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문제 정의
- 본 연구는 영재학급용 교수․학습 자료 개발을 위해 가변칠교판이라는 소재 발굴을 목적으로 한다. 특히 초등학교 영재학급 학생들이 가변칠교판을 이용하여 만들 수 있는 모든 삼각형과 직사각형을 찾는 과정을 영재학급에서의 실제 수업에 적용해 보면서 학생들의 문제 해결 과정과 사고 과정 분석에서 드러난 문제점을 바탕으로 보다 개선된 교수․학습 자료 개발에 기여할 수 있을 것으로 기대한다.
- 본 연구는 초등학교 영재학급용 교수・학습 자료 개발을 위해 전통칠교판을 개선한 가변칠교판이라는 소재를 발굴을 목적으로 한다. 이를 위해 “가변칠교판을 이용하여 만들 수 있는 모든 삼각형과 직사각형 찾아 설명하기”라는 탐구 과제를 설정하였다.
제안 방법
- 1차 수업으로 H초등학교 6학년 영재학급 학생 3명을 대상으로 실시하였고 수업 중에 드러나는 학생들의 활동을 분석한 후 수업자, 학생, 전문가 집단의 피드백을 거쳐 교수․학습 자료를 수정하고 2차 본 교수·학습 자료를 완성했다.
- 1차 수업 결과 분석을 토대로 개선한 2차 수업 자료는 <표 8>과 같다. 2차 수업 자료는 1차 현장 적용에서 발견되었던 문제점을 수정하고 불필요한 부분을 삭제하거나 활동지의 설명을 추가하였다. 1차 수업 자료와 달리 2차 수업 자료는 Dienes의 수학놀이학습모형으로 구성하였다.
- 활동 중에는 학생들끼리 토의를 하거나 의견을 나누고 정당화 과정을 활발하게 이루어지도록 유도하였다. 2차 수업도 1차 수업과 동일하게 3차시로 활동을 계획하였다. 하지만, 적용한 수학놀이학습모형이 달라지고 활동의 추가, 삭제되는 부분이 있어 활동 1, 활동 2, 활동 3의 각각의 활동 시간은 달라졌다.
- 가변칠교판을 이용한 초등학교 영재학급용 교수⦁학습 자료의 적용 가능성을 탐색하기 위해 우선 [그림 2]와 같이 국가영재교육프로그램 기준 (이희현 외 6인, 2017)의 절차를 따르되 그 절차를 간소화하여 사용하였다. 먼저 교육 대상자인 초등학교 영재학 급용 학생들의 특징을 파악하고 단위 학교 영재학급의 교육목표를 파악하고 가변칠교판을 이용한 교수⦁학습 자료의 개발을 위해 가변칠교판을 이용하여 만들 수 있는 모든 크기의 삼각형과 직사각형을 찾는 활동 주제를 설정하였다.
- ⑥과 ⑦번 조각을 이용해서 만들 수 있는 칠교판의 경우의 수는 3가지(큰 삼각형 2개, 큰 삼각형 1개와 큰 평행사변형 1개, 큰 평행사변형 2개)이고 ④와 ⑤번 조각을 이용해서 만들 수 있는 칠교판의 경우의 수는 3가지(중간 크기의 삼각형 2개, 중간 삼각형 1개와 중간 크기의 평행사변형 1개, 중간 크기의 평행사변형 2개)이므로 전통칠교를 포함하여 9세트의 가변 칠교판을 만들 수 있다. 가변칠교판의 종류를 나타내기 위해 변형 조각을 순서쌍(넓이가 2인 변형 조각, 넓이가 2인 변형 조각 ; 넓이가 1인 변형 조각, 넓이가 1인 변형 조각)으로 나타내고 조각의 모양이 삼각형일 때는 3, 평행사변형일 때는 4로 기호화하였다. 예를 들어, 전통칠교판은 [그림 3]와 같이 넓이가 2인 직각삼각형이 2개, 넓이가 1인 직각삼각형이 1개, 넓이가 1인 평행사변형이 1개이므로 (3,3;3,4)가 된다.
