[논문]암반단열에서 비선형유동이 발생하는 임계 레이놀즈수

김다혜; 여인욱

doi:10.9719/eeg.2019.52.4.291

암반단열에서 비선형유동이 발생하는 임계 레이놀즈수
Critical Reynolds Number for the Occurrence of Nonlinear Flow in a Rough-walled Rock Fracture 원문보기

자원환경지질 = Economic and environmental geology, v.52 no.4, 2019년, pp.291 - 297

김다혜 (전남대학교 지구환경과학부) , 여인욱 (전남대학교 지구환경과학부)

초록
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단열을 통한 유체의 유동은 선형유동이 우세하다는 가정아래 Navier-Stokes 방정식에서 유도된 Stokes 방정식, Reynolds 식(또는 local cubic law), cubic law 와 같은 방정식을 이용하여 해석되고 있다. 하지만 이러한 방정식은 선형 흐름에 국한되며, 비선형 유동영역에 적용하게 되면 오류가 발생한다. 본 연구에서는 레이저 계측기를 이용하여 정밀하게 측정한 3차원 단열 자료와 Navier-Stokes 방정식과 Stokes 방정식을 지배방정식으로 한 수치모델링을 수행함으로써 비선형 유동이 일어나는 현상과 임계 레이놀즈수를 제시하였다. 레이놀즈수가 10이상이 되면 유속의 제곱에 비례하는 관성력이 점성력을 충분히 압도할 정도로 커지면서 지하수 유동이 선형영역에서 비선형 유동영역으로 전환되는 것으로 분석되었다. 이는 평균 간극과 거친 정도가 다른 두 단열에서 모두 동일하게 나타났다. 비선형 유동의 발생기작은 소용돌이 구조의 발생과 성장에 의한 것으로 알려져 있지만, 본 연구결과 단순히 소용돌이 구조가 비선형 유동을 일으키는 아니라 유속이 증가하면서 관성력의 영향이 훨씬 큰 영향을 끼치게 되어 비선형 유동이 발생하는 것으로 나타났다.

Abstract ▼ AI-Helper

Fluid flow through rock fractures has been quantified using equations such as Stokes equations, Reynolds equation (or local cubic law), cubic law, etc. derived from the Navier-Stokes equations under the assumption that linear flow prevails. Therefore, these simplified equations are limited to linear flow regime, and cause errors in nonlinear flow regime. In this study, causal mechanism of nonlinear flow and critical Reynolds number were presented by carrying out fluid flow modeling with both the Navier-Stokes equations and the Stokes equations for a three-dimensional rough-walled rock fracture. This study showed that flow regimes changed from linear to nonlinear at the Reynolds number greater than 10. This is because the inertial forces, proportional to the square of the fluid velocity, increased enough to overwhelm the viscous forces. This tendency was also shown for the unmated (slightly sheared) rock fracture. It was found that nonlinear flow was caused by the rapid increase in the inertial forces with increasing fluid velocity, not by the growing eddies that have been ascribed to nonlinear flow.

주제어

표/그림 (4)

$Fig. 1. Surface profile (left) and aperture distribution (right) of (a) the mated fracture and (b) the unmated fracture.$ 그림 Fig. 1. Surface profile (left) and aperture distribution (right) of (a) the mated fracture and (b) the unmated fracture.
$Table 1. Calculated Reynolds number and hydraulic aperture using the Navier-Stokes equations and the Stokes equations for mated and unmated fractures$ 표 Table 1. Calculated Reynolds number and hydraulic aperture using the Navier-Stokes equations and the Stokes equations for mated and unmated fractures
$Fig. 2. Velocity distribution (left column) and streamlines (right column) at (a) Re = 39.57 in the mated fracture and (b) Re = 36.51 in the unmated fracture. Streamlines are plotted near the circle-marked area.$ 그림 Fig. 2. Velocity distribution (left column) and streamlines (right column) at (a) Re = 39.57 in the mated fracture and (b) Re = 36.51 in the unmated fracture. Streamlines are plotted near the circle-marked area.
$Fig. 3. Transmissvity change as a function of Reynolds number for (a) the mated fracture and (b) the unmated fracture. Transmissvity is estimated by both the Navier-Stokes and the Stokes equations.$ 그림 Fig. 3. Transmissvity change as a function of Reynolds number for (a) the mated fracture and (b) the unmated fracture. Transmissvity is estimated by both the Navier-Stokes and the Stokes equations.

