다양한 산업 분야의 구조물은 여러 부구조의 조합으로 구성되며, 시스템의 자유도 또한 무수히 많다. 높은 복잡성을 가지는 구조물의 해석 및 계산 효율을 향상시키기 위해서 해석 모델의 단순화 및 자유도 축소가 요구된다. 지난 50여 년 동안 규모가 큰 공학적 문제를 단순화하기 위해 다양한 부분구조화 기법들이 개발되어 왔다. 이러한 부분구조화 기법들은 Newton-Raphson 알고리즘 등과 같은 반복계산을 동반하는 비선형 구조해석 문제 해석에 매우 효과적이다. 본 논문에서는 기 개발된 비선형 부분구조화 기법 중의 하나인 모드미분(modal derivatives)을 이용하여 기하비선형 보의 모델 축소에 적용하고자 한다. 모드미분은 모드 기반 축소 기저의 2차항의 형태로, 선형모드의 조합으로 근사 가능한 변위벡터를 미소변위에 대한 Taylor 급수를 통해 확인할 수 있으며, 시스템의 고유치 문제를 모드 좌표로 미분을 함으로써 얻어진다. 모드미분에는 비선형 접선 강성행렬의 미분을 포함하고 있으며, 이는 유한차분법 등의 근사를 통해 계산할 수 있다. 제안된 방법론은 기하학적 비선형 문제에 우수한 성능을 보이는 동시회전 유한요소법에 적용하였다. 수치예제를 통해 보의 경계가 수평으로 움직일 수 있는 문제에서는 기존의 모드축소기법이 매우 비효율적임을 알 수 있었다. 한편 모드미분을 이용한 축소기법은 다양한 경계조건에 대하여 우수한 성능을 보임을 확인하였다.
다양한 산업 분야의 구조물은 여러 부구조의 조합으로 구성되며, 시스템의 자유도 또한 무수히 많다. 높은 복잡성을 가지는 구조물의 해석 및 계산 효율을 향상시키기 위해서 해석 모델의 단순화 및 자유도 축소가 요구된다. 지난 50여 년 동안 규모가 큰 공학적 문제를 단순화하기 위해 다양한 부분구조화 기법들이 개발되어 왔다. 이러한 부분구조화 기법들은 Newton-Raphson 알고리즘 등과 같은 반복계산을 동반하는 비선형 구조해석 문제 해석에 매우 효과적이다. 본 논문에서는 기 개발된 비선형 부분구조화 기법 중의 하나인 모드미분(modal derivatives)을 이용하여 기하비선형 보의 모델 축소에 적용하고자 한다. 모드미분은 모드 기반 축소 기저의 2차항의 형태로, 선형모드의 조합으로 근사 가능한 변위벡터를 미소변위에 대한 Taylor 급수를 통해 확인할 수 있으며, 시스템의 고유치 문제를 모드 좌표로 미분을 함으로써 얻어진다. 모드미분에는 비선형 접선 강성행렬의 미분을 포함하고 있으며, 이는 유한차분법 등의 근사를 통해 계산할 수 있다. 제안된 방법론은 기하학적 비선형 문제에 우수한 성능을 보이는 동시회전 유한요소법에 적용하였다. 수치예제를 통해 보의 경계가 수평으로 움직일 수 있는 문제에서는 기존의 모드축소기법이 매우 비효율적임을 알 수 있었다. 한편 모드미분을 이용한 축소기법은 다양한 경계조건에 대하여 우수한 성능을 보임을 확인하였다.
The structures, which are made up with the huge number of degrees-of-freedom and the assembly of substructures, have a great complexity. In order to increase the computational efficiency, the analysis models have to be simplified. Many substructuring techniques have been developed to simplify large-...
The structures, which are made up with the huge number of degrees-of-freedom and the assembly of substructures, have a great complexity. In order to increase the computational efficiency, the analysis models have to be simplified. Many substructuring techniques have been developed to simplify large-scale engineering problems. The techniques are very powerful for solving nonlinear problems which require many iterative calculations. In this paper, a modal derivatives-based model order reduction method, which is able to capture the stretching-bending coupling behavior in geometrically nonlinear systems, is adopted and investigated for its performance evaluation. The quadratic terms in nonlinear beam theory, such as Green-Lagrange strains, can be explained by the modal derivatives. They can be obtained by taking the modal directional derivatives of eigenmodes and form the second order terms of modal reduction basis. The method proposed is then applied to a co-rotational finite element formulation that is well-suited for geometrically nonlinear problems. Numerical results reveal that the end-shortening effect is very important, in which a conventional modal reduction method does not work unless the full model is used. It is demonstrated that the modal derivative approach yields the best compromised result and is very promising for substructuring large-scale geometrically nonlinear problems.