- 이를 위해 “가변칠교판을 이용하여 만들 수 있는 모든 삼각형과 직사각형 찾아 설명하기”라는 탐구 과제를 설정하였다. 국가영재 교육프로그램 기준에 따라 영재교육진흥법에 의거 개설된 제주지역 구도심권 소재 영재학급 학생 3명을 대상으로한 모둠 학습 형식의 1차 현장 적용과 교육 환경이 비슷한 인근 학교의 영재학급 1개반(학생 15명)을 대상으로 한 2차 현장 적용을 통해 영재 교수・학습 자료로서의 적절성 검토를 위한 분석 기준에 따라 수업 자료를 분석하였다. 그 결과 다음의 두 가지 결론을 얻었다.
- Polya의 문제해 결학습모형에서는 ‘기호화’, ‘정당화’의 과정이 강조되어 있지 않다. 따라서 2차 적용 시 학습 모형을 Dienes의 수학놀이학습모형으로 변형을 해서 기호화, 형식화를 강조한 프로그램으로 재구성하였다.
- 따라서 최종 교수・학습 자료는 Dienes의 수학놀이학습 단계 중 자유놀이는 생략하고‘규칙놀이-비교(공통성 탐구)-표현(표상)-기호화-형식화’단계로 구성하였고 기호의 탐구 활동은 활동 2, 활동 3의 정당화하는 부분에서 기호화에 어려움을 겪는 학생들에게 교사가 제시할 수 있도록 보충학습지 형태로 수정하였다.
- 전문가 집단의 의견을 종합해서 √2를 ‘ㄷ’, 2√2를 ‘ㄷ×2’, 3√2를 ‘ㄷ×3’, 4√2를 ‘ㄷ×4’로 약속해서 2차 실험에서 적용하였다. 또 기호에 대한 탐구가 부족한 측면에서는 활동 1 가변칠교판의 특징 알기에서 조각들의 특징을 파악할 때 기호에 대한 탐구 활동을 추가로 넣도록 수정하였다. 2차 적용에서는 학생들이 스스로 기호화하고 ‘ㄷ’으로 약속한 후에 기호를 탐구하는 활동을 추가하였다.
- 가변칠교판을 이용한 초등학교 영재학급용 교수⦁학습 자료의 적용 가능성을 탐색하기 위해 우선 [그림 2]와 같이 국가영재교육프로그램 기준 (이희현 외 6인, 2017)의 절차를 따르되 그 절차를 간소화하여 사용하였다. 먼저 교육 대상자인 초등학교 영재학 급용 학생들의 특징을 파악하고 단위 학교 영재학급의 교육목표를 파악하고 가변칠교판을 이용한 교수⦁학습 자료의 개발을 위해 가변칠교판을 이용하여 만들 수 있는 모든 크기의 삼각형과 직사각형을 찾는 활동 주제를 설정하였다. 이를 위해 우선 초등학교 정규 교육과정을 분석하면서 현행 교육과정에서 5-1학기에 학습하는 도형의 넓이, 5-2학기에 학습하는 도형의 대칭과 합동, 모든 크기의 삼각형과 직사각형 찾기 활동에서는 넓이, 대칭, 합동의 수학적 개념을 모두 알고 있어야하기 때문에 선행학습을 최소화하기 위해서는 5-2학기 이후 이 프로그램을 적용하는 것이 적합하다는 전제 하에 교육 과정과 가변칠교판 교구를 분석한 후에 교수⦁학습 자료의 원형을 개발하였다.
- 다. 연구 대상자가 3명으로 모든 활동은 개인별 활동으로 이루어졌고 총 3차시로 구성하였다. 총 3차시지만 활동의 진행에 따라 활동 1, 활동 2, 활동 3의 활동 시간을 달리하였다.
