 평균런길이가 모의실험의 평균런길이의 95% 신뢰구간에 잘 포함되어 계산 결과를 신뢰할 만하다고 하겠다.

후속연구

이 논문에서 제시한 방법에 의하면 여러 다른 종류의 관리도 형태(예: 누적합 관리도)와 Markov 과정에 대한 특성을 분석하는데 도움이 되리라 판단한다.
Markov 연쇄의 근사 방법은 관리도 통계량을 Markov 연쇄로 근사함으로써 계산문제에서 두 가지 장점을 가지고 있다. 첫째는 관리통계량을 Markov 연쇄로 나타냄으로써 관리도의 다양한 특성을 규명하는 데 유용하게 사용될 수 있다. 이에 관한 연구는 Park(2007), Park 등 (2004), Park과 Reynolds (1999, 2008) 등이 있다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	확률과정이란 무엇인가?	최초통과시간(first passage time; FPT)은 확률과정(stochastic process)이 어떤 정해진 경계선(boundary)을 최초로 통과하는데 걸리는 시간을 의미한다. 확률과정은 시간에 따라 전개하는 과정을 말하는데, 좀 더 명확하게는 확률변수에 의해 결정되는 시스템의 전개를 연속된 시간의 함수로 표현한 것을 말한다. 이 때 시간은 연속된 시간(continuous time)과 이산된 시간(discrete time)으로 구분되지만, 관측되는 확률과정은 시간의 구분에 관계없이 이산된 시간에 의해 표현될 수 있다.
	확률변수에 의해 결정되는 시스템의 전개를 연속된 시간의 함수로 표현할 때 시간은 무엇으로 구분되는가?	확률과정은 시간에 따라 전개하는 과정을 말하는데, 좀 더 명확하게는 확률변수에 의해 결정되는 시스템의 전개를 연속된 시간의 함수로 표현한 것을 말한다. 이 때 시간은 연속된 시간(continuous time)과 이산된 시간(discrete time)으로 구분되지만, 관측되는 확률과정은 시간의 구분에 관계없이 이산된 시간에 의해 표현될 수 있다. 이산된 시간에서의 대표적 확률과정으로 Markov 과정을 들 수 있는데 이는 기억하지 못함(memorylessness)으로 특징되는 Markov 특성을 만족하는 확률과정이다.
	최초통과시간이란 무엇인가?	최초통과시간(first passage time; FPT)은 확률과정(stochastic process)이 어떤 정해진 경계선(boundary)을 최초로 통과하는데 걸리는 시간을 의미한다. 확률과정은 시간에 따라 전개하는 과정을 말하는데, 좀 더 명확하게는 확률변수에 의해 결정되는 시스템의 전개를 연속된 시간의 함수로 표현한 것을 말한다.

참고문헌 (27)

Champ, C. W. and Rigdon, S. E. (1991). A comparison of the Markov chain and the integral equation approaches for evaluating the run length distribution of quality control charts, Communications in Statistics-Simulation and Computation, 20, 191-204.

상세보기
Chan, Y., Han, B., and Pascual, F. (2015). Monitoring the Weibull shape parameter with type II censored data, Quality and Reliability Engineering International, 31, 741-760.

상세보기
Chang, T. C. and Gan, F. F. (1994). Optimal designs of one-sided EWMA charts for monitoring a process variance, Journal of statistical Computation and Simulation, 49, 33-48.

상세보기
Crowder, S. V. (1987a). A simple method for studying run-length distributions of exponentially weighted moving average charts, Technometrics, 29, 401-407.

상세보기
Crowder, S. V. (1987b). Average run length of exponentially weighted moving average charts, Journal of Quality Technology, 19, 161-164.

상세보기
Crowder, S. V. and Hamilton, M. D. (1992). An EWMA for monitoring a process standard deviation, Journal of Quality Technology, 24, 12-21.

상세보기
Gan, F. F. (1993). Exponentially weighted moving average control charts with reflecting boundaries, Journal of statistical Computation and Simulation, 46, 45-67.

상세보기
Gan, F. F. (1995). Joint monitoring of process mean and variance using exponentially weighted moving average control charts, Technometrics, 37, 446-453.

상세보기
Gan, F. F. (1998). Designs of one- and two-sided exponential EWMA charts, Journal of Quality Technology, 30, 55-69.

