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문제 정의
- 귀납적 추론과 관련된 선행연구는 주로 추론 능력 향상을 위한 지도방안 연구, 수학적 문제해결력 및 추론 능력과 정의적 특성과의 관계에 관한 연구, 수학적 추론 능력 평가에 관한 연구, 추론 능력 향상을 위한 프로그램 연구이었다. 그러나 귀납적 추론 능력의 효율적인 지도방법을 모색하기 위해서는 귀납적 추론과정에 초점을 두어 학생들의 귀납적 추론 실태를 분석하거나 그 원인을 밝히는 연구가 필요하며 이것이 본 연구의 목적이다. 학생들의 귀납적 추론 능력을 효율적으로 지도하기 위해 본 연구와 관련하여 다음과 같은 제언하고자 한다.
- 본 연구를 위해 먼저 초등학교 4학년 교과서에 제시된 귀납적 추론 능력과 관련된 활동들을 분석한 후 귀납적 추론 능력을 검사할 수 있는 검사지를 개발하였으며 2차례의 예비검사를 통해 문항을 수정하여 본 검사를 실시하였다. 문항 제작시 학생들이 알고리즘에 의해 문제를 해결하는 것을 최소화하기 위해 교과서에 제시된 문항과는 동일하지 않은 것으로 4학년 수준에서 충분히 풀 수 있는 내용을 중심으로 하였다. 검사지에 제시된 문항은 선행 연구와 문헌에 제시된 문항을 본 연구의 목적에 맞게 수정하거나 연구자가 직접 제작하는 방식으로 구성하였다.
- 그러나 초등학생들을 대상으로 한 귀납적 추론 연구에서 효율적인 지도방법을 모색하기 위해서는 귀납적 추론과정이 진행되는 각 단계에서 학생들이 보이는 특징에 초점을 두어 학생들의 귀납적 추론 실태를 분석하거나 그 원인을 밝히는 연구는 미흡하다고 보여진다. 이에 본 연구에서는 귀납적 추론 실태와 함께 그 과정에서 보이는 귀납적 추론의 특징에 초점을 두어 분석함으로써 귀납적 추론능력 지도에의 시사점을 얻고자 한다.
- 학생들의 귀납적 추론 능력을 신장시킬 수 있는 방법에 있어서의 시사점을 얻기 위하여 선행연구와 이론적 고찰을 통해 확인하였던 귀납적 추론의 4단계 즉, 문제이해, 자료수집→ 규칙성 추측 → 규칙성 확인 → 일반화 및 문제 해결의 과정에서 나타난 학생들의 추론능력의 특징을 살펴보고자 한다.
제안 방법
- 4) 규칙을 찾으려 하였으나 한 두 개의 단편적인 사례만으로 일반화를 내려 성급한 일반화의 오류를 범한 경우는 R2의 사례로 분류하였다.
- 문항 제작시 학생들이 알고리즘에 의해 문제를 해결하는 것을 최소화하기 위해 교과서에 제시된 문항과는 동일하지 않은 것으로 4학년 수준에서 충분히 풀 수 있는 내용을 중심으로 하였다. 검사지에 제시된 문항은 선행 연구와 문헌에 제시된 문항을 본 연구의 목적에 맞게 수정하거나 연구자가 직접 제작하는 방식으로 구성하였다. 예비검사를 통해 검사 문항의 진술 형태 및 난이도 등을 확인하였으며 전문가의 조언을 얻어 난이도에 따른 문항 배열, 문항의 명확성 등을 수정하여 비슷한 난이도, 문항 유형으로 구성된 2종류의 검사지를 제작하였으며 각 문항의 평가 내용은 <표 1>과 같다.
- 귀납적 추론을 하기 위해서 우리는 몇 가지 사례를 확인하여 변수들 사이의 공통성을 찾고 이를 토대로 규칙을 발견하여 문제를 해결한다. 이 과정에서 한, 두 가지 사례를 통해 그 규칙을 발견하고 이를 확인하기 위해 수차례 확인과정을 거치게 되는 데 4학년 학생들의 귀납적 추론 과정에는 이러한 확인 과정이 지나치게 많아 시간을 낭비하는 비효율적인 계산과정을 보여주는 사례가 나타났다.
- 이로 볼 때, 귀납적 추론능력을 가지고 있는가의 여부는 주어진 문제의 정답을 찾았는지가 아닌 문제해결과정에서 학생들 스스로 공통점을 찾아 규칙을 발견하고 이를 근거로 문제를 해결하는 일련의 사고과정에서 파악된다고 할 수 있다. 그리고 귀납적 추론이 가지는 다른 수학적 사고와의 차이점은 변수들 사이의 규칙성을 파악하는 능력이라고 할 수 있다 그리고 규칙성 파악 여부와 정확성에 따른 반응 유형 판별기준은 이선미(2012)와 김은희(2002)의 기준을 참고하여 본 연구의 목적에 맞게 연구자가 수정하여 다음과 같이 정하였다.