The structures, which are made up with the huge number of degrees-of-freedom and the assembly of substructures, have a great complexity. In order to increase the computational efficiency, the analysis models have to be simplified. Many substructuring techniques have been developed to simplify large-scale engineering problems. The techniques are very powerful for solving nonlinear problems which require many iterative calculations. In this paper, a modal derivatives-based model order reduction method, which is able to capture the stretching-bending coupling behavior in geometrically nonlinear systems, is adopted and investigated for its performance evaluation. The quadratic terms in nonlinear beam theory, such as Green-Lagrange strains, can be explained by the modal derivatives. They can be obtained by taking the modal directional derivatives of eigenmodes and form the second order terms of modal reduction basis. The method proposed is then applied to a co-rotational finite element formulation that is well-suited for geometrically nonlinear problems. Numerical results reveal that the end-shortening effect is very important, in which a conventional modal reduction method does not work unless the full model is used. It is demonstrated that the modal derivative approach yields the best compromised result and is very promising for substructuring large-scale geometrically nonlinear problems.
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문제 정의
또한, 앞서 언급한 수치적인 문제를 완화할 수 있도록 부가적인 연구를 수행하고 기하비선형 평판 문제로 확장 적용 및 여러 개의 부구조로 구성된 문제에 적용하고자 한다. 궁극적인 본 연구의 목표는 다양한 구조적 거동을 고려할 수 있는 비선형 등가 보 또는 평판 모델을 개발하는 것이다.
본 논문에서는 비선형 시스템의 부분구화 기법 중 효율적으로 알려진 모드미분 기법을 이용하여 기하비선형을 가지는 보의 모델 축소를 수행하고자 한다. 다양한 수치예제들을 통해 모드미분이 비선형 모델 축소에 미치는 영향에 대해 알아보고, 축소모델의 정확성 및 축소효율을 확인하고자 한다.
추후 연구를 통해 시스템의 자유도 증가에 따른 효율성을 면밀히 평가하고, 비선형 좌굴해석 등 다양한 공학적 문제에 적용하고자 한다. 또한, 앞서 언급한 수치적인 문제를 완화할 수 있도록 부가적인 연구를 수행하고 기하비선형 평판 문제로 확장 적용 및 여러 개의 부구조로 구성된 문제에 적용하고자 한다. 궁극적인 본 연구의 목표는 다양한 구조적 거동을 고려할 수 있는 비선형 등가 보 또는 평판 모델을 개발하는 것이다.
본 논문에서는 비선형 시스템의 부분구화 기법 중 효율적으로 알려진 모드미분 기법을 이용하여 기하비선형을 가지는 보의 모델 축소를 수행하고자 한다. 다양한 수치예제들을 통해 모드미분이 비선형 모델 축소에 미치는 영향에 대해 알아보고, 축소모델의 정확성 및 축소효율을 확인하고자 한다.
부분구조화 기법은 Prezemieniecki(1963)에 의해 처음 제안되었다. 이 기법은 선형 정적해석 문제에 대한 부분구조화 기법으로 항공기 구조물의 응력 및 변형을 보다 효율적으로 계산하기 위해 고안되었다. 서로 인접해 있는 부구조의 경계 혹은 접합부가 완전하게 고정되어 있다는 가정을 통해 각각의 부구조에 대해 독립적인 행렬구조해석을 수행하며, 접합부에 서의 실제 변형이나 변위는 경계 조인트에서의 힘 평형으로 부터 유도된다.
이 장에서는 다양한 경계조건을 가지는 기하비선형 보의 축소 모델을 전체 모델 해석 결과와 비교하고 모드 미분 기반 축소 기법의 정확성 및 효율성을 검증하고자 한다.
가설 설정
∙End shortening과 같은 면내변형이 적게 나타나는 문제의 경우 모델 축소 성능이 높다.
기하비선형보 모델의 제원은 Fig. 1과 같이 길이(L), 폭 (b), 높이(h)를 가정하였으며, 사용된 요소는 절점당 3자유도(u, w, Θ)를 가지는 2절점 요소 30개를 사용하였다.
이 기법은 선형 정적해석 문제에 대한 부분구조화 기법으로 항공기 구조물의 응력 및 변형을 보다 효율적으로 계산하기 위해 고안되었다. 서로 인접해 있는 부구조의 경계 혹은 접합부가 완전하게 고정되어 있다는 가정을 통해 각각의 부구조에 대해 독립적인 행렬구조해석을 수행하며, 접합부에 서의 실제 변형이나 변위는 경계 조인트에서의 힘 평형으로 부터 유도된다. 동적해석 문제에 대한 부분구조화 기법은 Hurty(1965)에 의해 개발되었으며, 이 기법은 현대에 가장 널리 사용되고 있는 부분구조합성 기법인 Craig-Bampton method(1968)의 근간이 된다.
