[논문]토러스 패치 기반의 정밀 근사를 이용한 자유곡면의 기하학적 처리

박영진; 홍규연; 김명수

doi:10.15701/kcgs.2019.25.3.93

토러스 패치 기반의 정밀 근사를 이용한 자유곡면의 기하학적 처리
Geometric Processing for Freeform Surfaces Based on High-Precision Torus Patch Approximation 원문보기

컴퓨터그래픽스학회논문지 = Journal of the Korea Computer Graphics Society, v.25 no.3, 2019년, pp.93 - 103

박영진 (서울대학교 컴퓨터공학부) , 홍규연 (서울대학교 컴퓨터공학부) , 김명수 (서울대학교 컴퓨터공학부)

초록
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3차원상의 자유곡면에 대한 효율적인 기하 연산을 지원하기 위한 새로운 공간자료구조로서 토러스 패치 기반 정밀 근사를 이용한 자유곡면의 기하학적 처리 기법을 소개한다. 토러스는 곡률이 양이나 음인 경우뿐만 아니라, 0인 부분도 있으므로 자유곡면의 볼록, 오목 여부에 상관없이 곡면을 정밀하게 근사할 수 있다. 전통적인 기법과 달리 토러스 패치는 자유곡면의 법벡터 방향까지 쉽게 모델링할 수 있고, 토러스의 오프셋은 다시 토러스가 되므로 다양한 기하 연산의 가속화를 지원할 수 있다. 자유곡면과 이를 근사하는 토러스 패치 집합 사이의 양방향 하우스도르프 거 리의 상한을 계산하여 토러스 패치를 이용하여 자유곡면을 높은 정밀도로 근사할 수 있음을 보였다. 이 기법을 이용하여 두 자유곡면의 교차곡선 계산과 자유곡면의 오프셋 곡면 생성을 쉽게 처리할 수 있음을 보였다.

Abstract ▼ AI-Helper

We introduce a geometric processing method for freeform surfaces based on high-precision torus patch approximation, a new spatial data structure for efficient geometric operations on freeform surfaces. A torus patch fits the freeform surface with flexibility: it can handle not only positive and negative curvature but also a zero curvature. It is possible to precisely approximate the surface regardless of the convexity/concavity of the surface. Unlike the traditional method, a torus patch easily bounds the surface normal, and the offset of the torus becomes a torus again, thus helps the acceleration of various geometric operations. We have shown that the torus patch's approximation accuracy of the freeform surface is high by measuring the upper bound of the two-sided Hausdorff distance between the freeform surface and set of torus patches. Using the method, it can be easily processed to detect an intersection curve between two freeform surfaces and find the offset surface of the freeform surface.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

이 논문에서는 3차원상의 자유곡면에 대한 효율적인 기하 연산을 지원하기 위한 새로운 공간자료구조인, 토러스 패치 기반의 정밀 근사를 이용한 자유곡면의 기하학적 처리 기법(이하 토러스 패치 근사 기법)을 소개한다. 토러스는 곡률이 양이나 음인 경우뿐만 아니라, 0인 부분도 있으므로 곡면의 볼록, 오목 여부에 영향을 받지 않고 근사할 수 있다.
이 논문에서는 3차원상의 자유곡면에 대한 효율적인 기하 연산을 지원하기 위한 새로운 자료구조인 토러스 패치 기반의 정밀 근사를 이용하는 자유곡면의 기하학적 처리 기법을 제안하였다. 이 기법으로 생성한 토러스 패치 집합과 자유곡면 사이의 양방향하우스도르프 거 리가 근사오차한계 인 IO* 보다 작음을 보였다.

가설 설정

Figure 7의 파란색 T(s(p, g), t(p, g))는 토러스 패치를, 초록색 영역은 토러스 패치를 자유곡면 S(s〃)에 투영시킨 영역 S(u(p, q), v{p, q))을 나타낸다. 이때, (饱 q)로 재매개화된 토러스 패치는 토러스의 전체 영역에 비해 매우 국소적이므로, 계산의 편의성을 위해 (饱 g)와 (s。)사이의 관계는 아핀변환으로 가정한다. p, g에서 [ 0로 가는 아핀 변환이 다음과 같을 때 이를饱 g에 대해 편미분 한 결과는 아래와 같다.

