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문제 정의
- ’는 조건은 찾지 못하였다. S1은 먼저 지오지브라를 활용하여 문제를 해결하고자 하였으며 여러 번의 시행착오 끝에 지필환경에서 문제를 해결하고자 하였다. 이는 지오지브라를 활용하여 단순히 기하적 접근만으로는 문제를 해결할 수 없음을 인지한 것으로 해석된다.
- 이에 본 연구는 학습유형이 상이한 초등학교 6학년 수학영재학생들의 일반화 및 정당화의 특징을 분석함으로써 학습유형에 따른 개별화 지도방안에 대한 교수학적 시사점을 도출하는 것을 목적으로 한다. 이를 위해, 초등학교 6학년 수학영재학생 3명의 학습유형을 판별하고, 그들에게 일반화가 가능한 원 분할 문제를 제공함으로써 학생들의 탐구 과정에서 학습유형에 따른 일반화 및 정당화 과정을 추적 관찰하였다.
- 또한 구체적인 사례 연구인 경우에도 주로 학습지 중심의 지필환경만 활용한 분석이 이루어져 학생들의 과제수행과정의 다양성을 분석하기에는 한계가 있을 것으로 파악된다. 이에 본 연구에서는 선행연구 고찰을 통해 초등학교 6학년 영재학생들의 학습유형에 따른 수학적 과제의 탐구 과정에서 나타나는 일반화 및 정당화의 특징을 다양성에 초점을 두어 분석하고자 한다.
- 특히 송상헌 외(2007)는 일반화가 이루어진 후 구체적인 경우에 대해 검증하는 특성이 일반화 능력 수준이 비슷한 6학년 수학영재학생에게 나타났다는 점에서, 수준이 아닌 다른 관점에서 고찰되어야 한다고 제언하였다. 이에 본 연구에서는 초등학교 6학년 수학영재학생들의 수학적 과제에서의 일반화 및 정당화의 특징을 일반화 및 정당화 수준이 아닌 학습유형에 따라 분석하고자 한다.
제안 방법
- ’는 조건을 모두 인지하고 작도한 것으로 나타났다. S3는 S1과 S2가 했던 최대 분할 조건의 탐색 과정을 거치지 않고 먼저 지오지브라를 이용하여 정오각형을 작도하여 과제를 해결하려고 시도하였다. 이는 다른 학생들과 구분되는 독창적인 작도 방법이었으며 연구자가 관찰한 결과 S3는 정오각형을 작도한 후 정오각형의 꼭짓점이 중심이 되고 한 변의 길이가 반지름이 되는 5개의 작은 원을 작도한 후 각각 두 작은 원의 공통현의 교점을 중심으로 하고 5개의 작은 원에 내접하는 큰 원을 작도하였다.
- 조절형 학생 S2는 주어진 과제를 해결하기 위해 동적기하환경 보다 지필환경을 먼저 사용하였다. [그림 IV-5]에서 보는 바와 같이 지필환경에서 작은 원이 큰 원에 내접하는 경우와 내접하지 않는 경우를 나누어 최대 분할 조건을 탐구하였다. S2 역시 단순화 전략을 이용하여 작은 원의 개수를 1개에서 시작하여 4개까지는 기하적 접근으로 실제로 그려본 후 최대 분할 부분의 개수를 세어서 탐구하는 것으로 나타났다.
- 또한, 두 명의 연구자는 연구대상의 풀이 과정을 파악하기 위해 학생들의 과제수행 특성을 관찰하면서 결과를 기록하였다. 과제수행 후, 두 명의 연구자 중 한 명이 각각의 연구 대상에게 개별 면담을 실시하였다. 이때 면담을 위해 수학적 과제 해결에서의 어려움, 규칙을 찾을 때의 결정적인 실마리, 지오지브라의 유용성을 공통질문으로 하고 수업 중 추적 관찰한 내용 중 각각의 연구대상에 나타난 특이점에 대한 개별적으로 필요한 질문을 추가하는 반구조화 된 면담법을 이용하였다.
