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최대독립집합 문제의 최소차수 정점 우선 선택 알고리즘
First Selection Algorithm of Minimum Degree Vertex for Maximum Independent Set Problem 원문보기

The journal of the institute of internet, broadcasting and communication : JIIBC, v.19 no.3, 2019년, pp.193 - 199  

이상운 (강릉원주대학교 과학기술대학 멀티미디어공학과)

초록
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본 논문은 지금까지 NP-완전인 난제로 알려진 최대 독립집합(MIS) 문제를 선형시간 복잡도로 해결한 알고리즘을 제안하였다. 제안된 알고리즘은 "MIS 집합의 모든 정점들은 상호간에 연결되지 않는다"는 기본 성질을 적용하여 n개의 정점으로 구성된 그래프에서 최소 차수 ${\delta}(G)$ 정점 ${\nu}$를 선택하고 부속 간선을 제거하였을 때 차수가 변하지 않는 정점들을 차수 오름차순으로 계속적으로 선택하는 단순한 방법을 적용하였다. 제안된 알고리즘을 22개 그래프에 적용한 결과, 시각적으로 그래프를 보면서도 MIS를 쉽게 찾을 수 있는 장점을 갖고 있으며, 알고리즘은 항상 MIS 집합의 원소 개수인 ${\alpha}(G)$회를 수행하여 알고리즘 복잡도는 O(n)으로 선형 알고리즘이다. 결국, 제안된 MIS 알고리즘은 MIS의 최적 해를 도출하는 일반적인 알고리즘으로 적용할 수 있을 것이다.

Abstract ▼ AI-Helper 아이콘AI-Helper

In this paper I propose an algorithm of linear time complexity for NP-complete Maximum Independent Set (MIS) problem. Based on the basic property of the MIS, which forbids mutually adjoining vertices, the proposed algorithm derives the solution by repeatedly selecting vertices in the ascending order...

주제어

#Minimum vertex cover   #Maximum independent set   #Degree   #Minimum degree   #Maximum degree  

표/그림 (9)

AI 본문요약
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문제 정의

  • 본 논문은 MIS 문제를 O(n)의 선형시간 복잡도로 해결하는 알고리즘을 제안하였다. 기존에 가장 빠른 알고리즘으로 알려진 MVC를 얻는 탐욕 알고리즘을 활용하여, MVC의 여집합으로 MIS를 찾는 방법이 있다.
  • 본 논문은 주어진 그래프에서 MVC를 구한 후 MIS를 구하는 간접법이 아닌, 주어진 그래프에서 직접 MIS를 구하는 직접법을 제안하였다. 제안된 알고리즘은 단지 주어진 그래프에서 최소 차수 정점을 MIS 집합으로 선택하고, 선택된 정점 u의 닫힌 이웃인 NG [u]를 V에서 삭제하였다.

가설 설정

  • [1] MVC 문제는 최대 독립 집합 (maximum independent set, MIS, #)과 밀접하게 연관되어 있다. MIS #= V╲C이며, MIS의 개수는 n-k로 구성되어 있다.
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질의응답

핵심어 질문 논문에서 추출한 답변
주어진 그래프에서 직접 MIS를 구하는 직접법으로 어떻게 최적해를 구했는가? 본 논문은 주어진 그래프에서 MVC를 구한 후 MIS를 구하는 간접법이 아닌, 주어진 그래프에서 직접 MIS를 구하는 직접법을 제안하였다. 제안된 알고리즘은 단지 주어진 그래프에서 최소 차수 정점을 MIS 집합으로 선택하고, 선택된 정점 u의 닫힌 이웃인 NG [u]를 V에서 삭제하였다. 이 과정을 V = {Φ}가 될 때까지 MIS 원소수 α(G) = l회 반복 수행하면 최적 해를 구할 수 있다.
무방향 그래프의 최소 정점 피복 문제는 무엇인가? n = |V|의 n개 정점이 m = |E|의 m개 간선으로 연결된 가중치가 없는 무방향 그래프(unweighted undirected graph) G= (V,E)에 대해, 최소 정점 피복 (minimum vertex cover, MVC, C) 문제는 모든 간선 e = {u,v}의 정점 u 또는 v중 적어도 하나의 정점을 반드시 포함하는 집합 C를 찾는 문제로 집합 C의 원소개수(cardinality, k)를 최소화 시키는 조건을 만족해야 한다.[1] MVC 문제는 최대 독립 집합 (maximum independent set, MIS, #)과 밀접하게 연관되어 있다.
논문에서 제안하는 MIS 문제를 해결하는 정확한 알고리즘의 복잡도는 얼마인가? 본 논문은 인접리스트를 활용할 경우 O(n), 간선을순차적으로 탐색하면서 각 정점의 차수를 세는 경우 O(m)의 선형시간으로 MIS 문제를 해결하는 정확한 알고리즘을 제안한다. 2장에서는 MIS 문제에 대한 욕심쟁이 알고리즘과 관련된 연구와 문제점을 고찰한다.
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참고문헌 (15)

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  2. S. Richter, M. Helmert, and C. Gretton, "A Stochastic Local Search Approach to Vertex Cover," Annual Conference on Artificial Intelligence, Lecture Notes in Computer Science, Vol. 4667, pp. 412-426, 2007, doi:10.1007/978-3-540- 74565-5_31 

  3. R. M. Karp, "Reducibility Among Combinatorial Problems," Complexity of Computer Computations, pp. 85-103, 1972, doi:10.1007/978-1-4684- 2001-2_9 

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  7. P. Borowiecki and F. Goring, "GreedyMAX-type Algorithms for the Maximum Independent Set Problem," International Conference on Current Trends in Theory and Practice of Computer Science, pp. 146-156, 2011, doi:10.1007/978-3 -642-18381-2_12 

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  12. A. Brændeland, "A Family of Greedy Algorithms for Finding Maximum Independent Sets," Cornell University Library, arXiv:1505.00752, pp. 1-4, May 2015. 

  13. J. M. Byskov, 'Enumerating Maximal Independent Sets with Applications to Graph Colouring," Operations Research Letters, Vol. 32, No. 6, pp. 547-556, Nov. 2004, doi:10.1016/j.orl.2004.03.002 

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  14. A. Sharich, W. A. Rawagepfeh, M. H. Mahafzah, and A. A. Dahamsheh, "An Algorithm for Finding Maximum Independent Set in a Graph," European Journal of Scientific Research, Vol. 23, No. 4, pp. 586-596, Nov. 2008, ISSN:1450-216X 

  15. M. Ghaffari, "An Improved Distributed Algorithm for Maximal Independent Set," Proceedings of the 27th Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms, pp. 270-277, Jan. 2016, ISBN:978-1-611974-33-1 

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