제안 방법
동적해석 문제에 대한 부분구조화 기법은 Hurty(1965)에 의해 개발되었으며, 이 기법은 현대에 가장 널리 사용되고 있는 부분구조합성 기법인 Craig-Bampton method(1968)의 근간이 된다. 3가지 형태의 모드인 강체모드 (rigid body mode), 구속모드(constraint mode), 정규모드(fixed interface normal mode)를 이용하여 부분구조화를 수행하였다. Craig-Bampton method는 Hurty가 제안한 기법을 개선한 것으로 선형 부분구조합성에서 강체모드는 시스템의 정확도에 미치는 영향이 거의 없다는 것을 보였으며, 결론적으로 구속모드와 정규모드만을 사용하여 선형 시스템에 대한 부분구조합성을 수행하였다.
단순지지 보의 중앙에 전단력이 작용하는 경우, 하중의 크기는 최대 80 lb까지 증가시켜 비선형 거동이 충분히 크게 나타나도록 해석을 수행하였다. 두 가지 단순지지 경계조건에 대한 해석 결과는 각각 Fig.
모드 미분이 축소모델의 성능에 미치는 영향을 알아보기 위해 각 노드에서의 길이방향 변위(u)와 횡방향 변위(w)를 1차 선형모드 및 1차 선형모드의 미분과 비교하였다. 각 노드에서의 변위는 Fig.
재료의 탄성계수는 100ksi이다. 모드미분의 유무에 따른 축소모델의 성능을 확인하기 위해 선형모드(VMs)만으로 축소한 경우와 모드미분(MDs)까지 포함하여 축소한 경우에 대해 결과를 비교하였다.
본 논문에서는 비선형 부분구조화 기법인 모드미분을 이용하여 기하비선형 보의 모델 축소를 수행하였다. 비선형성이 충분히 크게 나타나는 환경에서 모드미분이 비선형 연계효과 등을 효과적으로 고려함으로써 대략 30~40%의 자유도만을 사용하여 Full model 대비 높은 정확도의 축소모델을 계산할 수 있었다.
차분법을 이용하여 수치적으로 모드 미분을 계산하는 과정에서 모드 크기(qj)의 미소 변화량 △qj를 10-3으로 근사하였다. 이 때, △qj의 크기에 따라 축소 효율이 달라지게 된다.
데이터처리
기하비선형 보의 모델 축소에 있어 end shortening이 축소 효율에 미치는 영향을 알아보기 위해 두 가지의 단순지지 경계조건을 적용하여 그 결과를 Full model과 비교하였다.
이론/모형
Bathe와 Gracewski(1981)는 일반적인 선형 모드중첩의 원리와 부분구조화 기법을 이용하여 비선형 시스템 부분구조화의 효율성을 확인하였다. 2차원 비선형 부분구조화를 수행하기 위해 다중 부분구조화 기법과 실험적 자가 적응 Newton-Raphson 기법이 적용되었다. 이는 비선형 문제 해석 시 강성행렬의 재구축에 소요되는 시간을 약 30~50% 정도 감소하였으며, 가우스 적분 수행 시 유효 응력 수준(effective stress level)에 따라서만 강성행렬이 갱신되도록 하였다.
, n차 분할요소까지 하위 분할이 이루어진다. 각각의 (n -1)차 분할 요소의 고유모드는 (n)차 분할요소의 고유모드를 일반적인 CMS(component mode synthesis)기법을 이용하여 해석함으로써 계산된다. 이러한 과정을 반복수행하면 전체 구조물의 동특성을 해석할 수 있다(Ookuma and Nagamatsu, 1984).
성능/효과
3가지 형태의 모드인 강체모드 (rigid body mode), 구속모드(constraint mode), 정규모드(fixed interface normal mode)를 이용하여 부분구조화를 수행하였다. Craig-Bampton method는 Hurty가 제안한 기법을 개선한 것으로 선형 부분구조합성에서 강체모드는 시스템의 정확도에 미치는 영향이 거의 없다는 것을 보였으며, 결론적으로 구속모드와 정규모드만을 사용하여 선형 시스템에 대한 부분구조합성을 수행하였다.
충분히 큰 비선형성 고려를 위해 자유단에 작용하는 전단력의 크기는 최대 40 lb를 적용하였다. 기하비선형보 모델의 전체 자유도는 93자유도이며, 경계조건으로 인한 3개의 강체모드를 제외하면 가용한 자유도는 90자유도로 90개의 선형모드를 사용가능함을 말한다. 결과는 Fig.