AI 본문요약
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문제 정의

본 연구에서는 Ji et al. (2008)과 Lee et al. (2010)에 의해 측정된 3차원 단열 자료를 이용하여 3차원 수리모델링을 수행하여 두 연구의 수리 실험결과와 비교함으로써 보다 신뢰성 있는 임계 레이놀즈수를 제시하고자 하였다. 이를 위해 비선형 유동과 관련된 관성력항을 제외하고 근본적으로 동일한 Navier-Stokes 방정식과 Stokes 방정식에 기반한 수치모델링을 수행한 후, 수리적 특성 중 투수량 계수의 차이가 나타나는 수리조건을 관성력이 지배하는 비선형 유동이 발생하는 임계 레이놀즈수로 제시하였으며, 이 결과를 기존 연구결과와 검토하여 그 타당성을 검토하였다.
이러한 방정식은 선형 흐름에 국한되기 때문에 그 적용한계가 되는 임계 레이놀즈수는 구하는 것은 매우 중요하다. 본 연구에서는 기존 연구에서 레이저 계측기를 이용하여 정밀하게 측정된 3차원단열 자료를 이용하여 수치모델링을 수행하여 비선형 유동이 발생하는 임계 레이놀즈수를 분석하고자 하였다. 관성력 항에 대한 차이만이 존재하는 NavierStokes 방정식과 Stokes 방정식을 사용하여 수치모델링을 수행함으로써 비선형 유동이 일어나는 현상을 규명하고, 임계 레이놀즈수를 제시하였다.

가설 설정

지하수 유동이 일어나는 다공성 매질은 흔히 균질한 등방성 매질로 가정한다(Freeze and Cherry, 1979). 그러나 결정질 암반의 경우, 암반에 존재하는 단열을 통해 지하수 흐름이 지배적으로 일어난다(Borgne etal.

제안 방법

본 연구에서는 기존 연구에서 레이저 계측기를 이용하여 정밀하게 측정된 3차원단열 자료를 이용하여 수치모델링을 수행하여 비선형 유동이 발생하는 임계 레이놀즈수를 분석하고자 하였다. 관성력 항에 대한 차이만이 존재하는 NavierStokes 방정식과 Stokes 방정식을 사용하여 수치모델링을 수행함으로써 비선형 유동이 일어나는 현상을 규명하고, 임계 레이놀즈수를 제시하였다.
단열의 벽면이 어긋나지 않은 경우(즉, 단열의 벽면이 일치하는 경우), 단열의 양 끝단에 0.1 – 130 Pa의 압력차가 발생하도록 경계조건을 설정하여 수치모델링을 수행하였다.
단열의 벽면이 일치하는 경우와 전단에 의해 단열면이 어긋난 경우에 대해 지하수 유동모델링을 수행하였다. 두 단열의 평균 간극과 단열의 상대적인 거칠기가 달랐지만, Re > 10에서 Navier-Stokes 방정식과 Stokes 방정식으로 계산한 투수량 계수의 비가 확연하게 차이가 났다.
여기서 상대적 거칠기는 표준편차와 평균 간극의 비로 나타낸다(Zimmerman and Bodvarsson, 1996). 상대적 거칠기가 다른 두 단열에 대해 수치모델링을 수행하여 임계레이놀즈수를 분석하였다.
수치 계산의 해상도와 용량을 고려하여 단열의 6 cm × 3 cm 일부분에 대해서만 수치모델링을 수행하였다(Fig. 1).
압력 경계조건을 조절하여 Re = 0.04 – 60인 조건에서 지하수 유동모델링을 수행하였다(Table 1).
(2008)은 강원도 원주의 한 채석장에서 단열이 포함된 화강암을 채취하여 유리 단열모형을21 cm × 12 cm의 크기로 제작하였다. 유리단열 사이에 실리콘을 이용하여 간극모형을 뜬 후, 레이저 계측기를 이용하여 양쪽 단열 표면과 간극을 측정하였다. 이단열의 평균 간극과 표준편차는 0.
이 단열의 상부 벽면을 1 mm 우측으로 이동시키고,0.5 mm 위로 올려 전단변위가 일어나 벽면이 서로 어긋난(unmated) 경우를 추가하여 수치모델링을 수행하였다(Fig. 1b). 이 어긋난 단열의 평균 간극과 표준편차는 1.
(2010)에 의해 측정된 3차원 단열 자료를 이용하여 3차원 수리모델링을 수행하여 두 연구의 수리 실험결과와 비교함으로써 보다 신뢰성 있는 임계 레이놀즈수를 제시하고자 하였다. 이를 위해 비선형 유동과 관련된 관성력항을 제외하고 근본적으로 동일한 Navier-Stokes 방정식과 Stokes 방정식에 기반한 수치모델링을 수행한 후, 수리적 특성 중 투수량 계수의 차이가 나타나는 수리조건을 관성력이 지배하는 비선형 유동이 발생하는 임계 레이놀즈수로 제시하였으며, 이 결과를 기존 연구결과와 검토하여 그 타당성을 검토하였다. 또한 암반단열에서 관성력(즉 가속도)에 의해 비선형 유동이 발생하는 기작을 설명하였다.