제안 방법

2절에서는 자유곡면에 대한 미분기하 계산을 이용하여 토러스 패치를 근사하는 알고리즘과 하이브리드 BVH 구조를 이용하여 토러스 패치의 근사오차를 최소화하는 방법을 소개한다. 3절에서는 자유곡면 예제와 실험 결과를 소개하고, 토러스 패치들을 이용하여 두 자유곡면의 교차 곡선과, 오프셋 곡면을 모델링하였다. 4절에서는 이번 연구를 확장하여 해결할 수 있는 문제들에 대해 소개한다.
Figure 9의 예제 1, 2는 3차 베지어 곡면이며 예제 3은 2차 베지어 곡면이다. 문제의 크기를 동일하게 하기 위해 베지어 곡면의 제어점을 감싸는바운딩 박스의 대각선 길 이 가 1이 되도록 조정 하였다. 각 예제 의 제어 점은 다음과 같다.
세 개의 자유곡면 각각에 대해 토러스 패치 집합을 이용하여 모델링하였다. Figure 9는 3개의 예제 자유곡면과 토러스 패치 집합으로 감싼 모습을 나타낸다.
이 논문에서는 다양한 기 하 연산을 지 원하기 위한 BVH로서 사면체 BV와 토러스 패치 BV를 동시에 사용하는 하이브리드 BVH 구조를 사용한다. 앞서 자유곡면을 균일한 간격으로 분할한 자유곡면 조각을 기준으로, 자유곡면 조각에서 전체 자유곡면까지는 bottom-up 방식으로 사면체[35, 36]를 이용하여 BVH를 생성한다.
있다. 이를 위해 토러스 패치 가 근사하는 자유곡면상의 영역 과 토러스 패치 사이의 오차를 모두 측정하고, 그 최대값을 구한다. 생성한 토러스 T(s, t)중 앞서 설정한 토러스 패치에 따라 토러스의 국소 범위만 사용하므로, 토러스 패치의 이용 범위를(P, q) 6 [0, 1] X [0, 1] 로 재매개화하여 T(s, t) = T(s(p, q), t(、p, q)) 로 표현하고, 이 영역을 자유곡면에 투영시킨 영역을 S(w(p, q), 讽0点)) 로 표현한다.
이 문제에 토러스 패치 근사 기법을 활용한다면, 고정밀도의 계산을 효율적이고 안정적으로 수행할 수 있을 것이다. 이를 응용하여 오프셋 크기를 변수로 고려하여, 오프셋 곡면들로 구성되는 3차원 볼륨 모델링으로 결과를 확장할 수 있다. 3차원 물체에 대한 보로노이 다이어그램(Voronoi Diagram)이나 중심축(Medial Axis) 계산을 하기 위해서는 서로 마주 보는 두 곡면 사이의 중간위치에 있는 이등분(Bisector) 곡면 계산을 정확하게 해야 한다.
토러스 패치 근사 기법의 근사정밀도를측정하기 위해 세개의 자유곡면 S(a, a)에서 叫外 각방향으로 128개씩 나누고 하이브리드 BVH 구조를 생성하였다. Figure 9의 예제 1, 2는 3차 베지어 곡면이며 예제 3은 2차 베지어 곡면이다.
Figure 9는 3개의 예제 자유곡면과 토러스 패치 집합으로 감싼 모습을 나타낸다. 토러스 패치들의 구별을 위해, 각 토러스 패치들이 임의의 색으로 렌더링 되도록 하였다. Figure 9(a)는 주곡률이 양인 자유곡면이며, Figure 9(b)-(c)는 주 곡률이 양과 음인 지점을 모두 포함하는 자유곡면이다.

이론/모형

자유곡면을 근사하는 토러스는 Liu 등[15]의 방법을 이용하여 생성한다. 자유곡면 S(%7;)와 토러스 근사에 사용할 자유곡면 위의 점 (%, 如)가 주어졌을 때 곡면 위의 점 P = S(u0, Vo), 단위 법선벡터 N, 주곡률 宿危2, 그리고 주방향 ei, e2를 구한다.
토러스 패치 근사 기법을 이용하여 두 자유곡면의 교차곡선을 계산하였다. 향후 자유곡면에 속하는 토러스 패 치간의 상관관계를 파악하고, 토러스간 교차곡선을 계산하는 이전 연구들[39, 4 이을 확장할 수 있다.
Figure 8(a)는 예제 1 곡면(붉은색)과 이를 뒤집은 곡면(푸른색)을, Figure 8(b)는 예제 1 곡면과 예제 3 곡면을, Figure 8(c)는 예제 2 곡면과 예제 3 곡면을 서로 교차하게 만들고 토러스 패치만을 이용하여 교차곡선(노란색)을 계산한 결과이다. 토러스 패치 내부에서 교차곡선 점들의 추적을 위해 marching method와 subdivision method[37, 38]를 활용하였다. 교차곡선상의 점들은 두 자유곡면과의 거리가 IO* 이하이다.
토러스 패치를 疽개의 아주 작은 이중선형곡면으로 분할한 뒤, 앞서 구한 미분값들을 이용하여 Filip 등[33]의 방법에 따라 최대 근사오차를 측정할 수 있다.

