[논문]비정상 자기회귀모형에서의 벌점화 추정 기법에 대한 연구

나옥경

doi:10.5351/kjas.2019.32.6.909

초록
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벌점화 추정 기법 중 adaptive LASSO 방법은 모형 선택과 모수 추정을 동시에 할 수 있는 유명한 방법으로 이미 정상 자기회귀모형에서 연구된 적이 있다. 본 논문에서는 이를 확장하여 확률보행과정과 같은 비정상 자기회귀모형에서 adaptive LASSO 추정량이 갖는 성질을 모의실험을 통해 연구하였다. 다만 비정상 자기회귀모형에서는 단위근의 존재 여부를 판단하는 것과 모형의 차수를 선택하는 것이 가장 중요하므로, 이를 위해 원 자기회귀모형이 아닌 ADF 검정에서 고려하는 회귀모형으로 변환하여 adaptive LASSO를 적용하였다. 일반적으로 Adaptive LASSO를 적용할 때 조절모수의 선택이 가장 중요한 문제이며, 본 논문에서는 교차검증, AIC, BIC 세 가지 방법을 이용하여 조절모수를 선택하였다. 모의실험 결과를 보면, 이 중에서 BIC가 최소가 되도록 선택한 조절모수에 대응되는 adaptive LASSO 추정량이 단위근의 존재 여부를 잘 판단할 뿐만 아니라 자기회귀모형의 차수 또한 비교적 정확하게 선택함을 확인할 수 있다.

Abstract ▼ AI-Helper

In this paper, we study the adaptive least absolute shrinkage and selection operator (LASSO) for the unstable autoregressive (AR) model. To identify the existence of the unit root, we apply the adaptive LASSO to the augmented Dickey-Fuller regression model, not the original AR model. We illustrate o...

In this paper, we study the adaptive least absolute shrinkage and selection operator (LASSO) for the unstable autoregressive (AR) model. To identify the existence of the unit root, we apply the adaptive LASSO to the augmented Dickey-Fuller regression model, not the original AR model. We illustrate our method with simulations and a real data analysis. Simulation results show that the adaptive LASSO obtained by minimizing the Bayesian information criterion selects the order of the autoregressive model as well as the degree of differencing with high accuracy.

주제어

표/그림 (8)

그림 Figure 3.1. Model identification accuracy (MIA₀: d = 0 (left), d = 1 (right)).
그림 Figure 3.2. Mean squared error of estimator (MSE₀: d = 0 (left), d = 1 (right)).
그림 Figure 3.3. Model identification accuracy (MIA_s, s = C, A, B, H, K).
그림 Figure 3.4. Mean squared error of estimator (MSE_s, s = C, A, B, H, K).
그림 Figure 3.5. Unit-root identification accuracy (UIA_s, upper) and order selection accuracy (OSA_s, lower).
$Figure 3.6. Box plots of <TEX>$\lambda_{r}^{s}$</TEX> (s = C, A, B).$ 그림 Figure 3.6. Box plots of $\lambda_{r}^{s}$ (s = C, A, B).
그림 Figure 3.7. Proportion of unit-root.
그림 Figure 3.8. Time series plot and Path of adaptive LASSO coeﬃcients.

AI 본문요약
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문제 정의

본 논문은 기존의 연구 결과에서 보듯이 정상성을 만족하는 시계열 모형에 국한되어 개발 연구되었던 adaptive LASSO 방법을 비정상 자기회귀모형으로 확장 연구한 것이다. 자기회기모형을 적합시키는 전통적인 절차가 단위근 검정을 통한 시계열의 정상성 판단, 정상화 변환을 거친 시계열에 대한 모형의 차수 선택, 모수 추정 및 진단의 3단계로 이루어진 것에 비해 본 논문에서 제안한 방법은 ADF 검정에서 사용하는 회귀모형에 adaptive LASSO 기법을 적용하여 모수를 추정하는 것으로 단위근 존재 여부와 차수 선택, 모수 추정을 동시에 자동으로 할 수 있다는 장점을 가지고 있다.
본 연구에서는 벌점화 기법 중 adaptive LASSO 방법을 정상 자기회귀모형뿐만 아니라 단위근이 존재하는 비정상 자기회귀모형까지 확대하여 적용하고자 한다. 현실적으로 2개 이상의 단위근을 갖는 경우는 많지 않으며, 상당수의 시계열 자료들은 한 번만 차분하여도 증가하거나 감소하는 경향을 제거하여 정상시계열로 만들 수 있다.

