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문제 정의
- 그리고 변형된 일반화 된 로렌츠 곡선을 활용하여 두 가지 형태의 새로운 검정통계량을 제안하고, 두 가지 형태의 새로운 검정통계량을 활용하여 Gumbel 분포의 적합도를 검정하는 새로운 그래프 방법을 제안하고자 한다. 3절에서 다양한 분포에 대하여 몬테카를로 시뮬레이션 (Monte Carlo simulation)을 통하여 새로운 검정통계량의 검정력을 확인하고 실제 사례 데이터에 적용한 후 4절에서 결론을 내리고자 한다.
- 따라서 만약 샘플 데이터가 정확하게 Gumbel 분포를 따르고 있다면, 정확히 Gumbel 분포를 따르는 값에 의해 계산되어진 mGLC와 샘플 데이터를 대입하여 계산한 mGLC는 서로 같은 값을 가지게 되어 모두 1의 값을 가지게 될 것이다. 따라서 이러한 점을 고려하여 변형된 표본 일반화된 로렌츠 곡선 (modified sample generalized Lorenz curve)을 다음과 같이 정의할 수 있다.
- 또한 새롭게 제안한 변형된 표본 일반화된 로렌츠 곡선 (msGLC)을 이용하여 두 가지의 새로운 적합도 검정 그래프 방법을 제안하였다. 새롭게 제안된 그래프를 통하여 손쉽게 데이터가 Gumbel 분포를 따르는지를 파악할 수 있었다.
- h1>1. 서론
- 새로운 적합도 검정통계량을 제안하기에 앞서 먼저 변형된 일반화된 로렌츠 곡선 (modified generalized Lorenz curve)을 제안하고자 한다. X1, X2, · · · , Xn을 순서 통계량 X1:n, X2:n, · · · , Xn:n을 가지고 있는 확률변수라고 하자.
- h1>1. 서론
- h1>1. 서론
- h1>1. 서론
제안 방법
- 따라서 환경과학, 시스템 신뢰성, 수문학과 관련된 자료를 분석함에 있어서 분석에 사용되어지는 자료가 Gumbel 분포를 따르는지 확인하는 것은 매우 중요하다. 이를 확인하기 위해 우리는 적합도 검정을 실시하는데 이는 히스토그램 (histogram), Q-Q 플롯 (Q-Q plot), P-P 플롯 (P-P plot)과 같은 그래프를 이용하는 방법과 Anderson - Darling 검정 (AD)과 Cramer - vonMises 검정 (CVM)과 같은 통계량을 이용하는 방법이 있다. 이 외에도 Kinnison (1989)는 상관계수 형태의 새로운 적합도 검정통계량을 제안하였고, Arizono와 Ohata (1989)는 Kullback-Leibler 정보 (Kullback-Leibler information)의 추정량을 기반으로 한 적합도 검정통계량을 새롭게 제안하였다.
대상 데이터
- pGLC1(pj)과 pGLC2(pj)를 다양한 분포 (Gumbel 분포, 표준정규분포, 로그-감마분포, t분포, 이중지수분포, 균일분포, 로지스틱분포)의 경우 그 형태를 알아보기 위하여 각 분포를 따르는 50개의 데이터를 누적분포함수의 역함수 (Xi:n = F-1 (i/(n + 1)))를 이용하여 추출하였다. 그 결과 Figure 2.
- 즉, GLC1과 GLC2 검정통계량이 기존의 Anderson - Darling 검정, Cramer - vonMises 검정, 수정된 Anderson - Darling 검정에 비하여 Gumbel 분포의 적합도 검 정에는 더 우수한 결과를 나타낸다는 것을 알 수 있다. 또한 GLC1과 GLC2 검정통계량 간의 비교에서는 GLC2 검정통계량이 GLC1 검정통계량에 비해서 모든 경우에서 검정력이 우수하다는 결과가 나타나 두 검정통계량 중 GLC2 검정통계량을 사용하는 것이 Gumbel 분포를 잘 검출할 수 있다고 할 수 있다. 하지만 균일분포의 경우 GLC1과 GLC2 검정통계량 보다는 수정된 Anderson - Darling 검정이 더 우수한 것으로 나타났다.
