[논문]붓스트랩 방법을 적용한 확률계수 자기회귀 모형에 대한 로버스트 구간추정

조나래; 임도상; 이성덕

doi:10.5351/kjas.2019.32.1.099

붓스트랩 방법을 적용한 확률계수 자기회귀 모형에 대한 로버스트 구간추정
Robust confidence interval for random coefficient autoregressive model with bootstrap method 원문보기

응용통계연구 = The Korean journal of applied statistics, v.32 no.1, 2019년, pp.99 - 109

조나래 (충북대학교 정보통계학과) , 임도상 (질병관리본부 만성질환관리과) , 이성덕 (충북대학교 정보통계학과)

초록
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비선형 시계열인 확률계수 자기회귀(random coefficient autoregressive; RCA) 모형에 대하여 여러 가지 방법을 이용한 추정량의 신뢰구간 비교하였다. RCA 모형에 대하여 자료의 분포를 가정하지 않아도 되는 Quasi 스코어 추정량과 Huber, Tukey, Andrew, Hempal 4가지 유계함수를 이용한 M-Quasi 스코어 추정량을 제시하였다. 이러한 추정량에 대하여 표준 붓스트랩 방법, 백분위수 붓스트랩 방법, 스튜던트화 붓스트랩 방법, 하이브리드 붓스트랩 방법을 이용한 신뢰구간을 구하였다. 모의실험을 통하여 RCA 모형의 오차항의 분포가 정규분포, 오염정규분포, 이중지수분포를 따를 때 Quasi 스코어 추정량과 M-Quasi 스코어 추정량들의 근사적 신뢰구간과 네가지 붓스트랩 방법을 이용한 신뢰구간을 비교하였다.

Abstract ▼ AI-Helper

We compared the confidence intervals of estimators using various bootstrap methods for a Random Coefficient Autoregressive(RCA) model. We consider a Quasi score estimator and M-Quasi score estimator using Huber, Tukey, Andrew and Hempel functions as bounded functions, that do not have required assumption of distribution. A standard bootstrap method, percentile bootstrap method, studentized bootstrap method and hybrid bootstrap method were proposed for the estimations, respectively. In a simulation study, we compared the asymptotic confidence intervals of the Quasi score and M-Quasi score estimator with the bootstrap confidence intervals using the four bootstrap methods when the underlying distribution of the error term of the RCA model follows the normal distribution, the contaminated normal distribution and the double exponential distribution, respectively.

주제어

표/그림 (3)

표 Table 5.1. Comparison of the simulated proportion that ε_t is standard normal distribution
표 Table 5.2. Comparison of the simulated proportion that ε_t is double exponential distribution
표 Table 5.3. Comparison of the simulated proportion that ε_t is contaminated normal distribution with 10% levelof contamination and 10 magnitude of contamination

AI 본문요약
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가설 설정

정상조건을 만족하기 위해 RCA(1) 모형에서 모수 θ = 0.5, Zt의 분산을 # = 0.03으로 가정하였다.

