[논문]일반화된 Hoek-Brown 파괴조건식에 내포된 전단강도 근사식

이연규

doi:10.7474/tus.2018.28.5.426

일반화된 Hoek-Brown 파괴조건식에 내포된 전단강도 근사식
Approximate Shear Strength Formula Implied in the Generalized Hoek-Brown Failure Criterion 원문보기

터널과 지하공간: 한국암반공학회지 = Tunnel and underground space, v.28 no.5, 2018년, pp.426 - 441

초록
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일반화된 Hoek-Brown (GHB) 파괴조건식은 최근 각종 암반공학적 계산에 활발히 이용되고 있지만 Mohr 파괴포락선이 해석적 수식으로 표시되지 않아 적용범위를 넓히는데 어려움이 있다. 이러한 단점을 극복하기 위해 이 연구에서는 GHB 파괴함수에 내포된 수직응력 - 접선마찰각 관계식을 다항식으로 최적 근사시켜 접선마찰각을 수직응력의 명시적 근사함수로 표시하는 새로운 방법을 제안하였다. 이 수직응력 - 접선마찰각 관계식을 직선 또는 2차 다항식으로 최적 근사시킬 경우 접선마찰각에 대한 해석적 해가 존재한다. 이 해를 전단응력 - 접선마찰각 관계식에 대입하면 GHB 파괴함수의 근사적 Mohr 파괴 포락선을 유도하는 것이 가능하다. 유도한 근사 Mohr 파괴포락선은 GSI 값 전체 범위에서 정해와 매우 근사함이 입증되었다.

Abstract ▼ AI-Helper

Recently, the generalized Hoek-Brown (GHB) failure criterion has been actively employed in various rock engineering calculations, but the analytical form of the corresponding Mohr failure envelope is not available, making it difficult to extend the application of the GHB criterion. In order to overcome this disadvantage, this study proposes a new method to express the tangential friction angle as an explicit function of normal stress by invoking the polynomial best-fitting to the relationship between normal stress and tangent friction angle implied in the GHB failure function. If this normal stress - tangential friction angle relationship is best-fitted with linear or quadratic polynomial function, it is possible to find the analytical root for tangential friction angle. Subsequently, incorporating the root into the relationship between shear stress and tangential friction angle accomplishes the derivation of the approximate Mohr envelope for the GHB criterion. It is demonstrated that the derived approximate Mohr failure envelopes are very accurate in the entire range of GSI value.

주제어

표/그림 (7)

그림 Fig. 1. Mohr envelopes of the GHB criterion in (a) σ-τ space (after Hoek et al., 2002) and (b) P- Q space (after, Rojat et al., 2015)
그림 Fig. 2. Plots of the function H(x) with different GSI values
그림 Fig. 3. Plots of the function H(x), Ĥ₁(x) and Ĥ₂(x) for GSI = 80.
그림 Fig. 4. Performance of Mohr envelopes based on the linear best-fitting of H(x) for m_i = 10 and D = 0: (a) comparison with the exact envelopes and (b) prediction errors
그림 Fig. 5. Performance of Mohr envelopes based on the linear best-fitting of H(x) for m_i = 15 and D = 0: (a) comparison with the exact envelopes and (b) prediction errors
그림 Fig. 6. Performance of Mohr envelopes based on the 2^nd order polynomial best-fitting of H(x) for m_i = 10 and D = 0: (a) comparison with the exact envelopes and (b) prediction errors
그림 Fig. 7. Performance of Mohr envelopes based on the 2^nd order polynomial best-fitting of H(x) for m_i = 15 and D = 0: (a) comparison with the exact envelopes and (b) prediction errors

AI 본문요약
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제안 방법

그러나 파괴면의 전단강도를 파괴면에 작용하는 수직응력의 명시적 함수 즉, Mohr 파괴포락선을 해석적 수식으로 표시할 수 없다는 점이 GHB 파괴함수의 적용범위 확대를 제약하는 주요 요인이 되고 있다. GHB 파괴함수가 갖는 이러한 한계를 극복하기 위하여 이 연구에서는 임의의 비선형 연속함수를 다항함수(polynomial function)로 최적 근사시키는 수학적 기법을 도입하여 GHB 파괴함수의 근사 Mohr 파괴포락선을 유도하는 새로운 접근법을 제시하였고 그 정확성을 검증하였다.
이 연구에서는 Lee & Pietruszczak(2017, 2018b)의 연구에서 제안된 GHB 파괴조건식의 근사 Mohr 포락선 유도과정을 바탕으로 이전의 경우와 다른 접근법을 통해 근사 Mohr 포락선식을 유도하는 과정이 제안되었고, 유도된 근사 Mohr 파괴포락선의 정 밀성에 대한 정략적인 평가가 이루어졌다. 또한 무차원 수직응력–접선마찰각 관계식의 1차 다항식 및 2차 다항식 최적근사를 기반으로 유도된 근사 Mohr 파괴포락선을 수치해석적으로 구한 Mohr 파괴포락선 정해와 비교함으로써 1차 다항식 최적근사법에 대한 2차 다항식 최적근사 방법의 상대적 우수성을 정량적으로 검증하였다.
또한 무차원 수직응력–접선마찰각 관계식의 1차 다항식 및 2차 다항식 최적근사를 기반으로 유도된 근사 Mohr 파괴포락선을 수치해석적으로 구한 Mohr 파괴포락선 정해와 비교함으로써 1차 다항식 최적근사법에 대한 2차 다항식 최적근사 방법의 상대적 우수성을 정량적으로 검증하였다. 제안된 근사 Mohr 포락선의 유도와 관련된 아이디어는 Lee & Pietruszczak(2018a)에 의해 처음 제시되었으나, 이 연구를 통해 구체적인 해석적 수식화 및 검증이 이루어졌다. 한편, Taylor 다항함수 근사법보다 발전된 형태인 다항식 최적화 근사법을 적용하였으며 Balmer의 파괴포락선 관계식(Balmer, 1952)에 근거하지 않았다는 측면에서 이 연구는 Lee & Pietruszczak(2018b) 및 Lee & Pietruszczak(2017)의 연구와 차별성을 보인다.