- 5) 문제를 이해하고 자료를 찾아 문제를 해결하는 데는 성공적이었으나 규칙을 발견하는데 초점을 두지 않고 단순 연산이나 조작활동(그림그리기, 수세기 등)을 통해 문제를 해결한 경우는 귀납적 추론을 통한 문제 해결이라고 볼 수 없다고 판단되어 N1유형에 포함시켰다. 그리고 규칙성에도 초점을 두지 않고 문제 자체를 이해하지 못하거나 응답하지 않은 경우를 N2유형으로 분류하였다.
- 수정 보완하여 최종적으로 완성된 문항으로 본 검사를 실시하였는데, 이 때 담임교사에게 문항 검사의 목적과 유의사항에 대한 안내를 부탁한 후 40분의 문제해결 시간을 제시하였다. 그리고 문제를 해결하는 동안 추론과정에 직접적인 영향을 주지 않는 범위에서 문제 관련 질문을 할 수 있도록 허용하였다.
- 본 연구를 위해 먼저 초등학교 4학년 교과서에 제시된 귀납적 추론 능력과 관련된 활동들을 분석한 후 귀납적 추론 능력을 검사할 수 있는 검사지를 개발하였으며 2차례의 예비검사를 통해 문항을 수정하여 본 검사를 실시하였다. 문항 제작시 학생들이 알고리즘에 의해 문제를 해결하는 것을 최소화하기 위해 교과서에 제시된 문항과는 동일하지 않은 것으로 4학년 수준에서 충분히 풀 수 있는 내용을 중심으로 하였다.
- 예비검사를 통해 검사 문항의 진술 형태 및 난이도 등을 확인하였으며 전문가의 조언을 얻어 난이도에 따른 문항 배열, 문항의 명확성 등을 수정하여 비슷한 난이도, 문항 유형으로 구성된 2종류의 검사지를 제작하였으며 각 문항의 평가 내용은 <표 1>과 같다. 수정 보완하여 최종적으로 완성된 문항으로 본 검사를 실시하였는데, 이 때 담임교사에게 문항 검사의 목적과 유의사항에 대한 안내를 부탁한 후 40분의 문제해결 시간을 제시하였다. 그리고 문제를 해결하는 동안 추론과정에 직접적인 영향을 주지 않는 범위에서 문제 관련 질문을 할 수 있도록 허용하였다.
- 예비검사를 통해 검사 문항의 진술 형태 및 난이도 등을 확인하였으며 전문가의 조언을 얻어 난이도에 따른 문항 배열, 문항의 명확성 등을 수정하여 비슷한 난이도, 문항 유형으로 구성된 2종류의 검사지를 제작하였으며 각 문항의 평가 내용은 과 같다.
- 안승학(1999)은 선행 연구를 기반으로 하여 문제 인식, 자료 수집 및 관찰, 추측하기, 추측검증. 정리 및 발견의 순으로 지도 과정을 개발하였다.
- 3%, 10%로 문항 1, 4번 보다 높게 나타났다. 즉, 사칙연산에 해당하는 문제에서는 자신에게 익숙한 해결방법을 통해 문제를 해결하였고 문항에서 주어진 개체의 수를 많이 제시하여도 수를 차례로 더해나가는 비효율적인 계산 방법만을 고수하고 다른 해결전략을 세우지 않았다. 반면에 문항 2, 5와 같이 문제에서 그림을 제시한 경우와 수학과 영역 중 도형영역에 해당하는 문항의 경우, 학생들은 자신만의 추측을 통해 공통성을 찾고 규칙을 발견하여 문제를 해결하는 비중이 다른 수학과 영역에 비해 높다는 것을 알 수 있다.
- 첫째, 본 연구는 4학년 학생들의 문제해결과정에서 나타나는 귀납적 추론의 특징과 실태를 분석하였다. 그러나 귀납 추론은 단지 문제해결과정에만 나타나는 것이 아니라 학생들이 자신의 주장을 증명하는 방법의 일부로도 활용될 것이다.
- 초등학교 4학년 학생들의 귀납적 추론 능력의 실태 및 특징을 알아보기 위하여 먼저 문항별로 반응유형을 다음의 와 같이 백분율로 정리하였다.
