[논문]학생중심의 대학 이산수학 강의 운영사례

이상구; 이재화

doi:10.7468/jksmee.2019.33.1.1

학생중심의 대학 이산수학 강의 운영사례
Student-Centered Discrete Mathematics Class with Cyber Lab 원문보기

Journal of the Korean Society of Mathematical Education. Series E: Communications of Mathematical Education, v.33 no.1, 2019년, pp.1 - 19

이상구 (성균관대학교) , 이재화 (성균관대학교)

초록
AI-Helper

본 연구는 학생이 학습과정(learning process)에 능동적으로 참여하여, 능력을 향상하며, 자신감을 갖고 학생성공(student success)이라는 궁극적인 목표에 도달하는 것을 목표로 한 기초수학 특히 이산수학 강좌의 운영사례를 다룬다. 이를 위해 첫째, 본 연구진에 의해 개발/제작된 강의록과 사이버실습실을 미리 제공하였다. 둘째, 이를 바탕으로 학생들이 학습관리 시스템(learning management system)을 통해 예습, 복습, 질문, 답변, 토론을 충분히 할 수 있도록 하였으며, 팀별로 기말 프로젝트에 참여하게 하였다. 셋째, 한 학기 동안의 모든 학습과정을 보고서로 작성하여 제출, 발표하고 이를 바탕으로 한 평가를 하였다. 이러한 강의 모델을 통해 학생들은 자신의 학습과정 및 문제해결과정을 서술하고 발표하면서 비판적인 사고 능력을 자연스럽게 갖추는 과정을 경험하고 공유한다. 본 연구는 기존의 연구와 달리 교수자가 많은 시간을 들이지 않고도, 그리고 여러 지원 또는 우수한 조교가 돕지 않아도 교수 스스로 개인별, 수준별, 맞춤형, 창의적 이산수학 교육이 가능하다는 것을 보여주는 모델을 만든 것으로 이를 공유한다.

Abstract ▼ AI-Helper

This study deals with the case of student-centered discrete mathematics class with cyber lab. First, we provided lecture notes and cyber labs we developed. In particular, discrete mathematics is a course that covers the principles of algorithms. The purpose of this study is to provide students with basic mathematics, aiming to actively participate in the learning process, to improve their abilities and to reach the ultimate goal of student success with confidence. Second, based on interactions, students were able to prepare for the lectures, review, question, answer, and discussion through an usual learning management system of the school. Third, all the students generated materials through one semester, which were reported, submitted, presented and evaluated. It was possible to improve the learning effectiveness through the discussions and implementation of using some easy open source programming language and codes. Our discrete math laboratory could be practiced without any special knowledge of coding. These lecture models allow students to develop critical thinking skills while describing and presenting their learning and problem-solving processes. We share our experience and our materials including lecture note and cyber lab as well as a possible model of student-centered mathematics class that does not give too much of work load for instructors. This study shares a model that demonstrates that any professor will be able to have an individualized, customized, and creative discrete education without spending much of extra time and assistant, unlike previous research.

주제어

표/그림 (11)

표 <표 Ⅱ-1> 이산수학 장별 강의록
표 <표 Ⅱ-2> 계산 서버와 개발된 이산수학 실습실
표 <표 Ⅱ-3> 이산수학 수강생들의 개념정리/문제풀이/질문/답변 기록 일부
표 <표 Ⅱ-4> 이산수학 주차별 수업주제 및 주요 학생활동
그림 [그림 Ⅱ-1] LMS의 QnA에서 이산수학 개념에 대한 학생활동(질문/답변/토론/증명) 예시
그림 [그림 Ⅱ-2] PBL 보고서 양식
그림 [그림 Ⅱ-3] 학생 PBL 발표 동영상 예시(https://youtu.be/dCppwKht5a8)
그림 [그림 Ⅱ-4] 분야별 및 종합 평가 예시
그림 [그림 Ⅱ-5] 이산수학 LMS에서 학생들의 QnA 활동 상황 및 문제풀이 예시
그림 [그림 Ⅱ-6] 이산수학 강의 종료 후 한 학생이 PBL 보고서에 남긴 소감(발췌)
그림 [그림 Ⅱ-7] 한 학생의 PBL 보고서의 월별 소감(발췌)

