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문제 정의
- 본 논문에서는 보험 청구액의 확률분포로서 기운(skewed) 분포를 결합한 새로운 복합분포를 제안하였다. 덴마크 화재보험 청구액 데이터와 미국 배상금 데이터를 통해 기운 t 분포를 머리 부분으로 결합한 복합분포가 단일분포로 사용될 때보다 크게 향상된 적합도를 가짐을 보여주었다.
제안 방법
- 한편 로그정규 복합분포와 와이블 복합분포에 대한 적합도 분석은 R의 gendist 패키지 (Bakar 등, 2016)를 사용하였는데 Scollnik (2007), Nadarajah와 Bakar (2014), Bakar 등 (2015)에도 덴마크의 화재보험 청구액 데이터의 적합도 결과들이 정리되어 있다. 다른 단일분포들의 적합도 분석을 위해서는 R의 nlm() 함수를 사용하여 음의 대수우도함수값을 최소화하는 각 모수의 최대우도추정량을 구하였다. 여러 분포들의 적합도를 비교하기 위해 최대 대수우도값과 Akaike (1974)가 제시한 Akaike information criterion (AIC)를 사용하였다.
- Pigeon과 Denuit (2011)은 두 분포가 결합되는 지점인 경계값(threshold)을 복합분포의 모수로 포함하여 모형을 확장시켰다. 본 논문에서는 단일분포로서 적합도가 높았던 기운 t 분포를 머리 부분으로 이용하여 꼬리 부분의 다른 단일분포와 결합한 다양한 복합분포를 소개하고 선행연구에서 많이 이용되었던 덴마크의 화재보험 청구액 데이터와 미국의 배상금 데이터에 적용하여 다른 청구액 분포와 비교한다. 2장에서는 Klugman 등(2004)이 제시한 복합분포의 일반적인 형태와 본 논문에서 사용할 복합분포를 위한 몇 가지 조건에 대하여 살펴본다.
대상 데이터
- 두 번째 데이터 세트는 미국 Insurance Service Office (ISO)가 무상으로 제공하는, 미국 보험회사들의 배상 지불금 데이터에서 무작위로 선택된 총 1500개의 데이터로서 R의 copula 패키지 (Hofert 등, 2013)에 포함되어 있다. 단위는 천 미화(USD)이다.
- 실증분석을 위해 보험분야에서 유명한 두 개의 데이터 세트를 이용하고자 한다. 첫 번째 데이터 세트는 R의 SMPracticals 패키지 (Davison, 2013)에 포함되어 있는 덴마크의 화재보험 청구액 데이터(Embrechts 등, 1997; Davison, 2003)로서 1980년부터 1990년까지 덴마크 코펜하겐의 재보험회사에서 수집한 보험청구액 데이터로 단위는 백만 덴마크 크로네(Danish Krone)이고 총 2,492개로 이루어져 있다.
- 실증분석을 위해 보험분야에서 유명한 두 개의 데이터 세트를 이용하고자 한다. 첫 번째 데이터 세트는 R의 SMPracticals 패키지 (Davison, 2013)에 포함되어 있는 덴마크의 화재보험 청구액 데이터(Embrechts 등, 1997; Davison, 2003)로서 1980년부터 1990년까지 덴마크 코펜하겐의 재보험회사에서 수집한 보험청구액 데이터로 단위는 백만 덴마크 크로네(Danish Krone)이고 총 2,492개로 이루어져 있다. 특히 이 데이터는 보험통계 분야에서 새롭게 개발되는 다양한 통계방법들을 확인하고자 할 때 자주 활용되고 있다.
이론/모형
- 복합분포의 모수들의 최대우도추정량을 구하기 위해 기운 정규 복합분포의 경우는 식 (3.3)의 기운 정규 복합분포의 확률밀도함수를 이용하고, 기운 t 복합분포의 경우는 식 (3.5)의 기운 t 복합분포의 확률밀도함수와 함께 기운 t 분포의 누적분포함수 FT(x)를 위해 R의 sn 패키지 (Azzalini, 2016)를 사용하였다. 한편 로그정규 복합분포와 와이블 복합분포에 대한 적합도 분석은 R의 gendist 패키지 (Bakar 등, 2016)를 사용하였는데 Scollnik (2007), Nadarajah와 Bakar (2014), Bakar 등 (2015)에도 덴마크의 화재보험 청구액 데이터의 적합도 결과들이 정리되어 있다.
- 여기서는 뉴튼(Newton) 방법을 이용한 R의 nlm() 함수를 사용하여 θ를 계산한다.
- 다른 단일분포들의 적합도 분석을 위해서는 R의 nlm() 함수를 사용하여 음의 대수우도함수값을 최소화하는 각 모수의 최대우도추정량을 구하였다. 여러 분포들의 적합도를 비교하기 위해 최대 대수우도값과 Akaike (1974)가 제시한 Akaike information criterion (AIC)를 사용하였다. 물론 최대 대수우도값은 그 값이 클수록, AIC의 값은 작을수록 분포에 대한 적합도가 높은 것을 나타낸다.