- 한편 수렴형과 조절형 학생은 Kolb(2007)의 순환적 학습 모형에 따라 활동적 실험학습방식을 선호하여 과제를 해결할 수 있는 모든 가능성을 확인해 본다는 공통점을 보였다. 다만 수렴형은 추상적 개념화 학습방식을 선호하여 활동지를 활용하여 대수적 접근으로 패턴의 규칙을 탐색하였으며, 조절형은 구체적 경험의 학습방식을 선호하여 자신이 찾은 패턴의 규칙을 지오지브라를 통해 확인하였다. 특히 조절형 S2는 이미 일반화를 한 후에도 그 결과가 정확한 것인지 지오지브라에 작도하여 확인하는 활동을 반복하였다.
- 둘째, 동화형은 추상적으로 개념화하여 경험을 수용하며 반성적으로 관찰하여 경험을 처리한다. 정보를 간결하고 논리적인 형식으로 표현하며 다각적인 면에서 이해한다.
- 둘째, 위와 같이 결정된 학습방식(CE, RO, AC,AE)별 합계를 이용하여 각각 경험수용 방식(AC-CE축)과 경험처리 방식(AE-RO축)의 값을 구한다. 경험수용 방식의 값을 구하기 위한 계산식은 추상적 개념화 값의 합(AC)에서 구체적 경험 값의 합(CE)을 뺀 값(AC – CE)이며, 경험처리방식의 값을 구하기 위한 계산식은 활동적 실험값의 합(AE)에서 반성적 관찰 값의 합(RO)를 뺀 값(AE – RO)이다.
- 또한, 과제 탐구 환경으로서 지필환경과 지오지브라를 활용한 동적기하환경을 동시에 제공함으로써 학생들이 선호하는 매체를 자유롭게 선택하여 사용하도록 하였다. 이는 동적기하환경이 개별화를 위한 효과적인 방안이라는 제안(김진균, 2014)과 동적기하환경보다 지필환경을 선호하는 학습유형이 있다는 언급(유미경, 2016)의 양자를 모두 고려한 실험 설계에 해당한다.
- 또한, 두 명의 연구자는 연구대상의 풀이 과정을 파악하기 위해 학생들의 과제수행 특성을 관찰하면서 결과를 기록하였다. 과제수행 후, 두 명의 연구자 중 한 명이 각각의 연구 대상에게 개별 면담을 실시하였다.
- 본 연구 결과에 기초하여 초등학교 6학년 영재학생들의 학습유형에 따른 일반화, 정당화 및 학습 환경 선호를 다음과 같이 비교 분석하고,이에 기초하여 결론을 도출하였다.
- 과제수행 후, 두 명의 연구자 중 한 명이 각각의 연구 대상에게 개별 면담을 실시하였다. 이때 면담을 위해 수학적 과제 해결에서의 어려움, 규칙을 찾을 때의 결정적인 실마리, 지오지브라의 유용성을 공통질문으로 하고 수업 중 추적 관찰한 내용 중 각각의 연구대상에 나타난 특이점에 대한 개별적으로 필요한 질문을 추가하는 반구조화 된 면담법을 이용하였다. 면담내용은 모두 녹음되었고 추후 전사하여 분석 자료로 활용하였다.
- 이에 본 연구는 학습유형이 상이한 초등학교 6학년 수학영재학생들의 일반화 및 정당화의 특징을 분석함으로써 학습유형에 따른 개별화 지도방안에 대한 교수학적 시사점을 도출하는 것을 목적으로 한다. 이를 위해, 초등학교 6학년 수학영재학생 3명의 학습유형을 판별하고, 그들에게 일반화가 가능한 원 분할 문제를 제공함으로써 학생들의 탐구 과정에서 학습유형에 따른 일반화 및 정당화 과정을 추적 관찰하였다. 학생들은 지필환경과 동적기하환경에서 과제를 탐구하였으며, 이때, 학생들의 활동지와 컴퓨터 기록, 연구자의 관찰 일지, 과제탐구 후 개별면담 등을 통해 수집한 자료에 기초하여 질적 분석을 실시하고 개별화 지도방안을 위한 교수학적 시사점을 도출하였다.