상세보기
Gan, F. F. and Chang, T. C. (2000). Computing average run lengths of exponential EWMA charts, Journal of Quality Technology, 32, 183-187.

상세보기
Gianino, A. B., Champ, C. W., and Rigdon, S. E. (1990). Solving integral equations by the collocation method. In ASA Proceedings of the Statistical Computing Section (pp. 101-102), American Statistical Association, Washington.
Hunter, J. S. (1986). The exponentially weighted moving average, Journal of Quality Technology, 18, 203-210.

상세보기
Knoth, S. (2003). EWMA schemes with non-homogeneous transition kernels, Sequential Analysis, 22, 241-255.

상세보기
Knoth, S. (2004). Fast initial response features for EWMA control charts, Statistical Papers, 46, 47-64.
Knoth, S. (2005). Accurate ARL computation for EWMA-S2 control charts, Statistics and Computing, 15, 341-352.

상세보기
Knoth, S. (2007). Accurate ARL calculation for EWMA control charts monitoring simultaneously normal mean and variance, Sequential Analysis, 26, 251-264.

상세보기
Lucas, J. M. and Saccucci, M. S. (1990). Exponentially weighted moving average control schemes: properties and enhancements, Technometrics, 32, 1-12.

상세보기
MacGregor, J. F. and Harris, T. J. (1993). The exponentially weighted moving variance, Journal of Quality Technology, 25, 106-118.

상세보기
Nichols, M. D. and Padgett, W. J. (2005). A bootstrap control chart for Weibull percentiles, Quality and Reliability Engineering International, 22, 141-151.
Park, C. (2007). An algorithm for the properties of the integrated process control with bounded adjustments and EWMA monitoring, International Journal of Production Research, 45, 5571-5587.

상세보기
Park, C., Lee, J., and Kim, Y. (2004). Economic design of a variable sampling rate EWMA chart, IIE Transactions, 36, 387-399.

상세보기
Park, C. and Reynolds, M. R. (1999). Economic design of a variable sampling rates X chart, Journal of Quality Technology, 31, 363-443.

상세보기
Park, C. and Reynolds, M. R. (2008). Economic design of an integrated process control procedure with repeated adjustments and EWMA monitoring, Journal of the Korean Statistical Society, 37, 155-174.

원문보기 상세보기
Park, C. S. and Won, T. Y. (1996). Selection of the economically optimal parameters in the EWMA control chart, Korean Journal of Applied Statistics, 9, 91-109.
Pascual, F. (2010). EWMA charts for the Weibull shape parameter, Journal of Quality Technology, 42, 400-416.

상세보기
Ramalhoto, M. F. and Morais, M. (1999). Shewhart control charts for the scale parameter of a Weibull control variable with fixed and variable sampling intervals, Journal of Applied Statistics, 26, 129-160.

상세보기
Waldmann, K. H. (1986). Bounds for the distribution of the run length of geometric moving average charts, Applied Statistics, 35, 151-158.

상세보기

저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

내보내기 구분	파일저장 인쇄 메일전송
구성항목	기본정보 상세정보 관리번호, 논문명, 저널/프로시딩명, 저자 , 발행년, 권, 호, 시작페이지, 끝페이지, 발행기관 관리번호, 논문명, 대등논문명, 저자 , 저널/프로시딩명, 발행기관, 발행년, 발행언어, 권, 호, 시작페이지, 끝페이지, ISBN, ISSN, 주제분야, 키워드, 초록(한글), 초록(영문), 저자(소속기관)
저장형식	Text(ASCII format) Excel format RefWorks Direct Export RIS format (for Reference Manager, ProCite, EndNote), Scholar's Aids, Mendeley
메일정보	받는사람 (필수) @ 보내는사람 (선택) @ 제목 내용 KISTI 검색결과 이메일 서비스
안내	총 건의 자료가 검색되었습니다. 다운받으실 자료의 인덱스를 입력하세요. (1-10,000) 검색결과의 순서대로 최대 10,000건 까지 다운로드가 가능합니다. 데이타가 많을 경우 속도가 느려질 수 있습니다.(최대 2~3분 소요) 다운로드 파일은 UTF-8 형태로 저장됩니다. 파일의 내용이 제대로 보이지 않을실 때는 웹브라우저 상단의 보기 -> 인코딩 -> 자동선택 여부를 확인하십시오. ~ Text(ASCII format) Excel format

연합인증