성능/효과

측정하였다. 3개의 자유곡면 모두 최대근사오차가 10-6보다 작으므로, 자유곡면과 토러스 패치 집합간의 양방향하우스도르프 거 리가 10"보다 작음을 알 수 있다.
이 기법으로 생성한 토러스 패치 집합과 자유곡면 사이의 양방향하우스도르프 거 리가 근사오차한계 인 IO* 보다 작음을 보였다. 두 자유곡면의 교차곡선과 자유곡면의 오프셋 곡면을 모델링하여 토러스 패치의 정밀 근사를 이용한자유곡면의 기하학적 처리기법이 다양한 알고리즘의 개발에 활용될 수 있음을 보였다.
제안하였다. 이 기법으로 생성한 토러스 패치 집합과 자유곡면 사이의 양방향하우스도르프 거 리가 근사오차한계 인 IO* 보다 작음을 보였다. 두 자유곡면의 교차곡선과 자유곡면의 오프셋 곡면을 모델링하여 토러스 패치의 정밀 근사를 이용한자유곡면의 기하학적 처리기법이 다양한 알고리즘의 개발에 활용될 수 있음을 보였다.
이동행렬과 동일한 행렬이다. 이런 토러스의 성질로, 오프셋 한 토러스 패치 집합과 오프셋한 자유곡면간의 양방향 하우스도르프 거리의 상한은 입력 곡면과 토러스 패치 집합과의 양방향하우스도르프 거리의 상한과 같아 오프셋한 토러스 패치 집합의 최대 근사오차를 쉽게 계산할 수 있는 토러스 패치 근사 기법의 장점을 확인할 수 있다.
토러스 근사 기법의 근사정밀도를 측정하기 위하여 한 물체에서 다른 물체로의 하우스도르프 거 리와 그 반대의 하우스도르프 거리 중 최대값인 양방향(two-sided) 하우스도르프 거리를 이용할 수 있다. 토러스 패치 근사 기법으로 구한 토러스 패치 집합 과자 유곡면 간 양방향 하우스도르프 거리의 상한을 Filip 등[33]의 방법을 사용하여 구한 최대근사오차를 이용하여 측정하고, 이 값이 근사오차한계인 IO* 보다 작음을 보여 토러스 패치 집합이 자유곡면을 정 밀근사함을 입증하였다.
Figure 9(a)는 주곡률이 양인 자유곡면이며, Figure 9(b)-(c)는 주 곡률이 양과 음인 지점을 모두 포함하는 자유곡면이다. 토러스 패치가 자유곡면의 볼록, 오목 여부에 영향을 받지 않고 자유곡면을 잘근사함을 확인할 수 있다.

후속연구

이런 자가교차점이 발생하는 (%。)의 집합이 아주 복잡한 위상을 가지기 때문에, 기존의 그리드 기반 접근 방법으로는 해상도의 문제로 인하여 정밀도가 높게 문제를 해결하는 데 한계가 있었다. 이 문제에 토러스 패치 근사 기법을 활용한다면, 고정밀도의 계산을 효율적이고 안정적으로 수행할 수 있을 것이다. 이를 응용하여 오프셋 크기를 변수로 고려하여, 오프셋 곡면들로 구성되는 3차원 볼륨 모델링으로 결과를 확장할 수 있다.
이 곡면은 그 차수가 매우 높을 뿐만 아니라 근사오차를 측정하기 어려워 안정적인 알고리즘의 개발이 어려웠다. 이를 근사정밀도가 높은 토러스 패치 근사 기법을 사용하여 접근한다면 거리 계산 문제의 기 하학적 인 근사오차를 분석하는데 큰 장점 이 있을 것으로 예상된다.
또한 사각 메시를 이루는 면인 쌍선형곡면 (bilinear surface)은 항상 곡률이 음이므로, 자유곡면 중 곡률 이양인 부분을 표현하는데 한계가 있다. 이를 토러스 패치 근사 기법으로 접근한다면 향후 사각 메시에 대해서도 법벡터 정보를 유지하면서 매우 높은 근사정 밀도를 가질 것으로 예상한다. 이를 통하여 자유곡면과 사각 메시 사이에 적용되는 다양한 알고리즘 개발에 중요한 역할을 할 것으로 기대된다.
이를 토러스 패치 근사 기법으로 접근한다면 향후 사각 메시에 대해서도 법벡터 정보를 유지하면서 매우 높은 근사정 밀도를 가질 것으로 예상한다. 이를 통하여 자유곡면과 사각 메시 사이에 적용되는 다양한 알고리즘 개발에 중요한 역할을 할 것으로 기대된다.
향후 자유곡면에 속하는 토러스 패 치간의 상관관계를 파악하고, 토러스간 교차곡선을 계산하는 이전 연구들[39, 4 이을 확장할 수 있다. 이를 통해 더욱 정밀한 두 자유곡면의 교차 곡선을 계산하고, 접하는 곡면들 사이의 교차곡선 계산 등 수치적으로 대단히 불안정한 경우의 문제들을 해결할 수 있을 것으로 기대된다.

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10.1007/978-3-540-79246-8_15 G. Elber and T. Grandine, “Hausdorff and Minimal Distances between Parametric Freeforms in ℝ2 and ℝ3,” in International Conference on Geometric Modeling and Processing, 2008, pp. 191-204. 10.1007/978-3-540-79246-8_15

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저자의 다른 논문 :

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표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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