데이터처리

3절에서 유도한 근사 GHB Mohr 파괴포락선식 (31)의 신뢰성을 검증하기 위하여 식 (31)로 계산한 전단강도를 정해(exact solution)와 비교하였다. 여기서 정해는 식 (10)의 해 x를 수치해석적으로 직접 구한 다음 이를 식 (31)에 대입하여 계산한 전단강도를 의미한다.

이론/모형

Rojat et al. (2015)이 제안한 수직응력 변환관계식
이 연구에서는 식 (12)로 주어진 함수 H(x)를 구간 0≤x≤1에서 1차 또는 2차 다항식으로 최적 근사시킨 후 이 근사 다항식을 이용하여 GHB 파괴조건식의 Mohr 파괴포락선을 근사적으로 표현하는 방법이 시도되었다. H(x)를 1차 또는 2차 다항식으로 근사시킬 경우 식 (10)은 해석적 근(root)이 존재하는 x에 대한 2차 또는 3차 방정식이 된다.
제안된 근사 Mohr 포락선의 유도와 관련된 아이디어는 Lee & Pietruszczak(2018a)에 의해 처음 제시되었으나, 이 연구를 통해 구체적인 해석적 수식화 및 검증이 이루어졌다. 한편, Taylor 다항함수 근사법보다 발전된 형태인 다항식 최적화 근사법을 적용하였으며 Balmer의 파괴포락선 관계식(Balmer, 1952)에 근거하지 않았다는 측면에서 이 연구는 Lee & Pietruszczak(2018b) 및 Lee & Pietruszczak(2017)의 연구와 차별성을 보인다.

성능/효과

1. 무차원 GHB 파괴조건식에 내포된 수직응력-접선마찰각 관계곡선은 0 ≤ sinφ_i ≤ 1 범위에서 곡률이 매우 작은 부드러운 곡선이므로 이 곡선을 1차 혹은 2차 다항식으로 최적 근사시킬 수 있음을 확인하였다.
4. 1차 및 2차 다항식 최적 근사를 기반으로 유도한 근사 Mohr 파괴포락선은 GSI 값 전 범위에서 정해와 매우 근사하다는 것이 확인되었다. 특히 2차 다항식 최적 근사를 기반으로 유도한 근사 Mohr 파괴포락선은 정해와 구분이 힘들 정도의 근사성을 보여 주었다.
2. 수직응력-접선마찰각 관계곡선을 1차 혹은 2차 다항식으로 최적 근사시킬 경우 접선마찰각을 수직응력의 명시적 함수로 표시할 수 있으며 그 결과를 전단응력 – 접선마찰각 관계식에 대입함으로써 근사적 GHB Mohr 파괴포락선을 유도하는 새로운 Mohr 파괴포락선 유도방법이 개발되었다.
3. m_i = 10, 15, D = 0 인 경우, 1차 다항식 최적 근사를 기반으로 유도한 Mohr 파괴포락선의 전단강도 예측오차는 일축압축강도보다 작은 압축 수직응력의 범위에서 1.45% 이내였으나, 2차 다항식 최적 근사를 기반으로 한 경우는 0.25% 이내로 전단강도 예측 성능이 대폭 개선됨을 확인하였다.
여기에서는 mi = 10, D = 0을 가정하였고, 5가지 GSI 값 즉, 20, 40, 60, 80, 100이 고려되었다. 검증에서 고려한 전체 GSI 값에 대해 수직응력 범위 0≤ σ/σ_ci ≤ 1에서 근사 Mohr 파괴포락선식으로 예측한 전단강도는 1.45% 오차 이내로 정해에 매우 근사함을 잘 보여준다. Fig.
이 연구에서는 Lee & Pietruszczak(2017, 2018b)의 연구에서 제안된 GHB 파괴조건식의 근사 Mohr 포락선 유도과정을 바탕으로 이전의 경우와 다른 접근법을 통해 근사 Mohr 포락선식을 유도하는 과정이 제안되었고, 유도된 근사 Mohr 파괴포락선의 정 밀성에 대한 정략적인 평가가 이루어졌다. 또한 무차원 수직응력–접선마찰각 관계식의 1차 다항식 및 2차 다항식 최적근사를 기반으로 유도된 근사 Mohr 파괴포락선을 수치해석적으로 구한 Mohr 파괴포락선 정해와 비교함으로써 1차 다항식 최적근사법에 대한 2차 다항식 최적근사 방법의 상대적 우수성을 정량적으로 검증하였다. 제안된 근사 Mohr 포락선의 유도와 관련된 아이디어는 Lee & Pietruszczak(2018a)에 의해 처음 제시되었으나, 이 연구를 통해 구체적인 해석적 수식화 및 검증이 이루어졌다.
이상의 검증결과는 이 연구에서 유도한 해석적 근사 Mohr 파괴포락선식이 암반의 양호도와 암반 강도지수 값의 크기에 상관없이 정해에 매우 근사한 전단강도값을 계산한다는 사실을 확인시켜준다.