- 다수의 선행연구(Kruteskii, 1976; Sheffield, 1994; 송상헌, 1998, 2000)에 의하면 수학영재학생들은 주어진 수학적 과제를 일반화하려는 경향이 있으며 또한 일반화된 가설을 증명하고 설명하는 능력이 우수하다. 이에 본 연구에서는 학생들로 하여금 주어진 과제를 해결하여 일반화 하고 일반화한 결과를 정당화하도록 함으로써, 문제해결과정에서의 일반화 및 정당화의 두 측면을 분석하였다.
- S2 역시 단순화 전략을 이용하여 작은 원의 개수를 1개에서 시작하여 4개까지는 기하적 접근으로 실제로 그려본 후 최대 분할 부분의 개수를 세어서 탐구하는 것으로 나타났다. 이후 지필환경에서의 탐구 과정이 정확한지 확인하기 위해 지오지브라에서의 작도를 활용하였다. 지필환경에서 큰 원을 작은 원 1, 2, 3, 4개로 최대 분할할 수 있는 부분은 2, 5, 10, 17임을 알고 작은 원이 하나씩 늘어날 때마다 늘어나는 분할 부분의 개수를 구하고 그 수 사이의 관계를 찾아 작은 원 5개로 최대 분할할 수 있는 부분의 개수를 계산한 다음([그림 IV-5]) 이러한 추론이 정확한지 확인하기 위해 [그림 IV-6]에서와 같이 작은 원이 5개인 경우를 지오지브라로 작도하여 자신의 추론이 정당한지 직관적으로 확인한 것이다.
- [그림 IV-10] S3의 지오지브라 작도2 S3는 주어진 과제를 해결한 후에 작은 원의 개수와 최대 분할 부분의 개수를 늘려가며 일반화하였다. 작은 원 1, 2, 3, 4, 5, 6개로 최대 분할 부분의 개수를 각각 2, 5, 10, 17, 26, 37개로 구하였다. 이때, 각각 최대 분할 부분의 개수를 작은 원 내부와 작은 원 외부로 구분하여 생각하였다.
- 주어진 과제를 해결한 후 작은 원의 개수와 최대 분할 부분의 개수를 늘려가며 작은 원의 개수가 n개인 경우로 일반화하였다. [그림 IV-3]에서 작은 원의 개수가 1에서 10까지 변화할 때 각각의 최대 분할 부분의 개수를 구하고, 수열 2, 5, 10, 17, 26, 37에서 규칙을 탐구하는 과정을 확인할 수 있다.
- S2는 지필환경과 지오지브라를 활용한 동적기하환경을 적절하게 활용하는 모습을 보였다. 처음에는 지필환경에서 문제를 해결하고자 하였으며 지필환경에서 탐구한 내용이 맞는지 확인하기 위해 동적기하환경을 이용하였다. 이는 <표 IV-2>의 면담자료에서도 확인할 수 있다.
- 첫째, 학습유형 검사지 각각의 항목에 피검사자들이 부여한 값을 각각 구체적 경험, 반성적관찰, 추상적 개념화, 활동적 실험의 네 가지 학습방식에 따라 구분하여 합계를 구한다. 구체적인 산출 방법은 <표 III-1>과 같다.
- 이는 지필환경에서 최대 분할 조건을 찾기 위해 주어진 과제를 단순화하는 전략이 유용하다고 판단한 것으로 보인다. 최대 분할의 조건을 찾은 이후에 1개, 2개, 3개의 작은 원으로 분할하는 경우를 최대 분할조건으로 작도하여 최대 분할 면적을 세어본 후각각의 경우에서 작은 원의 개수와 최대 분할 부분의 개수 사이의 관계를 식으로 나타내어 주어진 과제를 해결하였다.
- 이를 위해, 초등학교 6학년 수학영재학생 3명의 학습유형을 판별하고, 그들에게 일반화가 가능한 원 분할 문제를 제공함으로써 학생들의 탐구 과정에서 학습유형에 따른 일반화 및 정당화 과정을 추적 관찰하였다. 학생들은 지필환경과 동적기하환경에서 과제를 탐구하였으며, 이때, 학생들의 활동지와 컴퓨터 기록, 연구자의 관찰 일지, 과제탐구 후 개별면담 등을 통해 수집한 자료에 기초하여 질적 분석을 실시하고 개별화 지도방안을 위한 교수학적 시사점을 도출하였다.