- 즉, GLC1과 GLC2 검정통계량이 기존의 Anderson - Darling 검정, Cramer - vonMises 검정, 수정된 Anderson - Darling 검정에 비하여 Gumbel 분포의 적합도 검 정에는 더 우수한 결과를 나타낸다는 것을 알 수 있다. 또한 GLC1과 GLC2 검정통계량 간의 비교에서는 GLC2 검정통계량이 GLC1 검정통계량에 비해서 모든 경우에서 검정력이 우수하다는 결과가 나타나 두 검정통계량 중 GLC2 검정통계량을 사용하는 것이 Gumbel 분포를 잘 검출할 수 있다고 할 수 있다. 하지만 균일분포의 경우 GLC1과 GLC2 검정통계량 보다는 수정된 Anderson - Darling 검정이 더 우수한 것으로 나타났다.
- 또한 변형된 표본 일반화된 로렌츠 곡선을 이용하면 새로운 적합도 검정 그래프를 생각할 수 있다. 만약 데이터가 Gumbel 분포를 따른다면 msGLC1(pj)과 msGLC2(pj)는 모두 1의 값을 가지게 될 것이다. 따라서 다음과 같은 새로운 적합도 검정 그래프를 제안할 수 있다.
- 즉, 만약 데이터가 Gumbel 분포를 따른다면 GLC1과 GLC2는 매우 작은값을 가지게 될 것이라고 기대할 수 있다. 따라서 만약 GLC1과 GLC2의 값이 기각값 (critical value)보다 크게 된다면 귀무가설을 기각하게 되어 Gumbel 분포를 따르지 않는다고 판단할 수 있다.
- 앞서 제안한 GLC1과 GLC2 검정통계량과 pGLC1과 pGLC2 그래프를 실제 사례 데이터에 적용하기 위해 1859년부터 1945년까지 호주 시드니의 연간 일 최대 강수량 자료를 사용하였다 (Hall Jr. 등, 1989). 1859년 부터 1945년까지 호주 시드니의 연간 일 최대 강수량 자료의 분포형태는 Figure 3.
- 이러한 Gumbel 분포는 수문학에서 지난 몇 년 동안의 강 (river)의 최소 수위를 나타내는 분포로서 사용되어 진다. 또한 지진, 홍수, 기타 자연 재해의 발생을 예측하는 데에 Gumbel 분포가 사용된다.
- = j/n, j = 1, 2, · · · , n이다. 이렇게 정의된 mGLC는 위치모수 (location parameter)와 척도모수 (scale parameter)에 대하여 무관함을 손쉽게 알 수 있다. mGLC(pj)를 다양한 분포 (Gumbel 분포 (Gumbel distribution), 표준정규분포 (standard normal distribution), 로그-감마분포 (log-gamma distribution), t-분포 (t-distribution), 이중지수분포 (double exponential distribution), 균일분포 (uniform distribution), 로지스틱분포 (logistic distribution)의 경우 그 형태를 알아보기 위하여 각 분포를 따르는 50개의 데이터를 누적분포함수의 역함수 (Xi:n = F-1 (i/(n + 1)))를 이용하여 추출하였다.
- 이를 pGLC1과 pGLC2 그래프를 활용하여 나타내본 결과 pGLC1과 pGLC2 그래프 모두 x축과 가까운 지점에서 그래프가 플롯되는 것을 확인할 수 있다. 또한 데이터의 분포가 균일분포를 가정하여 플롯했을 때보다 Gumbel 분포를 가정하여 플롯했을 때 x축과 가까운 지점에서 그래프가 플롯되는 것을 확인할 수 있다.
- 비교를 위한 분포로 표준정규분포, 로그감마분포, t분포, 이중지수분포, 균일분포, 로지스틱분포를 사용하였다. GLC1과 GLC2 검정통계량의 검정력 비교를 위해 Anderson - Darling 검정 (AD), Cramer - vonMises 검정 (CVM), 수정된 Anderson - Darling 검정 (ZAD)을 사용하였다. 또한 검정력 비교를 위해 표본의 크기가 10, 20, 30, 40, 50인 경우를 각각의 분포에서 10,000번 샘플링하였고, Table 2.