제안 방법

현실적으로 2개 이상의 단위근을 갖는 경우는 많지 않으며, 상당수의 시계열 자료들은 한 번만 차분하여도 증가하거나 감소하는 경향을 제거하여 정상시계열로 만들 수 있다. 그러므로 본 연구에서는 정상 자기회귀모형이나 확률보행과정처럼 단위근의 개수가 기껏해야 1개인 자기회귀모형을 중점적으로 다룬다. 본 연구에서는 단위근의 개수 결정과 정상 자기회모형의 선택 및 모수 추정 추정을 각각 따로 수행하지 않고, 동시에 수행하기 위해 식 (1.
마지막으로 단위근 존재 여부를 판단하는 정확성에 대해 좀 더 알아보기 위하여 1차 자기회귀모형의 계수를 다양하게 변화해가면서 모의실험을 수행하였다. 모의실험에서 고려한 모형의 구체적인 형태는 다음과 같다:
먼저 adaptive LASSO 추정량의 성질을 알아보기 위하여 8개의 자기회귀모형을 고려하였다:
본 모의실험에서는 adaptive LASSO 방법과 기존의 방법을 비교하기 위하여 8개의 자기회귀모형에 대해 추가로 Hyndman과 Khandakar (2008)이 제안한 절차에 따라 각각 자기회귀모형을 적합시켰다. 본 연구에서는 차분 차수가 1 이하인 자기회귀모형만을 다루고 있으므로, Hyndman과 Khandakar(2008)이 개발한 auto.
앞서 설명한 것처럼 adaptive LASSO와 Hyndman과 Khandakar 방법에서 모두 BIC를 사용한 경우가 추정 결과가 가장 좋으므로, 우리는 BIC를 사용한 경우에 한해서 두 방법을 비교하고자 한다. 먼저 Figure 3.
우선 adaptive LASSO 추정량의 성질을 알아보기 위해서 다음의 두 가지 측도를 고려하였으며, 총 100번 반복실험을 수행하였다.

대상 데이터

예제 자료로 R에 내장되어 있는 LakeHuron를 사용하였다. 이 자료는 1985년부터 1972년까지 Huron 호수의 연 평균 수위를 피트 단위로 측정한 것으로 총 98개의 관측값이 존재한다.

데이터처리

airma 함수를 이에 알맞게 조정하여 사용하였다. 그리고 차분 차수를 결정하기 위해 KPSS 검정을 사용하였고, 자기회귀모형의 차수를 선택하는 기준으로 AICc와 BIC 두 가지 정보함수를 고려하였다. r번째 반복실험에서 Hyndman과 Khandakar 방법을 이용하여 구한 차분 차수, 자기회귀모형의 차수, 모수에 대한 추정값을 #라고 하자.
그러므로 총 100번의 반복 실험 중 #을 만족하는 경우의 비율 P_unit을 구하여 단위근 식별에 대한 정확도를 판단하였다. 본 실험에서는 앞서 수행한 모의실험 결과에 따라 BIC를 이용하여 조절모수를 선택하였고, 이 때 구한 adaptive LASSO 추정값을 바탕으로 비율 P_unit을 계산하였다. Figure 3.
의 성질은 adaptive LASSO 방법이 참 모형을 잘 추정할 가능성이 있다는 것만 제시한다. 실제 자료를 분석하는 경우에는 100개의 조절모수 중 적절한 값을 선택해야 하며, 본 연구에서는 이를 위해 10-겹 교차검증, AIC, BIC를 사용하였다. 100번의 반복실험 중 r번째 반복실험에서 사용한 조절모수들의 집합 Λ_r에서 10-겹 교차검증으로 선택한 조절모수 값을 # , 이에 대응하는 adaptive LASSO 추정값을 # 라고 표시한다.