- 면담내용은 모두 녹음되었고 추후 전사하여 분석 자료로 활용하였다. 학생들이 작성한 활동지, 지오지브라 활동이 기록된 학생의 산물, 두 연구자가 관찰하며 작성한 현장관찰일지, 면담을 통해 자료를 수집하여 질적 분석을 실시하였다.
대상 데이터
- 본 연구는 2016년 12월 29일 2차시에 걸쳐 이루어졌다. 본 연구에서 적용한 수학 과제는 2009 개정 교육과정에 따른 3학년 2학기 수학 교과서 3단원 ‘원’의 문제해결 차시를 변형한 과제로 다음과 같다.
- 본 연구는 서울특별시의 한 대학부설 영재교육원의 사사과정 6학년 학생 3명(남: 2명, 여: 1명)을 대상으로 하였다. 3명 모두 지오지브라 활용능력을 갖춘 학생들이다.
- 본 연구에서 적용한 수학 과제는 2009 개정 교육과정에 따른 3학년 2학기 수학 교과서 3단원 ‘원’의 문제해결 차시를 변형한 과제로 다음과 같다.
이론/모형
- 본 연구는 Kolb의 학습유형을 근거 이론으로 한다. Kolb(2007)는 구체적 경험(Concrete Experience,이하 CE), 반성적 관찰(Reflective Observation, 이하 RO), 추상적 개념화(Abstract Conceptualization, 이하 AC), 활동적 실험(Active Experimentation, 이하 AE)의 순환적 학습을 통한 경험학습 이론을 주장하였다([그림 II-1]).
- 3명 모두 지오지브라 활용능력을 갖춘 학생들이다. 임세영 외(2012)의Kolb 학습유형 검사지를 초등학생용으로 수정한 유미경(2016)의 학습유형 검사지를 활용하여 연구 대상의 학습유형을 판별하였다. 학습유형 검사지(<부록>)는 12개의 평가항목 각각에 4개의 하위 항목으로 구성된다.
성능/효과
- 먼저 일반화 관련 연구로, 최병훈, 방정숙(2012)은 Friedlander & Tabach의 연구를 토대로 패턴의 일반화 단계를 일반화를 시작하는 단계,일반화를 형성하는 단계, 일반화를 명확하게 하는 단계, 정당화 단계의 4단계로 구분하였으며, Bishop(2000)과 Lannin(2005)의 선행연구를 통해 일반화 전략을 구체화를 통한 인식, 추측과 확인, 순환적인 관계인식, 전제-부분, 상황적 인식으로 범주화 하여 초등학교 4,5,6학년 수학영재 학생의 패턴 일반화 전략을 연구하였다. 그 결과 6학년 수학영재학생은 일반화를 시작하는 단계에서 순환적 관계 즉, 주어진 정보들을 기초로 패턴의 규칙을 찾아내고 앞의 항과 뒤의 항을 이용한 관계의 인식을 통해 일반화하는 전략을 선호함을 파악하였다. 한편 송상헌 외(2007)는 페그퍼즐 과제에서 초등수학영재의 대수적 일반화 과정을 분석한 결과, 초등수학영재학생은 귀납적인 규칙을 찾기보다 일반적인 구조를 파악하고자 하는 경향을 가지고 있으며, 자신의 생각을 문자식으로 나타내고 답을 문자 언어를 활용하여 표현하였다.
- 다음으로 수학영재학생의 정당화 분석에 관한 선행연구를 살펴보면, 송상헌, 장혜원, 정영옥(2006)은 Clairaut의 기하 과제 중 하나를 해결하는 과정에서 나타나는 정당화의 수준과 정당화의 구성요소에 대해 분석하였다. 그 결과 수학영재학생들은 이미 정당화의 의미와 필요성을 인지하고 있었고 문제에 대한 충분한 이해가 있는 상황에서 자신의 주장을 정당화하는 것이 가능하였으며, 정당화의 수준이 지식수준에 크게 좌우되지 않았다. 즉, 적절한 과제가 제공되면 초등수학영재학생들도 연역적 사고가 가능하며 학생에게 개별적인 단계적 힌트를 제공하는 개별 피드백을 통해 학생들로 하여금 발전적 사고를 창출할 수 있음을 언급하였다.