제안 방법

또한 붓스트랩 신뢰구간을 얻기 위하여 앞에서 정의한 SB, PB, STUD, HYB 방법을 이용한다. RCA 시계열 난수로부터 크기가 200인 B(N = 1,000)개의 붓스트랩 표본을 생성하고 붓스트랩 표본을 이용하여 B개의 추정량을 구한 다음 95%, 90%, 80% 신뢰구간을 설정한다. 그리고 설정된 신뢰구간에 모수의 참값이 포함되는지 확인한다.
이때 Quasi score 함수를 이용한 Quasi score 추정량과 유계 함수를 적용한 M-quasi score 함수를 이용한 M-Quasi score 추정량을 이용하여 근사 신뢰구간을 구하였다. 근사 신뢰구간과 SB, PB, STUD, HYB의 네 가지의 붓스트랩 신뢰구간을 구하여 참 추정량의 포함비율을 구하였다. RCA(1) 모형에서 확률변수 ε_t가 정규분포를 따르는 경우, Quasi score 추정량과 M-Quasi score 추정량에 대한 근사적인 신뢰구간에는 별다른 차이를 보이지 않았다, 그리고 확률변수 ε_t가 이중지수분포이거나 오염정규분포인 경우 근사적인 방법보다 붓스트랩 방법이 더 효율적이었다.
자료의 분포를 가정하지 않아도 되는 Quasi score 추정함수를 이용한 추정량과 Huber, Tukey, Andrew, Hempal 4가지 유계함수를 이용한 M-Quasi 추정량을 제시하였다. 또한 Quasi 추정량과 M-Quasi 추정량의 근사적 신뢰구간과 붓스트랩 추정량들로부터 신뢰구간을 구하는 표준 붓스트랩 방법, 백분위수 붓스트랩 방법, 스튜던트화 붓스트랩 방법, 하이브리드 붓스트랩 방법을 이용한 붓스트랩 신뢰구간을 비교하고자 한다. 본 논문의 구성은 다음과 같다.
비선형 시계열 모형인 확률계수 자기회귀 모형에서 Quasi score 우도추정량과 M-Quasi score 우도추정량의 근사적인 신뢰구간을 얻기 위해 두 추정량의 극한분포를 이용하여 신뢰구간을 구한다. 즉, n =200개의 난수로부터 95%, 90%, 80%의 근사적인 신뢰구간을 구하고 이 신뢰구간이 모수값을 포함하는지 확인하고, 이러한 과정을 N = 1,000번 반복실시하여 신뢰구간이 모수값에 포함되는 비율을 계산한다.
오차항 εt의 분포에 따라 각 방법에 의한 붓스트랩 신뢰구간에 모수가 포함되는 비율을 알아본다.
자료가 시간의 가역성을 따르지 않으면서 분포를 가정할 수 없는 비선형 시계열 자료에서 평균과 분산이 알려져 있는 RCA모형을 고려하였다. 이때 Quasi score 함수를 이용한 Quasi score 추정량과 유계 함수를 적용한 M-quasi score 함수를 이용한 M-Quasi score 추정량을 이용하여 근사 신뢰구간을 구하였다. 근사 신뢰구간과 SB, PB, STUD, HYB의 네 가지의 붓스트랩 신뢰구간을 구하여 참 추정량의 포함비율을 구하였다.
자료가 시간의 가역성을 따르지 않으면서 분포를 가정할 수 없는 비선형 시계열 자료에서 평균과 분산이 알려져 있는 RCA모형을 고려하였다. 이때 Quasi score 함수를 이용한 Quasi score 추정량과 유계 함수를 적용한 M-quasi score 함수를 이용한 M-Quasi score 추정량을 이용하여 근사 신뢰구간을 구하였다.
본 논문에서는 시간의 가역성을 만족하지 않으면서 이상치가 존재하는 비선형 시계열 자료에 대한 모형인 비선형 모형인 확률계수 자기회귀 모형을 다룬다. 자료의 분포를 가정하지 않아도 되는 Quasi score 추정함수를 이용한 추정량과 Huber, Tukey, Andrew, Hempal 4가지 유계함수를 이용한 M-Quasi 추정량을 제시하였다. 또한 Quasi 추정량과 M-Quasi 추정량의 근사적 신뢰구간과 붓스트랩 추정량들로부터 신뢰구간을 구하는 표준 붓스트랩 방법, 백분위수 붓스트랩 방법, 스튜던트화 붓스트랩 방법, 하이브리드 붓스트랩 방법을 이용한 붓스트랩 신뢰구간을 비교하고자 한다.
비선형 시계열 모형인 확률계수 자기회귀 모형에서 Quasi score 우도추정량과 M-Quasi score 우도추정량의 근사적인 신뢰구간을 얻기 위해 두 추정량의 극한분포를 이용하여 신뢰구간을 구한다. 즉, n =200개의 난수로부터 95%, 90%, 80%의 근사적인 신뢰구간을 구하고 이 신뢰구간이 모수값을 포함하는지 확인하고, 이러한 과정을 N = 1,000번 반복실시하여 신뢰구간이 모수값에 포함되는 비율을 계산한다. 또한 붓스트랩 신뢰구간을 얻기 위하여 앞에서 정의한 SB, PB, STUD, HYB 방법을 이용한다.
확률변수 εt의 분포를 표준정규분포, 이중지수분포 그리고 오염정규분포로 나누어 시뮬레이션을 수행하였다.

이론/모형

즉, n =200개의 난수로부터 95%, 90%, 80%의 근사적인 신뢰구간을 구하고 이 신뢰구간이 모수값을 포함하는지 확인하고, 이러한 과정을 N = 1,000번 반복실시하여 신뢰구간이 모수값에 포함되는 비율을 계산한다. 또한 붓스트랩 신뢰구간을 얻기 위하여 앞에서 정의한 SB, PB, STUD, HYB 방법을 이용한다. RCA 시계열 난수로부터 크기가 200인 B(N = 1,000)개의 붓스트랩 표본을 생성하고 붓스트랩 표본을 이용하여 B개의 추정량을 구한 다음 95%, 90%, 80% 신뢰구간을 설정한다.
본 논문에서는 시간의 가역성을 만족하지 않으면서 이상치가 존재하는 비선형 시계열 자료에 대한 모형인 비선형 모형인 확률계수 자기회귀 모형을 다룬다. 자료의 분포를 가정하지 않아도 되는 Quasi score 추정함수를 이용한 추정량과 Huber, Tukey, Andrew, Hempal 4가지 유계함수를 이용한 M-Quasi 추정량을 제시하였다.

성능/효과

RCA(1) 모형에서 확률변수 εt가 정규분포를 따르는 경우, Quasi score 추정량과 M-Quasi score 추정량에 대한 근사적인 신뢰구간에는 별다른 차이를 보이지 않았다, 그리고 확률변수 εt가 이중지수분포이거나 오염정규분포인 경우 근사적인 방법보다 붓스트랩 방법이 더 효율적이었다.
3의 확률변수 ε_t가 오염정규분포인 경우를 살펴보면 Quasi score 추정량과 M-Quasi score 추정량에서 붓스트랩 신뢰구간의 포함비율이 근사적인 신뢰구간보다 더 신뢰도에 근접함을 알 수 있다. 붓스트랩 방법 중 SB와 STUD이 다른 붓스트랩 방법보다 더 신뢰도에 근접함을 알 수 있다.

참고문헌 (13)

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Tong, H. (1990). Nonlinear Time Series, Oxford University Press, Oxford.
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