- 위의 pGLC1(pj)과 pGLC2(pj) 값들은 데이터가 Gumbel 분포를 따른다면 플롯되는 점들은 모두 x축과 일치하게 될 것이다. 따라서 플롯되는 점들이 x축과 떨어져 있는 정도를 통해서 Gumbel 분포를 따르는지 따르지 않는지 그 여부를 판단할 수 있다.
성능/효과
- 1과 같다. Table 3.1을 살펴보면, 일반적으로 모든 검정통계량에서 표본의 크기가 커질수록 검정력이 커지는 것을 확인할 수 있고, 로그감마분포의 경우 다른 분포에 비해 검정력의 크기가 큰 것을 확인할 수 있다. 그리고 검정통계량 간의 검정력 비교에서는 GLC1의 경우 Anderson - Darling 검정, Cramer - vonMises 검정, 수정된 Anderson - Darling 검정에 비하여 총 30가지 경우 중 17가지가 검정력이 우수하다고 결과가 나타났고, GLC2의 경우 Anderson - Darling 검정, Cramer - vonMises 검정, 수정된 Anderson - Darling 검정에 비하여 총 30가지 경우 중 23가지가 검정력이 우수하다고 결과가 나타났다.
- 검정통계량을 사용하여 Gumbel 분포의 적합도 검정을 실시하였다. 그 결과 n = 87인 경우 GLC1과 GLC2 검정통계량의 기각값은 각각 0.3825402와 0.7327600으로 나타났고, 그 때의 GLC1과 GLC2 검정통계량 값은 각각 0.2210454와 0.3292876으로 기각값보다 작게 나타나 위의 호주 시드니의 연간 일 최대 강수량 자료는 Gumbel 분포를 따르는 것을 알 수 있다. 이는 Hall Jr.
- 그리고 검정통계량 간의 검정력 비교에서는 GLC1의 경우 Anderson - Darling 검정, Cramer - vonMises 검정, 수정된 Anderson - Darling 검정에 비하여 총 30가지 경우 중 17가지가 검정력이 우수하다고 결과가 나타났고, GLC2의 경우 Anderson - Darling 검정, Cramer - vonMises 검정, 수정된 Anderson - Darling 검정에 비하여 총 30가지 경우 중 23가지가 검정력이 우수하다고 결과가 나타났다. 즉, GLC1과 GLC2 검정통계량이 기존의 Anderson - Darling 검정, Cramer - vonMises 검정, 수정된 Anderson - Darling 검정에 비하여 Gumbel 분포의 적합도 검 정에는 더 우수한 결과를 나타낸다는 것을 알 수 있다. 또한 GLC1과 GLC2 검정통계량 간의 비교에서는 GLC2 검정통계량이 GLC1 검정통계량에 비해서 모든 경우에서 검정력이 우수하다는 결과가 나타나 두 검정통계량 중 GLC2 검정통계량을 사용하는 것이 Gumbel 분포를 잘 검출할 수 있다고 할 수 있다.
- X1, X2, · · · , Xn을 순서 통계량 X1:n, X2:n, · · · , Xn:n을 가지고 있는 확률변수라고 하자. 그런데 일반화된 로렌츠 곡선의 식은 소득의 자료에 대하여 정의하고 있기 때문에 확률변수 X는 모두 비음 (non-negative)의 값을 가지고 있다고 가정하고 있다. 하지만 Gumbel 분포의 경우 비음의 값을 가질 수 있음으로 이를 해결하기 위해 모든 순서 통계량 값에서 첫 번째 순서 통계량 값을 빼는 것으로 해결하였다.
- 1을 살펴보면, 일반적으로 모든 검정통계량에서 표본의 크기가 커질수록 검정력이 커지는 것을 확인할 수 있고, 로그감마분포의 경우 다른 분포에 비해 검정력의 크기가 큰 것을 확인할 수 있다. 그리고 검정통계량 간의 검정력 비교에서는 GLC1의 경우 Anderson - Darling 검정, Cramer - vonMises 검정, 수정된 Anderson - Darling 검정에 비하여 총 30가지 경우 중 17가지가 검정력이 우수하다고 결과가 나타났고, GLC2의 경우 Anderson - Darling 검정, Cramer - vonMises 검정, 수정된 Anderson - Darling 검정에 비하여 총 30가지 경우 중 23가지가 검정력이 우수하다고 결과가 나타났다. 즉, GLC1과 GLC2 검정통계량이 기존의 Anderson - Darling 검정, Cramer - vonMises 검정, 수정된 Anderson - Darling 검정에 비하여 Gumbel 분포의 적합도 검 정에는 더 우수한 결과를 나타낸다는 것을 알 수 있다.
