[논문]강한 불연속을 포함한 유한요소를 이용한 균열의 삼차원 해석

김종헌

강한 불연속을 포함한 유한요소를 이용한 균열의 삼차원 해석
3D Analysis of Cracking Using Finite Elements Involving Strong Discontinuities 원문보기

전산 구조 공학 = Journal of the Computational Structural Engineering Institute of Korea, v.31 no.3, 2018년, pp.23 - 30

김종헌 (한국철도기술연구원 첨담궤도토목본부)

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문제 정의

본 원고에서는 균열의 삼차원 해석을 위한 유한요소 기법으로서 강한 불연속 접근법, 일반 유한요소법, 다중 스케일 일반 유한요소법을 소개하였다. 또한 점성 균열 전파 문제의 수치 해석 예제를 통하여 이들의 유효성과 서로간의 장단점을 예증하였다.
이에 해당하는 대표적인 기법에는 강한 불연속 접근법(strong discontinuity approach, SDA)(Simo et al, 1993)과 일반 유한요소법(generalized finite element method, GFEM)(Babuska & Melenk, 1997)이 있으며, 이러한 기법들은 기존의 응집 영역 모델과 비교하여 불연속 면전파의 기하학적 표현이 자유로우며 망 독립적인 해를 얻을 수 있다는 장점이 있다. 이에 본 원고에서는 강한 불연속 접근법과 일반 유한요소법의 이론과 이 기법들을 이용하여 균열 전파 문제를 해석한 예제를 소개한다.

가설 설정

이 시험의 특징은 Mode I 형태의 균열이 지배적이라는 것이며 균열의 경로를 미리 알고 있는 경우에 해당한다. 따라서 일반 유한요소법의 경우 예상 경로를 따라 불연속 면을 미리 삽입하고 노치에 대해서만 트랙션이 발생하지 않는다고 가정하여 모델링하였다. 이와 달리 강한 불연속 접근법의 경우 균열 경로에 대한 이러한 선험적 정보를 사용하지 않고 오직 현재 하중 단계에서의 해의 분포를 분석함으로써 다음 하중 단계에서의 균열의 전파를 예측하였다.
이와 달리 강한 불연속 접근법의 경우 균열 경로에 대한 이러한 선험적 정보를 사용하지 않고 오직 현재 하중 단계에서의 해의 분포를 분석함으로써 다음 하중 단계에서의 균열의 전파를 예측하였다. 이를 위하여 균열의 생성(initiation)과 방향(direction)에 대한 판단 기준(failure criterion)이 필요하며, 본 예제에서는 최대 주응력(maximum principal stress)이 재료의 인장 강도에 도달할 때 균열이 생성되고 이 때 균열의 방향은 최대 주응력 방향과 직각을 이룬다고 가정하였다.
Petersson(1981)이 수행한 실험 에서 사용한 것과 동일한 크기의 시편에 대하여 모델링하였으며 그림 5에 시편의 형상과 경계 조건을 나타내었다. 콘크리트 시편의 재료 성질은 선형 탄성과 이선형(bilinear) 응집 법칙(Park et al., 2008)으로 가정하였으며 세부적인 물성치는 생략한다. 모델링에 사용한 요소의 종류는 강한 불연속 접근법의 경우 8절점 육면체 요소, 일반 유한요소법의 경우 4절점 사면체 요소이다.

제안 방법

1) 주어진 문제를 전체 문제(global problem)로 정의하고 이 전체 문제를 성긴 요소망(coarse mesh)과 저차의 형상 함수를 사용하여 해석한다.
2) 균열 근처와 같이 해가 상대적으로 작은 스케일에 지배받고 보다 상세한 해석이 요구되는 영역을 추출하여 국부 문제(local problem)로 정의한 후 이를 미세 요소망(fine mesh)과 고차의 형상 함수를 사용하여 해석한다. 이 때 1)에서 구한 해를 국부 문제의 경계 조건으로 사용한다.
3) 1)에서 사용한 성긴 요소망과 2)에서 구한 국부 문제의 수치적 해를 이용하여 생성한 확장 함수를 사용하여 전체 문제를 다시 해석한다. 이 때 삼차원 해석의 경우라 하더라도 각 절점 당 단 3개의 추가적인 자유도만이 필요하며, 이를 통하여 국부 문제와 중복되는 영역에 대해서도 성긴 요소망과 저차의 형상 함수만으로 해석의 정확도를 높일 수 있다.
본 원고에서는 균열의 삼차원 해석을 위한 유한요소 기법으로서 강한 불연속 접근법, 일반 유한요소법, 다중 스케일 일반 유한요소법을 소개하였다. 또한 점성 균열 전파 문제의 수치 해석 예제를 통하여 이들의 유효성과 서로간의 장단점을 예증하였다. 이 기법들은 모두 강한 불연속을 요소의 내부에 직접 내장함으로써 불연속 면의 전파가 자유로우며 망 독립적인 해를 얻을 수 있다는 장점이 있으며, 이들을 보완 및 개선하여 보다 정확하고 효율적인 수치 해석 기법을 개발하고자 관련 연구가 현재 활발히 진행 중이다.
따라서 일반 유한요소법의 경우 예상 경로를 따라 불연속 면을 미리 삽입하고 노치에 대해서만 트랙션이 발생하지 않는다고 가정하여 모델링하였다. 이와 달리 강한 불연속 접근법의 경우 균열 경로에 대한 이러한 선험적 정보를 사용하지 않고 오직 현재 하중 단계에서의 해의 분포를 분석함으로써 다음 하중 단계에서의 균열의 전파를 예측하였다. 이를 위하여 균열의 생성(initiation)과 방향(direction)에 대한 판단 기준(failure criterion)이 필요하며, 본 예제에서는 최대 주응력(maximum principal stress)이 재료의 인장 강도에 도달할 때 균열이 생성되고 이 때 균열의 방향은 최대 주응력 방향과 직각을 이룬다고 가정하였다.

