[논문]호텔링 T2의 이상신호 원인 식별

이성임

doi:10.5351/kjas.2018.31.6.811

초록
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호텔링 $T^2$ 통계량에 근거한 다변량 관리도는 공정의 이상상태를 식별하는 통계적 공정관리의 강력한 도구 중 하나이다. 다수의 품질 특성치를 동시에 모니터링하는데 사용된다. $T^2$ 관리도를 통해 이상신호가 탐지된다는 것은 평균 벡터의 변화가 있다는 것을 의미하게 된다. 그러나, 이러한 다변량 통계량의 신호는 이상신호에 대한 원인을 식별하기 어렵게 한다. 이 논문에서는 $T^2$ 통계량을 서로 독립인 항으로 분해한 Mason, Young, Tracy (MYT) 분해에 기반한 원인 식별 방법들을 살펴본다. 또한, R 소프트웨어를 사용하여 사례분석을 하고, 모의실험을 통해 각 절차의 성능을 비교 평가해보고자 한다.

Abstract ▼ AI-Helper

Multivariate control chart based on Hotelling's $T^2$ statistic is a powerful tool in statistical process control for identifying an out-of-control process. It is used to monitor multiple process characteristics simultaneously. Detection of the out-of-control signal with the $T^2$

Multivariate control chart based on Hotelling's $T^2$ statistic is a powerful tool in statistical process control for identifying an out-of-control process. It is used to monitor multiple process characteristics simultaneously. Detection of the out-of-control signal with the $T^2$ chart indicates mean vector shifts. However, these multivariate signals make it difficult to interpret the cause of the out-of-control signal. In this paper, we review methods of signal interpretation based on the Mason, Young, and Tracy (MYT) decomposition of the $T^2$ statistic. We also provide an example on how to implement it using R software and demonstrate simulation studies for comparing the performance of these methods.

주제어

표/그림 (6)

그림 Figure 3.1. R code for a phase II control chart based on the T² statistic.
그림 Figure 3.2. Output for the mult.chart function: the MYT decomposition of the T² statistic for an out-of-control observation.
표 Table 3.1. All possible MYT decompositions for an 18th observation which falls outside the upper control limit
표 Table 3.2. Summary of the individual T² statistics
$Table 3.3. Summary of all <TEX>$T^{2}_{ij}$</TEX>$ 표 Table 3.3. Summary of all $T^{2}_{ij}$
표 Table 4.1. Comparison of the percentages of correct identiﬁcation of the cause for out-of-control signals

AI 본문요약
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문제 정의

3) 등 25개 항에 대한 계산만으로 주된 이상신호의 원인을 좀 더 빠르게 탐지할 수 있음을 알 수 있었다. 또한 이상신호의 원인이 개별적인 변수의 변화에 기인한 것인지 아니면 변수들 간의 직선관계가 변한 것인지에 대한 정보를 알려준다. 이것은 T² 통계량이 변수들의 순서에 따라 개별적인 변수항과 조건부 항으로 모형선택의 변수선택과 비슷한 개념으로 주효과와 교호작용효과를 찾는 것과 비슷하다고 할 것이다.
본 연구에서는 이들 방법을 자세히 살펴보고, 실제 문제에서 어떻게 활용할 수 있는지 R을 활용한 사례분석을 통해 소개하고자 한다. 또한, 모의실험을 통해 각 절차의 특징을 비교해보고, 이상신호의 원인에 대한 추가 연구방향에 대해 고찰해 보기로 한다.
Murphy (1987) 또한 다변량 데이터에 대한 이단계 관리도에서 이상신호에 대한 원인이 되는 변수를 선택하는 절차를 선택하였는데, 이 또한 MYT 분해의 특별한 경우가 된다. 본 연구에서는 이들 방법을 자세히 살펴보고, 실제 문제에서 어떻게 활용할 수 있는지 R을 활용한 사례분석을 통해 소개하고자 한다. 또한, 모의실험을 통해 각 절차의 특징을 비교해보고, 이상신호의 원인에 대한 추가 연구방향에 대해 고찰해 보기로 한다.
이 절에서는 R 소프트웨어 MSQC 패키지를 사용해서 2절에서 소개한 이상신호의 원인을 탐지하는 절차를 소개하기로 한다. 예제 데이터로 MSQC 패키지에 있는 p = 5인 수질오염 데이터를 사용하기로 한다.
이번 절에서는 모의실험을 통해 이상신호의 원인을 찾기 위한 3가지 방법의 성능을 비교 평가해 보고자 한다. 이를 위한 모의실험 절차는 다음과 같다.