- 이러한 Gumbel 분포는 수문학에서 지난 몇 년 동안의 강 (river)의 최소 수위를 나타내는 분포로서 사용되어 진다. 또한 지진, 홍수, 기타 자연 재해의 발생을 예측하는 데에 Gumbel 분포가 사용된다.
- h1>1. 서론
- 는 매우 작은값을 가지게 될 것이라고 기대할 수 있다. 따라서 만약 GLC1과 GLC2의 값이 기각값 (critical value)보다 크게 된다면 귀무가설을 기각하게 되어 Gumbel 분포를 따르지 않는다고 판단할 수 있다. 하지만 GLC1과 GLC2은 정확하게 어떠한 분포를 따르는지 이론적으로 밝히기는 매우 어려우므로 몬테카를로 시뮬레이션을 통하여 표본의 크기가 10에서 50까지일 때 5% 유의수준에서의 기각값은 Table 2.
- 앞서 정의한 변형된 일반화된 로렌츠 곡선은 각 분포마다 고유한 형태를 가지고 있다. 따라서 만약 샘플 데이터가 정확하게 Gumbel 분포를 따르고 있다면, 정확히 Gumbel 분포를 따르는 값에 의해 계산되어진 mGLC와 샘플 데이터를 대입하여 계산한 mGLC는 서로 같은 값을 가지게 되어 모두 1의 값을 가지게 될 것이다. 따라서 이러한 점을 고려하여 변형된 표본 일반화된 로렌츠 곡선 (modified sample generalized Lorenz curve)을 다음과 같이 정의할 수 있다.
- 통계학에서 사용되어지고 있는 Gumbel 분포는 환경과학 (environmental sciences), 시스템 신뢰성 (system reliability), 수문학 (hydrology)과 같은 분야에서 많이 응용되고 있다. Gumbel 분포의 확률밀도함수 (probability density function, pdf)와 누적분포함수 (cumulative distribution function, cdf)는 다음과 같다.
- 따라서 이를 해결하기 위해 모든 순서 통계량에서 첫 번째 순서 통계량 값을 뺀 결과를 모두 더하여 (1 − pj)를 곱함으로서 해결하였다.
- 이러한 Gumbel 분포는 수문학에서 지난 몇 년 동안의 강 (river)의 최소 수위를 나타내는 분포로서 사용되어 진다. 또한 지진, 홍수, 기타 자연 재해의 발생을 예측하는 데에 Gumbel 분포가 사용된다.
- ) 값들은 데이터가 Gumbel 분포를 따른다면 플롯되는 점들은 모두 x축과 일치하게 될 것이다. 따라서 플롯되는 점들이 x축과 떨어져 있는 정도를 통해서 Gumbel 분포를 따르는지 따르지 않는지 그 여부를 판단할 수 있다.
- 이러한 Gumbel 분포는 수문학에서 지난 몇 년 동안의 강 (river)의 최소 수위를 나타내는 분포로서 사용되어 진다. 또한 지진, 홍수, 기타 자연 재해의 발생을 예측하는 데에 Gumbel 분포가 사용된다.
- 하지만 새롭게 제안한 두 검정통계량 모두 균일분포의 경우 기존의 검정통계량에 비하여 검정력이 좋지 못하였고, 로그 감마분포를 제외한 대부분의 분포에서 검정력이 상대적으로 우수한 것이지 절대적으로 우수하다고 할 수 없음으로 이를 더욱더 향상시킬 연구가 필요할 것으로 생각한다.