이론/모형

. , β_p를 앞에서 설명한 adaptive LASSO 방법대로 추정하였다. 시계열 자료의 개수 T의 값으로 50, 100, 250, 500, 1000을 고려하였고, 자기회귀모형의 차수에 대한 허용한계는 p = [12(T /100)^1/4]을 사용하였다.
그러므로 본 연구에서는 정상 자기회귀모형이나 확률보행과정처럼 단위근의 개수가 기껏해야 1개인 자기회귀모형을 중점적으로 다룬다. 본 연구에서는 단위근의 개수 결정과 정상 자기회모형의 선택 및 모수 추정 추정을 각각 따로 수행하지 않고, 동시에 수행하기 위해 식 (1.1)과 같은 모형 대신 이를 변환한 모형에 adaptive LASSO 방법을 적용하였다. 이에 대해서는 2장에서 상세하게 기술할 것이다.
본 모의실험에서는 adaptive LASSO 방법과 기존의 방법을 비교하기 위하여 8개의 자기회귀모형에 대해 추가로 Hyndman과 Khandakar (2008)이 제안한 절차에 따라 각각 자기회귀모형을 적합시켰다. 본 연구에서는 차분 차수가 1 이하인 자기회귀모형만을 다루고 있으므로, Hyndman과 Khandakar(2008)이 개발한 auto.airma 함수를 이에 알맞게 조정하여 사용하였다. 그리고 차분 차수를 결정하기 위해 KPSS 검정을 사용하였고, 자기회귀모형의 차수를 선택하는 기준으로 AICc와 BIC 두 가지 정보함수를 고려하였다.

성능/효과

자기회기모형을 적합시키는 전통적인 절차가 단위근 검정을 통한 시계열의 정상성 판단, 정상화 변환을 거친 시계열에 대한 모형의 차수 선택, 모수 추정 및 진단의 3단계로 이루어진 것에 비해 본 논문에서 제안한 방법은 ADF 검정에서 사용하는 회귀모형에 adaptive LASSO 기법을 적용하여 모수를 추정하는 것으로 단위근 존재 여부와 차수 선택, 모수 추정을 동시에 자동으로 할 수 있다는 장점을 가지고 있다. 그리고 모의실험 결과를 보면 BIC를 최소화하는 조절모수를 사용하여 얻은 adaptive LASSO 추정량은 일치성을 만족할 뿐만 아니라 모형 식별에 대한 정확도도 높음을 알 수 있다. 또한 우리의 관심의 초첨이었던 단위근 존재 여부와 자기회귀모형의 차수도 자료의 개수가 충분히 많은 경우 비교적 정확하게 판단함을 확인할 수 있었다.
그리고 모의실험 결과를 보면 BIC를 최소화하는 조절모수를 사용하여 얻은 adaptive LASSO 추정량은 일치성을 만족할 뿐만 아니라 모형 식별에 대한 정확도도 높음을 알 수 있다. 또한 우리의 관심의 초첨이었던 단위근 존재 여부와 자기회귀모형의 차수도 자료의 개수가 충분히 많은 경우 비교적 정확하게 판단함을 확인할 수 있었다.
본 논문은 기존의 연구 결과에서 보듯이 정상성을 만족하는 시계열 모형에 국한되어 개발 연구되었던 adaptive LASSO 방법을 비정상 자기회귀모형으로 확장 연구한 것이다. 자기회기모형을 적합시키는 전통적인 절차가 단위근 검정을 통한 시계열의 정상성 판단, 정상화 변환을 거친 시계열에 대한 모형의 차수 선택, 모수 추정 및 진단의 3단계로 이루어진 것에 비해 본 논문에서 제안한 방법은 ADF 검정에서 사용하는 회귀모형에 adaptive LASSO 기법을 적용하여 모수를 추정하는 것으로 단위근 존재 여부와 차수 선택, 모수 추정을 동시에 자동으로 할 수 있다는 장점을 가지고 있다. 그리고 모의실험 결과를 보면 BIC를 최소화하는 조절모수를 사용하여 얻은 adaptive LASSO 추정량은 일치성을 만족할 뿐만 아니라 모형 식별에 대한 정확도도 높음을 알 수 있다.