- 두 차례의 현장 적용 수업을 통해 개선한 최종 교수․학습 자료의 활동 내용은 <표 11>과 같다. 이 자료는 Dienes의 수학놀이학습모형에 기반하여 자료를 개발하였다. 활동 1은 0.
- 이를 위해 “가변칠교판을 이용하여 만들 수 있는 모든 삼각형과 직사각형 찾아 설명하기”라는 탐구 과제를 설정하였다.
- 먼저 교육 대상자인 초등학교 영재학 급용 학생들의 특징을 파악하고 단위 학교 영재학급의 교육목표를 파악하고 가변칠교판을 이용한 교수⦁학습 자료의 개발을 위해 가변칠교판을 이용하여 만들 수 있는 모든 크기의 삼각형과 직사각형을 찾는 활동 주제를 설정하였다. 이를 위해 우선 초등학교 정규 교육과정을 분석하면서 현행 교육과정에서 5-1학기에 학습하는 도형의 넓이, 5-2학기에 학습하는 도형의 대칭과 합동, 모든 크기의 삼각형과 직사각형 찾기 활동에서는 넓이, 대칭, 합동의 수학적 개념을 모두 알고 있어야하기 때문에 선행학습을 최소화하기 위해서는 5-2학기 이후 이 프로그램을 적용하는 것이 적합하다는 전제 하에 교육 과정과 가변칠교판 교구를 분석한 후에 교수⦁학습 자료의 원형을 개발하였다. 핵심 주제어로는 ‘다각형의 구성 요소’, ‘대칭’, ‘등적변형’으로 선정하고 학습 목표를 설정하였다.
- 전문가 집단의 의견을 종합해서 √2를 ‘ㄷ’, 2√2를 ‘ㄷ×2’, 3√2를 ‘ㄷ×3’, 4√2를 ‘ㄷ×4’로 약속해서 2차 실험에서 적용하였다.
- 핵심 주제어로는 ‘다각형의 구성 요소’, ‘대칭’, ‘등적변형’으로 선정하고 학습 목표를 설정하였다.
- 하지만, 적용한 수학놀이학습모형이 달라지고 활동의 추가, 삭제되는 부분이 있어 활동 1, 활동 2, 활동 3의 각각의 활동 시간은 달라졌다. 활동 1에서는 칠교판에 익숙하지 않은 학생들도 있어 가변칠교판을 충분히 파악하기 위해 다양한 짝 게임 활동을 통해 조각의 특징에 대한 이미지가 형성되도록 하였고, 활동 2와 활동 3은 각각 1시수(40분)씩에 걸쳐 가변칠교판으로 크기가 다른 삼각형과 직사각형의 모두 만들어보고 분류하면서 모두 찾았다는 것을 정당화하는 활동으로 구성하였다.
- 총 3차시지만 활동의 진행에 따라 활동 1, 활동 2, 활동 3의 활동 시간을 달리하였다. 활동 1은 0.5시수(20분)에 걸쳐 진행되었고 과제를 설명하고 칠교판 조각의 성질을 탐구하는 활동을 했다. 활동 2는 1시수(40분)에 걸쳐 진행되고 가변칠교판으로 크기가 다른 모든 삼각형의 개수를 만들어보고 분류하며 모든 삼각형을 찾았다는 것을 정당화하는 활동으로 구성하였다.
- 5시수(20분)에 걸쳐 진행되었고 과제를 설명하고 칠교판 조각의 성질을 탐구하는 활동을 했다. 활동 2는 1시수(40분)에 걸쳐 진행되고 가변칠교판으로 크기가 다른 모든 삼각형의 개수를 만들어보고 분류하며 모든 삼각형을 찾았다는 것을 정당화하는 활동으로 구성하였다. 활동 3은 1.
- 5시수(20분)에 걸쳐 진행되었고 과제를 설명하고 칠교판 조각의 성질을 탐구하는 활동을 했다. 활동 2는 1시수(40분)에 걸쳐 진행되고 가변칠교판으로 크기가 다른 모든 삼각형의 개수를 만들어보고 분류하며 모든 삼각형을 찾았다는 것을 정당화하는 활동으로 구성하였다. 활동 3은 1.