후속연구

5. 이 연구에서 개발된 근사 Mohr 파괴포락선은 GHB 파괴조건을 따르는 암반의 한계해석, 한계평형해석, 암반블록의 비선형 미끄러짐 해석 등에 활용이 가능하므로 이 연구결과는 GHB 파괴함수의 적용범위를 확대시키는 데 크게 기여할 것으로 예상된다.
암반공학 및 지반공학 구조물의 안정성 평가에 널리 활용되는 한계평형해석법(limit equilibrium analysis, Wyllie & Mah, 2004)과 한계해석법 등을 포함한 여러 수치해석 기법들이 명시적 Mohr 파괴포락선식의 존재를 전제로 하고 있음을 고려할 때 GHB 식의 해석적 Mohr 파괴포락선식이 제시될 경우 GHB 파괴함수의 적용범위를 대폭 넓힐 수 있을 것으로 기대된다. 또한 GHB 식의 Mohr 파괴포락선식은 사면이나 터널 주변에서 암반블록이 활동할 가능성을 판단하는 절리면 비선형 전단강도식으로 활용될 수도 있다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	H-B 식이란?	특히 H-B 식은 무결암과 절리암반에 모두 적용 가능한 비선형 파괴조건식이며 최근 암반의 표준 파괴함수의 하나로 간주되고 있다. 파괴 시 최대주응력(σ1)과 최소주응력(σ3)의 관계를 정의하는 H-B 식은 1980년 처음 제안된 이래로 꾸준한 개정과정을 거쳐 가장 최신의 형태인 일반화된 H-B(Generalized H-B, GHB) 식으로 발전하였다(Hoek et al.
	다항함수로 최적 근사시키는 수학적 기법은 어떤 한계를 극복하기 위해 도입 되었는가?	구속압의 증가에 따른 파괴강도 증가의 비선형성을 잘 반영한다는 점과 GSI 지수를 이용하여 무결암의 강도를 현장 암반의 강도로 보정하는 체계적인 방법을 제공한다는 측면에서 GHB 파괴함수는 현장 적용성이 뛰어난 파괴함수로 평가받고 있다. 그러나 파괴면의 전단강도를 파괴면에 작용하는 수직응력의 명시적 함수 즉, Mohr 파괴포락선을 해석적 수식으로 표시할 수 없다는 점이 GHB 파괴함수의 적용범위 확대를 제약하는 주요 요인이 되고 있다. GHB 파괴함수가 갖는 이러한 한계를 극복하기 위하여 이 연구에서는 임의의 비선형 연속함수를 다항함수(polynomial function)로 최적 근사시키는 수학적 기법을 도입하여 GHB 파괴함수의 근사 Mohr 파괴포락선을 유도하는 새로운 접근법을 제시하였고 그 정확성을 검증하였다.
	GHB 파괴함수가 현장 적용성이 뛰어난 파괴함수로 평가받고 있는 이유는?	GHB 암반파괴조건식은 암반공학적 적용을 목적으로 개발된 비선형 함수로서 최근 암반의 표준 파괴조건식으로 자리잡아가고 있다. 구속압의 증가에 따른 파괴강도 증가의 비선형성을 잘 반영한다는 점과 GSI 지수를 이용하여 무결암의 강도를 현장 암반의 강도로 보정하는 체계적인 방법을 제공한다는 측면에서 GHB 파괴함수는 현장 적용성이 뛰어난 파괴함수로 평가받고 있다. 그러나 파괴면의 전단강도를 파괴면에 작용하는 수직응력의 명시적 함수 즉, Mohr 파괴포락선을 해석적 수식으로 표시할 수 없다는 점이 GHB 파괴함수의 적용범위 확대를 제약하는 주요 요인이 되고 있다.

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표제어: PCR

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용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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