- ) 값들은 데이터가 Gumbel 분포를 따른다면 플롯되는 점들은 모두 x축과 일치하게 될 것이다. 따라서 플롯되는 점들이 x축과 떨어져 있는 정도를 통해서 Gumbel 분포를 따르는지 따르지 않는지 그 여부를 판단할 수 있다.
- 또한 샘플 데이터가 정확하게 Gumbel 분포를 따른다면 msGLC1(pj)의 값을 제곱을 하여도 모두 1의 값을 가지게 될 것이므로, 이러한 점을 고려하여 변형된 표본 일반화된 로렌츠 곡선을 다음과 같이도 정의할 수 있다.
-
2. 새로운 적합도 검정
- 통계학에서 사용되어지고 있는 Gumbel 분포는 환경과학 (environmental sciences), 시스템 신뢰성 (system reliability), 수문학 (hydrology)과 같은 분야에서 많이 응용되고 있다. Gumbel 분포의 확률밀도함수 (probability density function, pdf)와 누적분포함수 (cumulative distribution function, cdf)는 다음과 같다.
- h1>1. 서론
- h1>1. 서론
- 그리고 검정통계량 간의 검정력 비교에서는 GLC1의 경우 Anderson - Darling 검정, Cramer - vonMises 검정, 수정된 Anderson - Darling 검정에 비하여 총 30가지 경우 중 17가지가 검정력이 우수하다고 결과가 나타났고, GLC2의 경우 Anderson - Darling 검정, Cramer - vonMises 검정, 수정된 Anderson - Darling 검정에 비하여 총 30가지 경우 중 23가지가 검정력이 우수하다고 결과가 나타났다. 즉, GLC1과 GLC2 검정통계량이 기존의 Anderson - Darling 검정, Cramer - vonMises 검정, 수정된 Anderson - Darling 검정에 비하여 Gumbel 분포의 적합도 검 정에는 더 우수한 결과를 나타낸다는 것을 알 수 있다. 또한 GLC1과 GLC2 검정통계량 간의 비교에서는 GLC2 검정통계량이 GLC1 검정통계량에 비해서 모든 경우에서 검정력이 우수하다는 결과가 나타나 두 검정통계량 중 GLC2 검정통계량을 사용하는 것이 Gumbel 분포를 잘 검출할 수 있다고 할 수 있다.
- )를 다양한 분포 (Gumbel 분포, 표준정규분포, 로그-감마분포, t분포, 이중지수분포, 균일분포, 로지스틱분포)의 경우 그 형태를 알아보기 위하여 각 분포를 따르는 50개의 데이터를 누적분포함수의 역함수 (Xi:n = F-1 (i/(n + 1)))를 이용하여 추출하였다. 그 결과 Figure 2.
- 따라서 만약 GLC1과 GLC2의 값이 기각값 (critical value)보다 크게 된다면 귀무가설을 기각하게 되어 Gumbel 분포를 따르지 않는다고 판단할 수 있다. 하지만 GLC1과 GLC2은 정확하게 어떠한 분포를 따르는지 이론적으로 밝히기는 매우 어려우므로 몬테카를로 시뮬레이션을 통하여 표본의 크기가 10에서 50까지일 때 5% 유의수준에서의 기각값은 Table 2.1과 같이 나타낼 수 있다.
- 통계학에서 사용되어지고 있는 Gumbel 분포는 환경과학 (environmental sciences), 시스템 신뢰성 (system reliability), 수문학 (hydrology)과 같은 분야에서 많이 응용되고 있다. Gumbel 분포의 확률밀도함수 (probability density function, pdf)와 누적분포함수 (cumulative distribution function, cdf)는 다음과 같다.
- 이러한 Gumbel 분포는 수문학에서 지난 몇 년 동안의 강 (river)의 최소 수위를 나타내는 분포로서 사용되어 진다. 또한 지진, 홍수, 기타 자연 재해의 발생을 예측하는 데에 Gumbel 분포가 사용된다.
- h1>1. 서론
- 또한 변형된 표본 일반화된 로렌츠 곡선을 이용하면 새로운 적합도 검정 그래프를 생각할 수 있다. 만약 데이터가 Gumbel 분포를 따른다면 msGLC1(pj)과 msGLC2(pj)는 모두 1의 값을 가지게 될 것이다.
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