가설 설정

이를 위한 모의실험 절차는 다음과 같다. p = 3인 T² 관리도를 통해 평균벡터에 대한 이단계 모니터링을 가정하였다. 관리상태 하에서 품질 특성치는 다음을 가정한다.
p변량 데이터 XT = (x1, x2, . . . , xp)는 관리상태하에서 평균벡터가 µ = (µ1, µ2, . . . , µp)T이고, 공분산 행렬이 Σ = (σij )p×p인 다변량 정규분포를 따른다고 가정한다.
p = 3인 T² 관리도를 통해 평균벡터에 대한 이단계 모니터링을 가정하였다. 관리상태 하에서 품질 특성치는 다음을 가정한다.
즉, 새로운 데이터는 분산의 변화가 없고 첫 번째 변수 x1의 평균만 δ만큼 이동시켜, 호텔링 T2 통계량으로부터 이상신호가 발생하는 경우 이상신호의 원인은 첫 번째 변수의 평균이 변화한 것임을 가정한다.

제안 방법

즉, 새로운 데이터는 분산의 변화가 없고 첫 번째 변수 x₁의 평균만 δ만큼 이동시켜, 호텔링 T² 통계량으로부터 이상신호가 발생하는 경우 이상신호의 원인은 첫 번째 변수의 평균이 변화한 것임을 가정한다. 각 절차의 성능을 정의하기 위해 1,000개의 Y 관측치에 대해 첫 번째 변수의 이동을 탐지한 건수 즉, 각 절차의 원인 파악 비율을 계산한다. 이를 위해 각 방법에 대해 이상신호를 탐지한 경우는 다음과 같이 정의한다.
항을 계산한다. 이들로부터 통계적으로 유의미한 결과를 보여주는 (y_i, y_j , y_k)변수들의 조합을 제거하고, 나머지 변수들이 이상신호를 나타내는지 검토한다.

대상 데이터

이 절에서는 R 소프트웨어 MSQC 패키지를 사용해서 2절에서 소개한 이상신호의 원인을 탐지하는 절차를 소개하기로 한다. 예제 데이터로 MSQC 패키지에 있는 p = 5인 수질오염 데이터를 사용하기로 한다. 이것은 수질검사에서 측정된 5개의 변수(수소이온농도(pH), 인산염(mg/l), 질산염(mg/l), 용존산소 및 증발잔류물(mg/l))로 구성되어 있으며, water1과 water2로 두 개의 데이터집합이 주어졌다.

이론/모형

예를 들어, T2통계량에 대한 p개의 MYT 분해를 통해 살펴보면 각각의 성분 또한 F 분포를 따르게 되는데 , 모의실험에서 원인 식별을 위해 MYT 각 항에 대해 모두 유의수준 α 검정법을 사용하였다.

성능/효과

Murphy 방법의 경우 변수들 간 상관성이 큰 경우에는 δ = 3으로 평균변화가 큰 경우에도 검정비율이 작게 나타나는 것을 알 수 있다. 그러나 MYT 분해에 의한 방법은 검정비율이 99.8%로 거의 1에 가깝게 나타나 MYT 분해가 평균벡터의 변화를 민감하게 탐지할 것으로 기대된다. 다만 p가 큰 경우에는 이러한 MYT 분해를 계산하는 것이 복잡하기 때문에 MYT 방법처럼 간단한 절차를 쓰는 것도 꽤 유용함을 알 수 있다 (Table 4.
먼저, 변수들 간 상관정도에 관계없이 δ가 작은 경우세 가지 절차로부터 변수의 원인을 확인하는 검정력은 낮은 편이었다.
위 결과를 요약하면 18번째 데이터의 경우 수소, 이온농도, 질산염과 용존산소 및 증발잔류물 간의 관계가 water1 데이터집합에서 관측된 관계와 차이가 난다는 것을 의미한다. 즉, 각 품질특성치의 값이 변화했다기 보다는 y₃ 측정치를 제외하고 다른 변수들 간의 선형관계가 water1 데이터에서의 관계와 달라졌다는 것을 의미한다.
이 절차는 MYT 분해를 위해 80개 항을 계산하는 것을 대신하여, 1단계에서 5개의 항 (Table 3.2), 2단계에서 20개의 항 (Table 3.3) 등 25개 항에 대한 계산만으로 주된 이상신호의 원인을 좀 더 빠르게 탐지할 수 있음을 알 수 있었다. 또한 이상신호의 원인이 개별적인 변수의 변화에 기인한 것인지 아니면 변수들 간의 직선관계가 변한 것인지에 대한 정보를 알려준다.
이에 이상신호의 원인을 찾기 위한 변수 선택의 알고리즘이 제안되었는데, 모의실험을 통해 Murphy (1987)의 절차보다는 MYT 분해에 대한 간편절차가 원인 식별을 더 잘한다는 것을 알 수 있었다. 특히 Murphy의 절차가 변수들의 상관이 높은 경우 원인 식별 능력이 떨어진다는 것을 알 수 있었다. 그러나 이것은 제한된 모의실험의 결과로써 이에 대한 추가 연구가 필요할 것이다.