AI 본문요약
AI-Helper

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문제 정의

본 연구진은 대학 이산수학에서 컴퓨터 활용과 더불어 학생이 학습의 전 과정(learning process)에 참여하는 학생중심의 강의 운영 방법을 시도하였다. 본 사례는 학생들 스스로 예습, 복습, 질문, 답변, 토론, 발표에 참여하고, 그에 맞는 적절한 평가를 진행한 것으로, 교수자가 많은 시간을 들이지 않고도(즉 교수 및 조교의 추가 작업이 없이도), 그리고 이제는 우수한 조교지원이나 특별한 교육환경 등 행정 지원이 없어도 보통의 교수가 보통의 강의실에서 강의를 운영하여도 개인별, 수준별, 맞춤형, 창의적 교육이 가능했다는 사실을 보고한다.
본 연구에서는 학생중심의 대학 이산수학 강의 운영 사례를 소개하였다. 구체적으로 미리 제공한 강의록과 사이버실습실을 바탕으로 학생들이 스스로 LMS를 통해 예습, 복습, 질문, 답변, 토론을 충분히 할 수 있도록 하였으며, 팀별로 기말 프로젝트에 참여하게 하였다.
. 본 절에서는 2018학년도 1학기와 2학기 S대학교 BSM(Basic Science and Mathematics) 이산수학 과목에서 시도한 학생중심의 강의 운영 사례를 공유하고자 한다.

가설 설정

① 강의 자료와 동영상을 준비하여 제공한 후 학생들이 참여도가 많이 높아졌다.