후속연구

그리고 단위근이 2개 이상 존재하는 일반적인 경우에 대한 연구 또한 미비하다. 이에 단위근의 개수를 결정하는 것과 이론적인 연구는 후속 연구로 계속 진행할 필요가 있다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	자기회귀모형이란 어떠한 모형인가?	자기회귀누적이동평균(autoregressive integrated moving average; ARIMA)모형은 지수평활법과 더불어 일변량 시계열 자료의 예측에 많이 사용되는 모형으로 최근 Hyndman과 Khandakar (2008)이 이들을 이용한 자동 예측 알고리즘을 개발하였다. 자기회귀모형은 자기회귀누적이동평균모형의 특수한 경우로 시계열의 현재 값을 과거 값들의 선형 결합으로 설명하려는 모형이며, 모형식이 선형회귀모형과 유사하다. 그리고 식 (1.
	단위근검정의 방법에는 무엇이 있는가?	단위근 검정 결과 정상시계열이라고 판단될 때까지 단위근 검정과 차분을 반복적으로 시행하여 단위근의 개수 d를 구한다. 대표적인 단위근검정으로 augmented Dickey-Fuller (ADF) 검정 (Said와 Dickey, 1984), PP 검정 (Phillips와 Perron, 1988), KPSS 검정 (Kwiatkowski 등, 1992) 등이 있다.
	시계열 그림과 표본자기상관그림을 활용하여 단위근의 존재 여부를 판단하는 방법의 단점은?	(1)단계에서 단위근의 존재 여부를 판단하는 기본적인 방법은 시계열 그림과 표본자기상관그림을 활용하는 것이다. 이는 그림의 패턴을 파악하여 정상시계열의 그림의 특징과 유사한지 판단하는 방법으로 그림을 그리는 것은 어렵지 않으나 판단이 주관적이라는 단점을 가지고 있다. 이보다 좀 더 객관적으로 정상성을 판단하는 방법으로 단위근 검정(unit root test)이 있다.

참고문헌 (11)

Brockwell, P. J. and Davis, R. A. (2006). Time Series: Theory and Methods (2nd ed), Springer.
Chen, K. and Chan, K. S. (2011). Subset ARMA selection via the adaptive lasso, Statistics and Its Interface, 4, 197-205.
Hyndman, R. J. and Khandakar, Y. (2008). Automatic time series forecasting: the forecast package for R, Journal of Statistical Software, 27, 1-22.
Kwiatkowski, D., Phillips, P. C., Schmidt, P., and Shin, Y. (1992). Testing the null hypothesis of stationarity against the alternative of a unit root, Journal of Econometrics, 54, 159-178.

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Kwon, S., Lee, S., and Na, O. (2017). Tuning parameter selection for the adaptive LASSO in the autoregressive model, Journal of the Korean Statistical Society, 46, 285-297.

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Nardi, Y. and Rinaldo, A. (2011). Autoregressive process modeling via the Lasso procedure, Journal of Multivariate Analysis, 102, 528-549.

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Phillips, P. C. and Perron, P. (1988). Testing for a unit root in time series regression, Biometrika, 75, 335-346.

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Said, S. E. and Dickey, D. A. (1984). Testing for unit roots in autoregressive-moving average models of unknown order, Biometrika, 71, 599-607.

상세보기
Schwert, G. W. (1989). Tests for unit roots: a Monte Carlo investigation, Journal of Business and Economic Statistics, 7, 147-160.

상세보기
Wang, H., Li, B., and Leng, C. (2009). Shrinkage tuning parameter selection with a diverging number of parameters, Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Statistical Methodology), 71, 671-683.

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Zou, H. (2006). The adaptive lasso and its oracle properties, Journal of the American Statistical Association, 101, 1418-1429.

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