- 넷째, 학습유형에 따른 일반화, 정당화 및 학습 환경 선호의 특징은 경험수용 방식 보다 경험처리 방식의 영향을 받은 것으로 해석된다. 이는 반성적 관찰을 선호하는 학습자는 다른 관점으로 사고하고자 하며, 활동적 실험을 선호하는 학습자는 과제를 해결하기 위한 모든 가능성 살피고자 하는 특징에서 기인하는 것이다(Kolb, 2007).
- 둘째, 초등학교 6학년 수학영재학생들의 정당화 특성은 일반화에 비해 다양하지 않았다. 세 학생 모두 <표 II-1>의 송상헌, 허지연, 임재훈(2006)의 정당화의 수준 중 형식적 정당화 유형을 보였다.
- 한편 송상헌 외(2007)는 페그퍼즐 과제에서 초등수학영재의 대수적 일반화 과정을 분석한 결과, 초등수학영재학생은 귀납적인 규칙을 찾기보다 일반적인 구조를 파악하고자 하는 경향을 가지고 있으며, 자신의 생각을 문자식으로 나타내고 답을 문자 언어를 활용하여 표현하였다. 또한 개인의 특성에 따라서는 자신의 일반화 결과를 특수한 경우에 적용시켜보는 활동을 통해 자신의 결과를 검증하고자 하는 경향이 있음을 확인하였다. 즉, 학생에 따라 패턴 규칙을 찾거나 일반 구조를 파악하는 등 서로 다른 특성의 다양성을 드러내는 것으로 나타난다.
- 이는 최대 분할 조건을 만족하는 작도의 어려움을 인식하고 이를 해결할 수 있는 방법을 찾으려고 한 의도가 엿보이는 대답이라 할 수 있다. 또한 자신이 찾아낸 작도 방법을 구체적으로 진술하는 과정을 통해 동화형 학습유형이 보여준 지오지브라 화면 자료나 활동지에 미쳐 나타나지 않았던 사고 과정을 확인할 수 있었다. S3는 일반화 과정에서의 어려움을 묻는 연구자의 질문에 점화식을 활용하여 어려움이 없었다고 대답하였으며 주어진 수학적 문제를 해결하는데 지오지브라가 유용했음을 언급하였다.
- 셋째, 계산된 경험수용 방식 및 경험처리 방식의 값을 이용하여, 에 따라 확산형, 동화형, 수렴형, 조절형의 4가지 학습유형이 결정된다.
- 셋째, 수렴형은 추상적으로 개념화하여 경험을 수용하며 활동적으로 실험하면서 경험을 처리하는 특성을 가진다. 이 학습자는 근거에 의한 문제나 질문의 해결방식을 찾아 해결하는 능력이 우수하며 이론이나 생각의 실용적인 활용방식을 찾는 능력이 우수하다.
- 셋째, 학습유형에 따라 학습 환경에 대한 선호도의 차이를 보였다. 우선 수렴형 학생은 동적기하환경보다 지필환경을 선호하였으며 동화형 학생은 지필환경보다 동적기하환경을 선호하였다.
- 셋째, 학습유형에 따라 학습 환경에 대한 선호도의 차이를 보였다. 우선 수렴형 학생은 동적기하환경보다 지필환경을 선호하였으며 동화형 학생은 지필환경보다 동적기하환경을 선호하였다. 이는 동적기하환경에서 초등학교 3학년 영재학생들의 학습유형에 따른 수학적 과제접근방식을 다룬 유미경(2016)의 연구에서 수렴형 학생은 지필환경을 적극 활용하고 동화형 학생은 확산형 학생 다음으로 동적기하환경을 적극 활용한다는 결과와도 일치한다.