제안 방법

⑥ 조장들과 교수자는 토론을 통해 기말 프로젝트/시험/발표의 주제를 구체화하여 최종 선정한다. 기말 프로젝트는 아래 세 가지 주제에서 선택하도록 하고, 5월 말까지 개인 및 팀별로 PBL 보고서 초안을 모두 제출하게 한다.
⑦ 개인 및 팀별 PBL 보고서 초안을 채점하면서 초안의 성적을 공개하고, 수정/보완할 기회를 제공한다. 수정/보완이 완료된 개인/팀별로 최종 버전의 개인 및 팀별 PBL 보고서를 제출하도록 하고, 그 자료를 전체 학생들 앞에서 발표([그림 Ⅱ-3] 참조)하여, 상호 평가 하도록 한다.
본 연구에서는 학생중심의 대학 이산수학 강의 운영 사례를 소개하였다. 구체적으로 미리 제공한 강의록과 사이버실습실을 바탕으로 학생들이 스스로 LMS를 통해 예습, 복습, 질문, 답변, 토론을 충분히 할 수 있도록 하였으며, 팀별로 기말 프로젝트에 참여하게 하였다. 그리고 한 학기 동안의 모든 학습과정을 PBL 보고서로 작성하여 제출, 발표하고 이를 바탕으로 한 평가를 하였다.
여기서 예습은 대학에 구축된 학습관리 시스템(Learning Management System, LMS)의 QnA에 자신이 공부한 개념에 대하여 자신의 언어로 정리하거나, 궁금한 것에 대해 질문 또는 다른 학생들의 질문에 답변하는 것을 포함한다. 그리고 예습을 못한 학생들을 위해 강의시작 후 15분 정도를 할애하여 LMS를 통하여 복습 및 예습을 하도록 유도하고 이것으로 출석 부르는 것을 대체한다.
구체적으로 미리 제공한 강의록과 사이버실습실을 바탕으로 학생들이 스스로 LMS를 통해 예습, 복습, 질문, 답변, 토론을 충분히 할 수 있도록 하였으며, 팀별로 기말 프로젝트에 참여하게 하였다. 그리고 한 학기 동안의 모든 학습과정을 PBL 보고서로 작성하여 제출, 발표하고 이를 바탕으로 한 평가를 하였다.
본 연구진은 대학 이산수학에서 컴퓨터 활용과 더불어 학생이 학습의 전 과정(learning process)에 참여하는 학생중심의 강의 운영 방법을 시도하였다. 본 사례는 학생들 스스로 예습, 복습, 질문, 답변, 토론, 발표에 참여하고, 그에 맞는 적절한 평가를 진행한 것으로, 교수자가 많은 시간을 들이지 않고도(즉 교수 및 조교의 추가 작업이 없이도), 그리고 이제는 우수한 조교지원이나 특별한 교육환경 등 행정 지원이 없어도 보통의 교수가 보통의 강의실에서 강의를 운영하여도 개인별, 수준별, 맞춤형, 창의적 교육이 가능했다는 사실을 보고한다.
본 이산수학 실습실은 각 장별로 이산수학 강의록, 예제, 연습문제, SageMath 명령어를 실행할 수 있는 SageMath Cell이 하나의 html 파일로 구성되어 있으며, SageMath 명령어의 실행은 에 제시된 계산 서버를 이용하여 수행한다.
⑦ 개인 및 팀별 PBL 보고서 초안을 채점하면서 초안의 성적을 공개하고, 수정/보완할 기회를 제공한다. 수정/보완이 완료된 개인/팀별로 최종 버전의 개인 및 팀별 PBL 보고서를 제출하도록 하고, 그 자료를 전체 학생들 앞에서 발표([그림 Ⅱ-3] 참조)하여, 상호 평가 하도록 한다. 최종 PBL 결과물은 다음을 참조하라.
본 연구진이 시도한 이산수학 강의는 학생이 학습과정에 주도적으로 참여하게 하는 학생 중심의 강의이다. 이를 위해 이산수학 사이버 실습실을 개발하여, 디지털과 첨단 모바일/인터넷 환경을 강의에 적절히 반영하였고, LMS를 통해 동료 및 교수자와 함께 질문, 답변, 토론하며 개념에 대해 깊게 이해하고 설명할 수 있도록 하였다. 또한 이 과정을 평가에 적절히 반영하여 학생들은 학습하는 과정에서 자신의 문제를 해결해가는 과정을 서술하고, 발표하는 비판적 사고 능력을 자연스럽게 갖추도록 힘썼다.
Sutner(2005)는 컴퓨터 과학 전공 학생들을 위해 계산 이산수학(computational discrete mathematics, CDM) 강좌를 개설하여 학생들이 컴퓨터대수체계를 이용하여 실험하거나, 예제 또는 반례를 찾고, 수학적 개념에 대하여 자신이 갖고 있는 직관을 분명하게 하도록 하였다. 이를 위해 전통적인 정의-정리-증명의 방식과 달리 학생들의 수학적 지식에 근거한 질문으로부터 계산 예제 및 실험을 통해 이해를 넓히게 되었다. 여기서 증명은 일반적으로 관찰을 확신하는 것을 의미한다.
중간고사 문제는 Finalized OK 된 문제들을 중심으로 Sample Exam 문제를 만들어 학습에 도움을 주되, 실제 시험에서는 그 중 50% 정도를 출제한다. 이와 동시에 중간고사 이후 성적을 고려하여, 우수 성적학생들을 조장으로 고르게 팀을 임시로 구성해 주고, 조장이 팀원을 조정할 수 있는 권한을 주어 2-3주간 팀을 확정하게 한다.