선형모드만을 이용한 축소모델(○)의 경우 가용한 90개의 선형모드 중 80개를 사용했음에도 불구하고 Full model(―)을 전혀 근사하지 못한다. 하지만, 모드미분을 함께 사용(△)함으로써 약 40%의 자유도로 Full model 대비 매우 정확한 축소모델을 얻을 수 있었다. 외팔보 문제와 같이 자유단에 보의 길이방향에 대해 어떠한 구속도 되어있지 않기 때문에 굽힘 변형과 동시에 End shortening(Fig.
후속연구
추후 연구를 통해 시스템의 자유도 증가에 따른 효율성을 면밀히 평가하고, 비선형 좌굴해석 등 다양한 공학적 문제에 적용하고자 한다. 또한, 앞서 언급한 수치적인 문제를 완화할 수 있도록 부가적인 연구를 수행하고 기하비선형 평판 문제로 확장 적용 및 여러 개의 부구조로 구성된 문제에 적용하고자 한다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
다중 부분구조합성 기법은 어떻게 이루어지는가?
이는 MacNeal이 제안한 기법을 Free-Free 모드를 근사하는데 확장한 것으로 관성이나 소산에 의한 영향을 잔류영향으로 고려하였다. 다중 부분구조합성 (multiple component mode synthesis) 기법은 구조물이 1차 분할 요소로 나누어지고, 각각의 1차 분할 요소는 2차, 3차, ..., n차 분할요소까지 하위 분할이 이루어진다. 각각의 (n -1)차 분할 요소의 고유모드는 (n)차 분할요소의 고유모드를 일반적인 CMS(component mode synthesis)기법을 이용하여 해석함으로써 계산된다.
다중 부분구조화 기법과 실험적 자가 적응 Newton-Raphson 기법은 어떤 장점이 있었는가?
2차원 비선형 부분구조화를 수행하기 위해 다중 부분구조화 기법과 실험적 자가 적응 Newton-Raphson 기법이 적용되었다. 이는 비선형 문제 해석 시 강성행렬의 재구축에 소요되는 시간을 약 30~50% 정도 감소하였으며, 가우스 적분 수행 시 유효 응력 수준(effective stress level)에 따라서만 강성행렬이 갱신되도록 하였다. 이 기법은 평면응력 및 축대칭 조건 하의 탄소성 동적해석에 적용되었다(Sheu et al.
부분구조화 기법은 왜 고안되었는가?
부분구조화 기법은 Prezemieniecki(1963)에 의해 처음 제안되었다. 이 기법은 선형 정적해석 문제에 대한 부분구조화 기법으로 항공기 구조물의 응력 및 변형을 보다 효율적으로 계산하기 위해 고안되었다. 서로 인접해 있는 부구조의 경계 혹은 접합부가 완전하게 고정되어 있다는 가정을 통해 각각의 부구조에 대해 독립적인 행렬구조해석을 수행하며, 접합부에 서의 실제 변형이나 변위는 경계 조인트에서의 힘 평형으로 부터 유도된다.
참고문헌 (16)
Bathe, K.-J., Gracewski, S. (1981) On Nonlinear Dynamic Analysis using Substructuring and Mode Superposition, Comput. & Struct., 13, pp.669-707.
Craig Jr, R.R., Bampton, M.C.C. (1968) Coupling of Substructures for Dynamic Analyses, AIAA J., 6, pp.1313-1319.
Sheu, C.-H., De Roeck, G., Van Laethem, M., Geyskens, P. (1989) Multilevel Substructuring and an Experimental Self-Adaptive Newton-Raphson Method for Two-Dimensional Nonlinear Analysis, Comput. & Struct., 33, pp.489-497.
Sheu, C.-H., De Roeck, G., Van Laethem, M., Geyskens. P. (1990) Application of the Substructuring Technique to Non-linear Dynamic Structural Analysis, Comput. & Struct., 35, pp.593-601.
Sombroek, C., Tiso, P., Renson. L., Kerschen, G. (2016) Numerical Computation of Nonlinear Normal Modes with Modal Derivatives Based Reduced Order Models, ECCOMAS Congress 2016.
Teunisse, N., Demasi, L., Tiso, P., Rauno, C. (2014) A Computational Method for Structurally Nonlinear Joined Wings Based on Modal Derivatives, 55th AIAA/ASMe/ASCE/AHS/SC Struct. Dyn. & Mater. Conf.
Weeger, O. (2015) Isogeometric Finite Element Analysis of Nonliear Structural Vibrations, Doctoral Thesis, Technische Universitat Kaiserslautern.
Weeger, O., Wever, U., Simeon, B. (2016) On the Use of Modal Derivatives for Nonlinear Model Order Reduction, Int. J. Numer. Meth. Eng., 108, pp.1579-1602.
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