- 유세희(2009)에 따르면 지난 10년간의 추론에 관한 우리나라에서의 선행연구는 추론 능력 향상을 위한 지도방안 연구(방정숙·전평국, 1997; 배혜정·남승인, 2005), 수학적 문제해결력 및 추론 능력과 정의적 특성과의 관계에 관한 연구(박경옥·박영희, 2003; 이영주·전평국, 1999), 수학적 추론 능력 평가에 관한 연구(김은희, 2002), 추론 능력 향상을 위한 프로그램 연구(안승학, 1999) 등이 주를 이루었다. 초등학생들의 추론 능력 실태의 분석은 유세희(2009)에 의해 수행되었으나 이 연구의 초점은 계열의 완성 유형의 귀납 추론능력의 실태를 분석하였다. 그러나 초등학생들을 대상으로 한 귀납적 추론 연구에서 효율적인 지도방법을 모색하기 위해서는 귀납적 추론과정이 진행되는 각 단계에서 학생들이 보이는 특징에 초점을 두어 학생들의 귀납적 추론 실태를 분석하거나 그 원인을 밝히는 연구는 미흡하다고 보여진다.
대상 데이터
- 본 연구는 전라북도 소재 2개의 초등학교, 30학급이상 규모의 대규모 학교와 12학급 규모의 중소규모 학교에서 각각 2학급, 총 4학급의 학생 93명을 연구대상으로 하였으나, 대부분의 문항에 대해 문제해결과정을 기술하지 않은 1명은 분석대상에서 제외하였다.
- 분석의 대상은 2009개정 교육과정 4학년 1, 2학기 교과서이며, 그 내용을 지도하기 위해 교과서에 제안된 활동이나 발문, 권고 가운데 귀납적 추론을 기반으로 하고 있는 내용을 모두 찾아 어떤 장면에서 귀납 추론을 활용하였는지를 다음의 과 에 학습내용으로 정리하였다.
성능/효과
- 1) 귀납적 추론능력의 판별 기준을 문제의 정답을 찾았는지의 여부가 아닌 문제해결의 과정에서 학생 스스로 규칙성을 찾아 문제를 해결하려고 시도하였는지에 초점을 맞추어 R은 여러 자료를 수집하여 이들의 공통성을 파악하고 규칙을 찾아 문제를 해결한 경우, N은 공통점이나 규칙을 찾으려고 시도하지 않고 문제를 해결한 경우로 구분하였다.
- 2) 수집된 자료들 사이의 공통성을 파악하여 문제를 해결하고자 시도했는지의 여부로 R 유형과 N의 유형으로 나누었으나 그 안에서도 서로 다른 경향을 보이는 학생들의 반응을 참고하여 R 유형은 R1, R2로 N 유형은 N1, N2로 각각 구분하였으며 구체적인 각 단계는와 같고 그에 대한 상세한 설명은 다음의3)∼5)에 기술한 바와 같다.
- 3) 미지수를 사용하여 식을 세우는 데 어려움이 있는 4학년 학생의 특성 상 미지수를 활용하지는 않았으나, 정확하게 자료를 수집하고 숫자를 사용하여 수식화하여 규칙을 찾아 문제를 해결한 반응은 R1의 사례로 분류하였다.
- 5) 문제를 이해하고 자료를 찾아 문제를 해결하는 데는 성공적이었으나 규칙을 발견하는데 초점을 두지 않고 단순 연산이나 조작활동(그림그리기, 수세기 등)을 통해 문제를 해결한 경우는 귀납적 추론을 통한 문제 해결이라고 볼 수 없다고 판단되어 N1유형에 포함시켰다. 그리고 규칙성에도 초점을 두지 않고 문제 자체를 이해하지 못하거나 응답하지 않은 경우를 N2유형으로 분류하였다.
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(6) 문항 6
6번 문항에서 귀납적 사고를 보인 경우는 총 20%로 규칙을 찾아 문제를 해결하기 보다는 직접 말을 100번 움직여 그림을 그리거나 점을 찍어가며 수를 세서 문제를 해결한 학생의 비율이 매우 높게 나타났다. 이 문제에서 특히 주목할 만한 것은 풀이과정을 특별히 제시하지 않고 답을 제시한 학생이 많았다는 것이다.
- 3번 문항은 6가지 문항 중 규칙성을 찾아 문제를 해결한 비율이 가장 높은 문제였다. 계산 결과에서의 공통점을 찾아 규칙성을 기술한 것 뿐 만 아니라 그 공통성이 발생되는 원인을 찾아 논리적인 추론을 보인 경우가 전체의 14.6%에 해당하였고, 규칙성을 발견하고자 시도한 학생을 포함하면 약 54%의 학생들이 귀납적 추론의 핵심활동인 규칙성을 찾으려한 것으로 나타났다. 이는 문항에 직접적으로 ‘그것들의 공통성을 찾아서’라는 지시를 하였으며 두 자리 수의 뺄셈문제로 다른 문항에 비해 계산과정이 어렵지 않아 학생들이 쉽게 접근한 것으로 보인다.