데이터처리

그림 8은 전체 시스템의 종합적인 응답으로서 하중-변위 곡선을 나타내고 있다. 2~4장에서 소개한 기법들을 이용하여 얻은 수치 해석 결과를 실험 결과와 비교 검증하였으며, 특히 서로 다른 기법들을 사용하여 얻은 수치 해석 결과들 사이에 차이가 미미한 것을 알 수 있다. 그러나 이러한 결과는 차례대로 7,254, 17,928, 2,133개의 서로 상이한 자유도를 사용하여 얻은 결과이다.

이론/모형

본 장에서는 2~4장에서 소개한 기법들을 이용한 균열 전파 문제의 삼차원 해석 예제를 소개한다. 고전적인 평가 기준(benchmark) 문제 중 하나인 삼점 굽힘 시험(three-point bending test)을 선택하였다. Petersson(1981)이 수행한 실험 에서 사용한 것과 동일한 크기의 시편에 대하여 모델링하였으며 그림 5에 시편의 형상과 경계 조건을 나타내었다.
먼저 n번째 하중 단계에서 구한 전체 문제의 해를 n+1번째 하중 단계에서 국부 문제의 경계 조건으로 사용한다. 이어서 이 국부 문제에 대하여 보통의 일반 유한요소법(hp-GFEM)을 이용하여 비선형 해석을 수행하고 국부 문제의 해를 전체 문제의 확장 함수와 손상 정보로 사용한다. 마지막으로 n+1번째 하중 단계에서의 전체 문제에 대하여 선형 해석을 수행하여 최종적인 해를 구한다.

성능/효과

따라서 식 (2)를 통하여 트랙션 벡터 τ_r 와 관련된 국부(local) 자유도를 응력 텐서 σ와 관련된 전체(global) 자유도의 함수로 표현할 수 있으며, 특히 이 식은 각각의 요소 내부 Ω_E에서 독립적으로 성립하기 때문에 국부 자유도를 요소 단계에서 소거할 수 있다. 결국 강한 불연속을 포함하지 않은 원래의 문제와 비교하여 전체 시스템의 자유도 수와 연결성을 보존할 수 있으며 이러한 수치적 효율성으로 인하여 자유도가 큰 삼차원 문제를 해석하기 위한 방법으로 적합하다.
이 방법은 강한 불연속을 국부적(local)으로 다루며 관련된 수학적 물리량을 각각의 요소에서 독립적으로 정의한다. 따라서 강한 불연속의 표현을 위해 추가적으로 필요한 자유도(degrees of freedom)를 각각의 요소 내부에서 소거함으로써 전체 시스템(global system)의 자유도를 보존할 수 있으며, 이러한 장점으로 인해 자유도가 큰 대규모 시스템의 해석 방법으로 적합하다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	유한요소법(finite element method)은 무엇인가?	균열이 발생하는 좁은 구역은 수학적으로 변위장에서의 불연속, 또는 강한 불연속(strong discontinuity)으로 모델링할 수 있다. 또한 유한요소법(finite element method)은 오늘날 공학 분야에서 가장 널리 사용되는 수치 해석 기법 중 하나로서 이를 이용하여 강한 불연속을 모델링하고 효과적으로 균열을 해석할 수 있다. 이 중 비교적 초창기에 개발된 기법으로는 응집 영역 모델(cohesive zone model)이 대표적이다(Needleman, 1987).
	토목 구조물과 같은 거대 시스템에서 종종 관찰되는 균열은 어떤 문제를 야기할 수 있는가?	토목 구조물과 같은 거대 시스템에서 종종 관찰되는 균열은 주로 국부적인 영역에 국한하여 발생함에도 불구하고 전체 구조물의 수명을 단축시키고 예기치 않은 붕괴를 야기할 수 있다. 일반적으로 실험과(experimental) 해석적인(analytical) 방법을 통하여 균열 문제를 모델링 하는 데에는 한계가 있으며, 따라서 균열의 발생과 성장에 대한 정확하고 효율적인 수치적(numerical) 모사는 설계 과정에서 필수적인 요소 중 하나이다.
	응집 영역 모델(cohesive zone model) 방법의 기본 아이디어는 무엇인가?	이 중 비교적 초창기에 개발된 기법으로는 응집 영역 모델(cohesive zone model)이 대표적이다(Needleman, 1987). 이 방법의 기본 아이디어는 요소의 경계면에 소위 응집 요소(cohesive element)라 불리는 새로운 요소를 삽입하여 강한 불연속을 모델링하고 연화(softening)에 의한 에너지 소산(dissipation)을 표현하는 것이다. 그러나 이 방법에서는 강한 불연속의 경로가 요소의 경계면에 국한되기 때문에 상응하는 해는 요소망에 의존적(mesh dependent)이며, 따라서 적응적 세분화(adaptive refinement)를 추가적으로 수행하여야 하는 단점이 있다.

참고문헌 (16)

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Petersson, P. E. (1981) Crack growth and development of fracture zones in plain concrete and similar materials, Report No TVBM-1006, Division of Building Materials, University of Lund, Sweden.

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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