성능/효과

② 학생들의 학습과정에 교수와 조교가 효과적으로 의견을 반영하면서, 토론과 문제풀이 및 발표의 결과물의 질이 크게 향상되었다.
또한 이 과정을 평가에 적절히 반영하여 학생들은 학습하는 과정에서 자신의 문제를 해결해가는 과정을 서술하고, 발표하는 비판적 사고 능력을 자연스럽게 갖추도록 힘썼다. 강의를 통하여 학생들의 문제 해결력 상승 및 토론을 통한 지식 공유와 같은 공부 방식의 변화 등 긍정적인 효과를 거두었다. 본 연구진이 시도한 학생 중심의 이산수학 강의 운영 사례는 대학 수학의 효과적인 운영 모델의 하나로 여겨진다.
모든 학습과정을 학생들 스스로 수행하여, 교수자가 많은 시간을 들이지 않고도, 그리고 여러 지원 또는 우수한 조교가 없어도(즉 교수 및 조교의 추가 작업이 없이도) 개인별, 수준별, 맞춤형, 창의적 교육이 가능하다. 학생들이 교육을 통하여 인재로 성장할 수 있도록, 새로운 강의를 설계하고, 시도하며, 개선한 노력을 통해 2002년부터 2018년까지 꾸준히 교육상을 수상한 바 있는 저자의 경험으로 볼 때, 본 이산수학 강의 사례와 같은 새로운 시도를 주저할 필요가 없다고 생각한다.

후속연구

학생들이 교육을 통하여 인재로 성장할 수 있도록, 새로운 강의를 설계하고, 시도하며, 개선한 노력을 통해 2002년부터 2018년까지 꾸준히 교육상을 수상한 바 있는 저자의 경험으로 볼 때, 본 이산수학 강의 사례와 같은 새로운 시도를 주저할 필요가 없다고 생각한다. 본 연구진의 강의 운영 모델이 미적분학, 선형대수학, 공학수학, 기초통계학, 미분방정식 등 다른 BSM 수학 강좌를 운영하는 모델로 활용될 수 있기를 기대한다. 본 강의를 하면서 개발되고 진행된 모든 결과물은 각주의 웹 사이트¹⁰⁾에서 확인할 수 있다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	이산수학의 교육내용은 어떻게 나누어져 있는가?	이산수학의 교육내용은 크게 선택과 배열, 그래프, 알고리즘, 의사결정과 최적화 등의 4개 영역으로 나누어져 있으며, 실생활에서 쉽게 접할 수 있는 문제를 소재로 하여 실험적 과정을 거치면서 학생 스스로 학습할 수 있는 학습자 위주의 교육방법을 택하고 있다. 고교과정에서 배운 기초지식을 전제하고 대학의 이산수학 입문 과정에서는 다음과 같은 내용을 다룬다.
	증명이 의미하는 것은?	이를 위해 전통적인 정의-정리-증명의 방식과 달리 학생들의 수학적 지식에 근거한 질문으로부터 계산 예제 및 실험을 통해 이해를 넓히게 되었다. 여기서 증명은 일반적으로 관찰을 확신하는 것을 의미한다.
	대학의 이산수학 입문 과정에서 다루는 내용은?	고교과정에서 배운 기초지식을 전제하고 대학의 이산수학 입문 과정에서는 다음과 같은 내용을 다룬다. 기본적으로 수학적 귀납법, 알고리즘의 복잡도 및 수렴 속도를 비교하며, 헤아리기의 기본법칙, 순열과 조합, 일반화된 순열과 조합, 일반화된 비둘기 집의 원리, 포함 배제 원리, 배열의 존재성을 보이는 법, 이항계수를 이용하여 조합적 항등식을 찾는 법, 점화식, 행렬의 의미와 이용, 그래프의 뜻 이해와 그래프의 행렬 표현, 여러 가지 수형도 및 생성수형도를 찾는 문제, 경로 및 회로, 오일러 경로 및 회로, 해밀턴 경로 및 회로, 순회 판매원 문제, 평면그래프, 이분그래프와 매칭사이의 관계, 2×2 게임의 전략, 선거와 정당성, 최적화 계획을 세우는 법, 그래프와 최적화 사이의 관계의 이해 등을 다루고 있다.

참고문헌 (11)

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Sutner, K. (2005). CDM: Teaching Discrete Mathematics to Computer Science Majors, ACM Journal of Educational Resources in Computing, 5(2), Article 4. 1-11.

저자의 다른 논문 :

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표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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