[논문]다측정 표본크기에 대한 공정능력지수 분석

이도경

doi:10.11627/jkise.2019.42.1.151

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This study is about the process capability index (PCI). In this study, we introduce several indices including the index $C_{PR}$ and present the characteristics of the $C_{PR}$ as well as its validity. The difference between the other indices and the $C_{PR}$ is the ...

This study is about the process capability index (PCI). In this study, we introduce several indices including the index $C_{PR}$ and present the characteristics of the $C_{PR}$ as well as its validity. The difference between the other indices and the $C_{PR}$ is the way we use to estimate the standard deviation. Calculating the index, most indices use sample standard deviation while the index $C_{PR}$ uses range R. The sample standard deviation is generally a better estimator than the range R. But in the case of the panel process, the $C_{PR}$ has more consistency than the other indices at the point of non-conforming ratio which is an important term in quality control. The reason why the $C_{PR}$ using the range has better consistency is explained by introducing the concept of 'flatness ratio'. At least one million cells are present in one panel, so we can't inspect all of them. In estimating the PCI, it is necessary to consider the inspection cost together with the consistency. Even though we want smaller sample size at the point of inspection cost, the small sample size makes the PCI unreliable. There is 'trade off' between the inspection cost and the accuracy of the PCI. Therefore, we should obtain as large a sample size as possible under the allowed inspection cost. In order for $C_{PR}$ to be used throughout the industry, it is necessary to analyze the characteristics of the $C_{PR}$. Because the $C_{PR}$ is a kind of index including subgroup concept, the analysis should be done at the point of sample size of the subgroup. We present numerical analysis results of $C_{PR}$ by the data from the random number generating method. In this study, we also show the difference between the $C_{PR}$ using the range and the $C_P$ which is a representative index using the sample standard deviation. Regression analysis was used for the numerical analysis of the sample data. In addition, residual analysis and equal variance analysis was also conducted.

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문제 정의

본 연구에서는 공정능력지수의 이러한 취약점에 대한 기존의 여러 공정능력지수들을 소개하고, 하나의 제품이 독자적인 여러 모듈이나 셀의 집합으로 구성되는 경우에 있어 제시되었던 지수에 대해 표본크기의 변화에 대해 분석하고자 한다.

가설 설정

1) 정확성 : 측정 위치는 전체 영역을 포함해야 한다.
2) 검사비용 : 측정점 수(표본크기)는 작아야 한다.
3) 정합성 : 지수는 가능한 부적합률과 부합해야 한다.

제안 방법

위의 기존 연구에서 다양한 경우에 해당하는 공정능력지수들을 살펴보았다. 그러나 ‘정확한 공정능력지수 산정을 위해 얼마나 많은 수의 측정점 즉, 표본크기가 요구되는가?’에 대한 연구는 없다.
따라서 기업에서 이 지수를 현장에서 사용하기 위해서는 기업의 환경에 부합하는 조건(예를 들어 제품 생산속도와 검사 속도의 비교나 전체 비용에서 검사비용이 차지하는 비용 등)하에서 표본크기를 선택할 수 있어야 한다. 따라서 본 연구에서는 자료 분석을 통해 [Table 1]에 제시된 현재 사용하고 있는 모든 표본크기에 대해 C_PR을 산정하고 기존 방식에 의한 C_P와 비교하도록 한다.
발생시키는 난수는 N(100, 1)이다. 한 장의판넬에서 측정하는 표본크기를 n으로 설정하고, 표본크기는 현재 산업계에서 사용하는 n = 2~19의 전체 범주에 대해 분석한다. 모형에 포함하는 군의 개수는 10개 즉, 판넬10장으로 선정한다.
C_PR은 부분군 개념을 도입한 지수이므로,부분군의 크기 즉, 표본크기에 대한 통계적 분석이 필요하다. 이에 대해 우리는 난수 발생 방법으로 자료를 생성하고 그 분석 결과를 제시했다. 또한 이미 오래전부터 표본표준편차를 사용해서 그 값의 의미가 명확한 C_P와 본연구의 C_PR을 비교 분석하여 두 지수간의 차이를 설명했다.
이에 대해 우리는 난수 발생 방법으로 자료를 생성하고 그 분석 결과를 제시했다. 또한 이미 오래전부터 표본표준편차를 사용해서 그 값의 의미가 명확한 C_P와 본연구의 C_PR을 비교 분석하여 두 지수간의 차이를 설명했다.

대상 데이터

본 연구에서의 대상 제품특성은 평판 디스플레이 판넬(FPD : flat panel display)의 휘도다. 한 장의 판넬은 판넬의 용도와 크기 그리고 해상도에 따라 빛을 구현하는 1,000,000개 이상의 셀들로 구성된다.
한 장의판넬에서 측정하는 표본크기를 n으로 설정하고, 표본크기는 현재 산업계에서 사용하는 n = 2~19의 전체 범주에 대해 분석한다. 모형에 포함하는 군의 개수는 10개 즉, 판넬10장으로 선정한다. 여러 부분군 크기들 중에서 관리도에서 가장 많이 사용되는 표본크기 n = 5의 경우에 대한 C_PR 산정 시뮬레이션 결과를 아래 [Table 2]에 제시한다.
실제로 판넬 공정에서 사용하는 상하좌우별 아홉 곳의 측정위치(표본크기 9)에 대한 판넬 10장에서 측정한 90개 자료의 범위는 [Table 3]과 같다. 이 경우에는 범위에 의한 모표준편차 추정이 표본표준편차 보다 크게 나왔다.