- 처음부터 지오지브라를 활용하였으며 지필환경보다 상당히 많은 시간을 동적기하환경 속에서 활동하였다. 주어진 과제를 해결하기 위해 지오지브라를 활용하여 작도하는데 상당 시간 몰두하였으며, 지필환경에서는 일반화 및 정당화 과정을 별다른 어려움 없이 제시하는 모습이 보였다. 처음부터 지오지브라를 활용한 작도에서 작은 원 먼저 작도하는 모습을 확인한 연구자는 그 이유를 물었으며 이에 대해 S3는 큰 원을 먼저 작도하고 작은 원을 작도하면 힘들다고 하였다.
- 그 결과 수학영재학생들은 이미 정당화의 의미와 필요성을 인지하고 있었고 문제에 대한 충분한 이해가 있는 상황에서 자신의 주장을 정당화하는 것이 가능하였으며, 정당화의 수준이 지식수준에 크게 좌우되지 않았다. 즉, 적절한 과제가 제공되면 초등수학영재학생들도 연역적 사고가 가능하며 학생에게 개별적인 단계적 힌트를 제공하는 개별 피드백을 통해 학생들로 하여금 발전적 사고를 창출할 수 있음을 언급하였다.
- 이에 송상헌 외(2007)는 초등 수학영재들의 일반화 과정 분석에서 연구 대상 중 한 6학년 수학영재학생의 경우 가장 우수하다고 평가되는 학생임에도 불구하고 자신의 일반화 결과를 구체적인 사례에 적용하여 재검토하는 경향을 파악하였고, 이와 같은 구체적인 경우에 대한 고려가 단지 학생의 사고 수준을 의미하는 것은 아니라고 분석함으로써 이에 대한 후속연구를 제언하였다. 즉, 학생의 사고 특성을 사고 수준의 문제 이외에 학습유형의 차이에서 비롯되는 것임을 파악하여, 학생의 일반화 과정에 대한 분석을 종적 차원인 수준의 관점에서가 아닌 횡적 차원인 학습유형의 관점에서 시행함으로써 유의미한 해석을 얻을 가능성을 보여준다.
- 또한 일반화 과정에서의 어려움을 묻는 연구자의 질문에 마지막 정당화할 때 작은 원의 늘어남에 따라 증가하는 교점의 개수와 늘어난 원의 수 사이의 관계를 정당화하는 것에 대한 어려움을 언급하였다. 즉, 활동적 실험의 학습방식을 통해 정보를 처리하는 조절형 학습유형은 작은 원의 분할 부분 수와 최대 분할 부분의 수를 구하는 공식을 일반화하였고 최대 분할 부분의 수와 원의 교점의 수가 일치함을 대수적 사고를 통해 인지하였음에도 불구하고 시각적, 기하적 사고를 통해 확인하려는 특징을 보였다.
- 첫째, 초등학교 6학년 수학영재학생들의 일반화 특성은 다양하게 나타났다. 학습유형별 일반화의 특성은 경험처리 방식이 다른 수렴형 및 조절형과 동화형 사이에 더 두드러졌다.
- 첫째, 학생의 탐구 과정이 학습유형에 따라 차이가 있다는 점에 대한 교사의 인식이 있어야 한다. 학습유형의 다양성에서 야기되는 교수유형의 차이는 자연스럽다.
후속연구
- 둘째, 학습유형에 따른 일반화의 다양성을 고려한 수학영재 프로그램의 개발이 필요하다. 좋은 수학영재 프로그램을 위한 필수 요소 중 하나가 과제이다.
- 그러나 본 결과는 확산형 학습유형에 대한 결과가 없다는 한계가 있다. 또한 이러한 결과가 과제나 학생의 학령에 따라 차이가 있을 수 있으므로 네 가지 학습유형이 모두 포함된 다른 학년을 대상으로 하여 경험수용 방식의 차이를 파악할 수 있는 과제를 활용한 후속 연구를 제언한다.