후속연구

특히 Murphy의 절차가 변수들의 상관이 높은 경우 원인 식별 능력이 떨어진다는 것을 알 수 있었다. 그러나 이것은 제한된 모의실험의 결과로써 이에 대한 추가 연구가 필요할 것이다. 예를 들어, T²통계량에 대한 p개의 MYT 분해를 통해 살펴보면 각각의 성분 또한 F 분포를 따르게 되는데 , 모의실험에서 원인 식별을 위해 MYT 각 항에 대해 모두 유의수준 α 검정법을 사용하였다.
이상신호의 원인식별을 위해서는 전체 관측치에 대한 T² 통계량이 통계적으로 유의하게 큰 관측치에 대해서만 살펴보기 때문에, MYT 항에 대한 조건부 통계량의 확률분포를 알아보는 등 이에 대한 좀 더 정확한 근사가 필요하다는 것을 알 수 있다. 이에 앞으로의 다변량 관리도 연구에서는 이상신호 발생 후 그 원인이 되는 변수를 식별하기 위한 검정절차를 동시에 모니터링할 수 있는 방안에 대해 추가로 연구할 필요가 있을 것이다.

참고문헌 (18)

Alt, F. B. (1985). Multivariate quality control, In Kotz, S., Johnson, N. L., Read, C.R. (eds.) Encyclopedia of Statistical Sciences, 6, 111-122.
Doganaksoy, N., Faltin, F. W., and Tucker, W. T. (1991). Identification of out-of-control multivariate characteristic in a multivariable manufacturing environment, Communications in Statistics - Theory and Methods, 20, 2775-2790.

상세보기
Hayter, A. J. and Tsui, K. L. (1994). Identification and quantification in multivariate quality control problems, Journal of Quality Technology, 26, 197-208.

상세보기
Hotelling, H. (1947). Multivariate Quality Control, Techniques of Statistical Analysis, Eisenhart, Hastay, and Wallis (eds), McGraw-Hill, New York.
Jackson, J. E. (1991). A User's Guide to Principal Components, John Wiley & Sons, New York.
Kenett, R. S. and Halevy, A. (1984). Some statistical aspects of quality conformance inspection in military specifications documents, Proceedings of the 5th International Conference of the Israeli Society for Quality Assurance, Tel Aviv, 23-35.
Kourti, T. and MacGregor, J. F. (1996). Multivariate SPC methods for process and product monitoring, Journal of Quality Technology, 28, 409-428.

상세보기
Lee, S. (2015). Effects of parameter estimation in phase I on phase II control limits for monitoring autocorrelated data, The Korean Journal of Applied Statistics, 28, 1025-1034.

원문보기 상세보기
Lee, S. (2018). Notes on identifying source of out-of-control signals in phase II multivariate process monitoring, The Korean Journal of Applied Statistics, 31, 1-12.

원문보기 상세보기
Lim, J. and Lee, S. (2017). Phase II monitoring of changes in mean from high-dimensional data, Applied Stochastic Models in Business and Industry, 33, 626-639.

상세보기
Mason, R. L., Tracy, N. D., and Young, J. C. (1995). Decomposition of $T^2$ for multivariate control chart interpretation, Journal of Quality Technology, 27, 99-108.

상세보기
Mason, R. L., Tracy, N. D., and Young, J. C. (1997). A practical approach for interpreting multivariate $T^2$ control chart, Journal of Quality Technology, 29, 396-406.

상세보기
Mason, R. L. and Young, J. C. (1999). Improving the sensitivity of the 62 statistic in multivariate process control, Journal of Quality Technology, 31, 155-165.

상세보기
Montgomery, D. C. (2005). Introduction to Statistical Quality Control (5th ed), John Wiley & Sons, New York.
Murphy, B. J. (1987). Selecting out-of-control variables with 62 multivariate quality procedures, The Statistician, 36, 571-583.

상세보기
Shewhart, W. A. (1926). Quality control charts, Bell System Technical Journal, 2, 593-603.
Timm, N. H. (1996). Multivariate quality control using finite intersection tests, Journal of Quality Technology, 28, 233-243.

상세보기
Woodall, W. H. and Montgomery, D. C. (1999). Research issues and ideas in statistical process control, Journal of Quality Technology, 31, 376-385.

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