이론/모형

’에 부합하기 위해서는 한 장의 판넬 전체를 커버할 수 있는 여러 위치별 측정점들이 필요하다. 본 연구에서는 Lee[9]가 제시한 C_PR을 공정능력지수로 선정한다. 이때 한 장의 판넬이 부분군이며, 이 안의 측정점 수가 표본크기에 해당한다.

성능/효과

첫째 전제조건 ‘정확성’과 두 번째 전제조건 ‘검사비용’은 서로 상충한다.
925986이다. 본 연구에서 제시했던 판넬 간 산포에 해당하는 군간 변동이 제외된 결과에 의해, 예상한 대로 동일 자료에 있어 범위에 의한 추정이 표본표준편차 보다 작게 나옴을 확인할 수 있다. 물론 과 표본표준편차 s는 통계량이기 때문에 항상 기댓값과 동일하게 나오지는 않는다.
984053보다 작게 나왔다. 이에 따라 C_PR의 평균은 C_P에 비해 0.07061정도 커서 공정능력이 높게 산정됨을 알 수 있으며, 두 지수 사이의 상관계수는 0.8948이었다. 표본크기 n에 대한 C_PR의 회귀분석 결과, 회귀계수는 -0.
64로서 유의하지 않았다. 그러므로 표본크기의 증가에 대한 C_PR의 경향성은 무시할 수 있으며, C_PR이 표본크기와 무관하게 실제 공정의 공정능력을 반영함을 확인할 수 있다. 이는 C_PR 산정에 포함된 #항에 이미 표본크기에 대한 수정계수 d₂가 포함되어 있기 때문이다.
분석 결과, 표본크기 증가에 대해 C_PR 값의 경향성을 보이지는 않았다. C_PR은 기존 C_P와의 비교에서 평균적으로 큰 값이 나오며, 유의수준 10% 하에서 통계적으로 유의하지는 않았지만, 표본크기의 증가에 대해 C_PR과 C_P의 차이가 감소함을 수치분석을 통해 제시했다.
값의 경향성을 보이지는 않았다. C_PR은 기존 C_P와의 비교에서 평균적으로 큰 값이 나오며, 유의수준 10% 하에서 통계적으로 유의하지는 않았지만, 표본크기의 증가에 대해 C_PR과 C_P의 차이가 감소함을 수치분석을 통해 제시했다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	공정능력이란?	공정능력지수(process capability index)는 공정능력을 수치화된 지수로 나타낸 것이다. 공정능력은 제품의 성능 구현을 위한 설계도의 규격에 대해 제조 공정이 어느 정도 이를 실행하는 가를 나타내는 것으로, 이런 의미에서 ‘공정능력비’라고도 한다. 공정능력지수는 이 공정능력을 숫자로 나타낸 것으로서, 일반적으로 공정이 안정되어 있을 때, 규격의 상한과 하한의 공차와 제조공정을 통해 생산한 제품들의 산포인 표준편차의 대비로 나타낸다.
	공정상에서 품질을 평가하는 방법은 무엇인가?	공정상에서 품질을 평가하는 방법들로서 부적합률, 공정능력지수 그리고 기대손실 등이 있다. 우리에게 친숙한 부적합률은 생산한 제품들 중에서 제품의 품질특성이 규격에서 벗어난 비율을 나타낸다.
	공정능력지수 어떤 요소로 구성되며 각 요소들을 무엇을 뜻하는가?	공정능력지수를 구성하는 두 가지 요소는 규격과 공정 산포다. 이 중 규격은 설계도에서 지정한 값으로서 상수다.

참고문헌 (13)

Bothe, D.R., A Capability Index For Multiple Process Streams, Quality Engineering, 1999, Vol. 11, No. 4, pp. 613-618.

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Bothe, D.R., Composite Capability Index For Multiple Product Characteristics, Quality Engineering, 1999-2000, Vol. 12, No. 2, pp. 253-258.
Chan, L.K., Cheng, S.W., and Spiring, F.A., A New Measure of Process Capability, Journal of Quality Technology, 1988, Vol. 20, pp. 162-175.
Cho, N.H. and Lee, Y.H., A New Multivariate System Process Capability Index, Journal of Korea Safety Management & Science, 2003, Vol. 26, No. 3, pp. 145-156.
Juran, J.M., Quality Handbook, McGraw-Hill Companies, Inc., 1962.
Kane, V.E., Process Capability Indices, Journal of Quality Technology, 1986, Vol. 18, No. 1, pp. 41-52.
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상세보기
Lee, D.K., Analysis of Process capability index for multiple measurements, Journal of Society of Korea Industrial and Systems Engineering, 2016, Vol. 39, No. 1, pp. 91-97.
Lee, D.K. and Lee, H.S., Process capability index for single process with multiple measurement location, Journal of Society of Korea Industrial and Systems Engineering, 2007, Vol. 30, No. 3, pp. 28-36.
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