- 이때 면담을 위해 수학적 과제 해결에서의 어려움, 규칙을 찾을 때의 결정적인 실마리, 지오지브라의 유용성을 공통질문으로 하고 수업 중 추적 관찰한 내용 중 각각의 연구대상에 나타난 특이점에 대한 개별적으로 필요한 질문을 추가하는 반구조화 된 면담법을 이용하였다. 면담내용은 모두 녹음되었고 추후 전사하여 분석 자료로 활용하였다. 학생들이 작성한 활동지, 지오지브라 활동이 기록된 학생의 산물, 두 연구자가 관찰하며 작성한 현장관찰일지, 면담을 통해 자료를 수집하여 질적 분석을 실시하였다.
- 나아가 최병훈, 방정숙(2012)과 장혜원(2008)에 근거할 때, 자신의 방식으로 일반화한 것을 서로 공유함으로써 다양한 방법을 경험하는 것 역시 필요할 것이다. 본 연구에서는 학생 상호 간 소통의 기회가 결여되어 동료의 방법에 대해 탐구할 기회를 제공하지 못했다는 한계가 있다.
- 셋째, 학습유형에 따라 서로 다른 학습 환경을 선호한다는 연구 결과는 주어진 학습 환경이 학생의 인지적 활동에 장애가 되지 않도록 학습환경의 다양성을 보장할 필요를 제안한다. 김진균(2014)에서 중학생은 동적기하환경에서 스스로의 필요에 따라 교수ㆍ학습 상황을 선택할 수 있었고, 초등학생을 대상으로 한 유미경(2016)에서 수렴형 학생은 동적기하환경보다 지필환경을 선호하였으며, 본 연구의 수렴형 학생도 마찬가지 경향을 보였다.
- 송상헌, 허지연, 임재훈(2006)은 도형의 최대분할 과제에서 초등수학영재들이 보여주는 정당화 유형을 분석한 결과, 초등수학영재학생 사이에도 정당화 수준에는 상당한 차이가 있으며 가장 많이 나타난 정당화 유형은 포괄적 정당화이고 형식적 정당화도 일부 학생에게 나타났다. 이러한 포괄적 정당화와 형식적 정당화 수준의 초등수학영재학생에게 귀납적 정당화 전략을 사용하도록 하는 것은 적절하지 않으며 어떤 패턴을 일반화한 후 결과로 나온 식의 정오를 확인하는 것보다 그 식의 타당성을 설명하는 활동이 필요함을 제언하였다. 즉, 수학영재학생들은 일반적인 사례를 통한 연역적 설명이나 문제의 핵심구조를 기본으로 기호를 사용하여 논리적으로 설명하는 것이 가능함을 보여준다.
- 김진균(2014)에서 중학생은 동적기하환경에서 스스로의 필요에 따라 교수ㆍ학습 상황을 선택할 수 있었고, 초등학생을 대상으로 한 유미경(2016)에서 수렴형 학생은 동적기하환경보다 지필환경을 선호하였으며, 본 연구의 수렴형 학생도 마찬가지 경향을 보였다. 이에 교사는 지필환경, 동적 기하환경 등을 제공하여 학생들이 선호하는 학습 환경을 선택할 수 있도록 할 필요를 제언한다.
- 그러나 이들 연구는 초등 수학영재 학생들의 일반화 및 정당화 특성에 따라 수준을 고려한 유형을 분석하는 데 그쳤으며 학습유형에 따른 차이에 대한 고려는 이루어지지 않았다. 이에 송상헌 외(2007)는 초등 수학영재들의 일반화 과정 분석에서 연구 대상 중 한 6학년 수학영재학생의 경우 가장 우수하다고 평가되는 학생임에도 불구하고 자신의 일반화 결과를 구체적인 사례에 적용하여 재검토하는 경향을 파악하였고, 이와 같은 구체적인 경우에 대한 고려가 단지 학생의 사고 수준을 의미하는 것은 아니라고 분석함으로써 이에 대한 후속연구를 제언하였다. 즉, 학생의 사고 특성을 사고 수준의 문제 이외에 학습유형의 차이에서 비롯되는 것임을 파악하여, 학생의 일반화 과정에 대한 분석을 종적 차원인 수준의 관점에서가 아닌 횡적 차원인 학습유형의 관점에서 시행함으로써 유의미한 해석을 얻을 가능성을 보여준다.
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