- 넷째, 학생들은 문제 이해 및 자료 수집의 단계에서 문제를 이해하지 못하거나 잘못된 자료를 수집하여 오류가 발생하였으며, 정확한 자료를 수집하였더라도 이를 일목요연하게 정리하지 못하여 그 규칙을 발견하지 못하는 특징이 있었다.
- 다섯째, 귀납적 추론의 가장 핵심적인 단계인 규칙성 추측 단계에서 학생들은 지나치게 많은 사례들을 일일이 확인하여 규칙을 발견하는 비효율적인 과정을 보였으며 그 과정이 학생들의 귀납적 추론에 도움이 되지 않았으며 오히려 계산과정의 실수나 정리과정의 실수 등으로 인해 사고를 방해하는 요인으로 작용하기도 하였다.
- 둘째, 귀납적 추론을 통해 문제를 해결한 비율은 문제의 유형에 따라 그 결과가 다르게 나타났다. 문항1과 4에서는 규칙성을 찾아 문제를 해결한 학생의 비율은 각각 7.
- 둘째, 학생들이 귀납적 추론을 하는 비율은 문항의 유형에 따라 달랐다. 문항 1, 4번과같이 사칙연산과 관련된 문항의 경우, 귀납적 추론을 시도한 비율이 7.
- 셋째, 교과서의 귀납적 추론지도는 문제해결전략으로서 귀납적 사고를 학생들 스스로 선택할 수 있는 기회를 제공하지 못하고 귀납적 추론을 유도한 일련의 문제들로 구성되어있으며 문제의 해만을 구하는데 그쳤다.
- 셋째, 문항 3번과 같이 문제에서 귀납적 추론을 할 수 있는 단서를 제시해주면 귀납적 추론을 하는 비율이 증가한다. 실제로 문항 3번에서 귀납적 추론을 한 비율은 53.
- 여섯째, 학생들은 일반화 및 문제해결 단계에서 자신이 발견한 규칙이 정확한 지 또한 일반성을 띄었는지 확인하는 과정을 거의 거치지 않았으며 몇 번의 사례 확인 과정 중 발견된 반례를 처리함에 있어서도 매우 미흡하였다.
- 이는 문항에 직접적으로 ‘그것들의 공통성을 찾아서’라는 지시를 하였으며 두 자리 수의 뺄셈문제로 다른 문항에 비해 계산과정이 어렵지 않아 학생들이 쉽게 접근한 것으로 보인다. 즉, 학생들은 스스로 귀납적 추론을 통해 문제를 해결하는 경향은 부족하지만 교사의 질문과 권고를 통해서도 충분히 귀납적 사고를 할 수 있는 기회를 제공받을 수 있으며 현행 수학교육과정에서 귀납적 추론을 익힐 수 있는 활동들이 부족하더라도 교사의 발문 또는 이를 강조하는 지도방법을 통해서도 귀납적 추론능력을향상시킬 수 있다는 것을 알 수 있다.
- 첫째, 문제 해결과정에서 귀납적 추론을 통해 변수사이의 관계를 일반화할 수 있는 규칙을 찾아 문제를 해결한 비율은 7.4%로 매우 낮았으며, 문제를 완전히 해결하지 못하였더라도 귀납적 추론을 시도한 학생의 비율도 31.15%로 대체적으로 낮게 나타났다.
- 첫째, 문제의 이해 단계에서 교사는 학생들이 문제의 조건을 모두 확인하는 태도를 길러주어야 한다. 문제에서 구해야 할 것과 주어진 조건이 무엇인지 찾는 것을 포함한다.
후속연구
- 첫째, 본 연구는 4학년 학생들의 문제해결과정에서 나타나는 귀납적 추론의 특징과 실태를 분석하였다. 그러나 귀납 추론은 단지 문제해결과정에만 나타나는 것이 아니라 학생들이 자신의 주장을 증명하는 방법의 일부로도 활용될 것이다. 이와 같이 초등학생에게 있어서 귀납적 추론이 활용될 수 있는 영역과 그 효과적인 활용방법에 대한연구도 필요하다고 생각된다.
- 둘째, 학생들의 개인적인 귀납적 추론 과정 각 단계에서의 부족한 부분을 도울 수 있는 정보를 얻기 위하여 학생들이 개인적인 귀납적 추론과정과 소그룹 문제해결활동으로 귀납적 추론 과정을 진행하면서 보이는 특징을 비교하는 연구가 필요하다고 생각된다.
- 셋째, 본 연구는 4학년 학생들의 귀납적 추론에 대하여만 논의하였으나 다른 학년 군으로 검사의 범위를 넓혀 각 학년에 따른 귀납적 추론능력의 실태와 특징에 대해 분석하고 효과적인 지도방법에 대해 논의해 볼 필요가 있을 것이다.
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