성능/효과
- 좀 더 다양한 형태의 기운 분포들과 기운 분포들의 복합분포를 보험 청구액 분포에 적합하는 지속적인 연구가 필요하다고 판단된다. 더불어 본 논문에서는 복합분포의 경계값을 결합하는 두 분포의 모수들의 함수로 나타내어 결국 복합분포의 모수의 개수는 결합하는 두 분포의 모수의 개수의 합과 같았다. 만약에 미분가능성의 조건을 제거하여 경계값도 모수에 포함시켜 최대우도추정량을 구한다면 모수 추정과 적합도에 어떤 변화가 있을 지 살펴보는 것도 의미있을 것이다.
- 본 논문에서는 보험 청구액의 확률분포로서 기운(skewed) 분포를 결합한 새로운 복합분포를 제안하였다. 덴마크 화재보험 청구액 데이터와 미국 배상금 데이터를 통해 기운 t 분포를 머리 부분으로 결합한 복합분포가 단일분포로 사용될 때보다 크게 향상된 적합도를 가짐을 보여주었다. 또한 파레토 분포와 버어 분포는 단일분포보다 복합분포의 꼬리 부분으로 사용될 때 좋은 적합도를 보이는 것을 확인하였다.
- 덴마크 화재보험 청구액 데이터와 미국 배상금 데이터를 통해 기운 t 분포를 머리 부분으로 결합한 복합분포가 단일분포로 사용될 때보다 크게 향상된 적합도를 가짐을 보여주었다. 또한 파레토 분포와 버어 분포는 단일분포보다 복합분포의 꼬리 부분으로 사용될 때 좋은 적합도를 보이는 것을 확인하였다. 저자들이 파악한 바로는 복합분포를 포함하여 현재까지 소개된 보험 청구액의 분포들 중에서 본 논문의 기운 t-파레토 복합분포가 덴마크 화재보험 청구액 데이터에 가장 높은 적합도를 가졌다.
- 그러나 이 복합분포는 기운 t 분포의 분포함수를 정확히 알 수가 없어 그 형태를 명확하게 표현하는 데에는 한계가 있다. 본 논문에서 제시한 정규분포와 t 분포 외에도 다양한 대칭분포에서 그 대칭성이 깨지고 0이 아닌 왜도를 가지는 기운 분포로의 변형이 가능하다. 좀 더 다양한 형태의 기운 분포들과 기운 분포들의 복합분포를 보험 청구액 분포에 적합하는 지속적인 연구가 필요하다고 판단된다.
- 6는 미국의 배상금 데이터에 대한 여러 복합분포와 단일분포들의 적합도 결과로서 이들 중 와이블-버어 복합분포가 가장 좋은 적합도를 보였고 기운 t-버어 복합분포가 그 다음으로 좋은 적합도를 보였다. 이 복합분포들은 결합하는 각 확률분포가 단일분포로서 적합될 때보다 그 적합도가 현저히 향상됨을 확인할 수 있다. 추정된 기운 t-버어 복합분포의 경계값 θ는 3.
- 또한 파레토 분포와 버어 분포는 단일분포보다 복합분포의 꼬리 부분으로 사용될 때 좋은 적합도를 보이는 것을 확인하였다. 저자들이 파악한 바로는 복합분포를 포함하여 현재까지 소개된 보험 청구액의 분포들 중에서 본 논문의 기운 t-파레토 복합분포가 덴마크 화재보험 청구액 데이터에 가장 높은 적합도를 가졌다. 그러나 이 복합분포는 기운 t 분포의 분포함수를 정확히 알 수가 없어 그 형태를 명확하게 표현하는 데에는 한계가 있다.
- 3은 덴마크의 화재보험 청구액 데이터에 여러 복합분포를 적용하여 얻은 적합도와 모수 추정 결과이다. 최대 대수우도값과 AIC를 고려했을 때, 8개의 복합분포 중 기운 t-파레토 복합분포가 가장 좋은 적합도를 보였다. 추정된 모수의 기운 t-파레토 복합분포의 확률밀도곡선을 Figure 4.
- 4는 여러 단일분포에 대한 결과로서 기운 t 분포가 가장 높은 적합도를 보이는 것으로 확인되었다. 파레토 분포는 단일분포로는 적합도가 낮았지만 꼬리분포로서 다른 분포와 복합분포를 이루었을 때 그 적합도가 크게 증가하는 특징을 보였다.
후속연구
- 본 논문에서 제시한 정규분포와 t 분포 외에도 다양한 대칭분포에서 그 대칭성이 깨지고 0이 아닌 왜도를 가지는 기운 분포로의 변형이 가능하다. 좀 더 다양한 형태의 기운 분포들과 기운 분포들의 복합분포를 보험 청구액 분포에 적합하는 지속적인 연구가 필요하다고 판단된다. 더불어 본 논문에서는 복합분포의 경계값을 결합하는 두 분포의 모수들의 함수로 나타내어 결국 복합분포의 모수의 개수는 결합하는 두 분포의 모수의 개수의 합과 같았다.
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