이론/모형

각 유속조건에서 Navier-Stokes 방정식과 Stokes방정식을 통해 계산된 유량과 cubic law (식 8)을 이용하여 수리간극(hydraulic aperture)을 계산하였으며, 수리간극을 이용하여 투수량 계수(transmissivity, T)를 산출하였다.
Navier-Stokes 방정식과 Stokes 방정식은 관성력에 관한 항을 제외하면 동일한 방정식이기 때문에, 선형과 비선형 유동을 구분하는데 이용될 수 있다. 두 지배방정식은 COMSOL Multiphysics라는 상업용 소프트웨어를 사용하여 계산하였다(COMSOL Multiphysics,2018). 압력 경계조건을 조절하여 Re = 0.

성능/효과

앞서 언급한 바와 같이, Stokes의 방정식은 Navier-Stokes 방정식에서 비선형 흐름과 관련된 관성력 항을 무시하고 유도된 방정식이다. 따라서 Navier-Stokes 방정식으로 계산된 투수량 계수가 Stokes 방정식의 투수량 계수보다 더 크게 감소하는 것은 관성력이 지배적인 유동이 된다는 것을 의미한다. 위의 식 (10)처럼, 유량이 작은 경우 오른쪽 두 번째 항은 의미가 없지만, 유량이 커지는 경우 에너지 손실이 더 커지기 때문에 암반단열의 투수량 계수는 더 작아지게 된다.
1 – 130 Pa의 압력차가 발생하도록 경계조건을 설정하여 수치모델링을 수행하였다. 이 때 단열의 평균유속을 이용하여 레이놀즈수를 계산하였으며, Navier-Stokes 방정식을 이용하여 계산한 레이놀즈수는 0.05에서 50.83의 범위를 보였다(Table 1). Fig.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	Stokes 방정식, Reymolds 식, cubiclaw와 같은 선형방정식을 사용하기 위한 적용 한계를 아는 것은 왜 중요한가?	따라서 점성력이 지배적인 선형 유동을 가정하여 Naview-Stokes 방정식으로부터 유도된 Stokes 방정식, Reynolds 식(local cubiclaw), 또는 cubic law 등이 암반단열의 지하수 유동해석에 사용되고 있다(Brush and Thomson, 2003;Oron and Berkowitz, 1998; Zimmerman and Yeo,2000). 이런 가정아래 유도된 방정식들은 근본적으로 선형 유동에 국한되어 적용된다. 점성력의 크기가 우세한 경우 유체는 선형 유동을 하는 반면, 유속이 증가함에 따라 관성력이 우세해지면 비선형 유동이 발생한다. 그러므로 Stokes 방정식, Reymolds 식, cubiclaw와 같은 선형방정식을 사용하기 위한 적용한계를 아는 것은 매우 중요하다.
	Navier-Stokes 방정식이란 무엇인가?	Navier-Stokes 방정식은 단일 단열에서의 점성을 가진 비압축성 유체의 운동을 기술하는 편미분방정식이다(Zimmerman and Bodvarsson, 1996). 하지만 Navier-Stokes 방정식의 관성력 항으로 인해 해석 해를 구하는 것은 매우 어렵다.
	Navier-Stokes 방정식의 해석 해를 구하는 것은 왜 어려운가?	Navier-Stokes 방정식은 단일 단열에서의 점성을 가진 비압축성 유체의 운동을 기술하는 편미분방정식이다(Zimmerman and Bodvarsson, 1996). 하지만 Navier-Stokes 방정식의 관성력 항으로 인해 해석 해를 구하는 것은 매우 어렵다. 따라서 점성력이 지배적인 선형 유동을 가정하여 Naview-Stokes 방정식으로부터 유도된 Stokes 방정식, Reynolds 식(local cubiclaw), 또는 cubic law 등이 암반단열의 지하수 유동해석에 사용되고 있다(Brush and Thomson, 2003;Oron and Berkowitz, 1998; Zimmerman and Yeo,2000).

저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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