- 활동 2는 1시수(40분)에 걸쳐 진행되고 가변칠교판으로 크기가 다른 모든 삼각형의 개수를 만들어보고 분류하며 모든 삼각형을 찾았다는 것을 정당화하는 활동으로 구성하였다. 활동 3은 1.5시수(60분)로 진행되고 가변칠교판으로 크기가 다른 모든 직사각형의 개수를 찾고 분류하며 모든 직사각형을 찾았다는 것을 정당화하는 활동으로 구성하였다.
- 회전하는 조각들과 회전축, 회전 후 조각의 모양을 로 정리하였다.
대상 데이터
- 2차 수업으로 N초등학교 6학년 영재 학급 학생 15명을 대상으로 교수·학습 자료를 투입하고 학생들의 활동을 분석한 후 최종 교수·학습 자료를 완성했다.
이론/모형
- 본 연구를 위해 적용해본 수업 모형은 ‘기호화’ 단계가 들어있는 Dienes의 수학놀이학습 6단계 모형이다.
- 연구 자료는 영재학급 학생들이 수행한 학습지, 연구자의 참여 관찰, 비디오 촬영, 녹음, 특정 대답을 보인 학생에 대한 면담을 통해 수집하고 삼각분석법을 통해 분석을 실시하되 개발한 최종 교수⦁학습 자료가 개발 준거와 방향에 적합한지 판단하기 위해 소재는 다르지만 연구 방법이 비슷한 한송이(2015)의 을 본 연구의 분석 기준으로 삼았다.
성능/효과
- 1차 실험 결과 가변칠교판으로 만들 수 있는 직사각형을 모두 찾았다는 것을 정당화하기 위해서는 반드시 ‘기호화’의 과정이 필요하다는 것을 알 수 있었다.
- 그러나 이 수치를 대신할 적절한 기호를 사용함으로써 ‘가변칠교판을 활용한 크기가 다른 모든 삼각형과 직사각형 찾기’ 과제를 해결하고 정당화(설명)할 수 있었다.
- 기호는 학생들이 그 기호의 필요성을 느낄 때 제공하여야 한다. 두 차례의 수업을 통해 기호의 필요성을 느끼지 못한 채 기호를 탐구하면 주어진 문제는 형식적으로 일부 해결할 수 있지만 정당화 과정에서 기호를 제대로 활용할 수 없음을 확인하였다. 정당화 과정에서 기호의 필요성을 느낄 때 보충자료의 형태로 기호에 대한 약속 및 탐구 활동이 이루어졌다.
- 둘째, 문자와 √2라는 기호에 익숙하지 않은 초등학교 영재학급 학생들은 가변칠교판을 활용한 다각형 탐구에서 변의 길이에 대한 정당화 활동에 어려움을 겪었으나 기호화 단계를 거쳐 그 어려움을 일부 해소할 수 있었다.
- 둘째, 문자와 √2라는 기호에 익숙하지 않은 초등학교 영재학급 학생들은 가변칠교판을 활용한 다각형 탐구에서 변의 길이에 대한 정당화 활동에 어려움을 겪었으나 기호화 단계를 거쳐 그 어려움을 일부 해소할 수 있었다. 모든 크기의 삼각형, 직사각형 찾기 활동은 Dienes의 수학놀이학습 6단계 모형의 기호화 단계를 거칠 때 학습 목표에 도달하고 수학적 추론(정당화)에 필요한 수학적 의사소통이 가능해짐을 확인하였다.
- 본 프로그램은 등적변형하면서 다양한 다각형(특히, 모든 삼각형과 직사각형)을 만들어 기 정당화하기, 이미 알고 있는 것으로부터 유추하기, 기호화를 통한 수학적 의사소통하기 등을 목표로 하는 교수·학습 자료로 활용이 가능함을 확인하였다.
- 첫째, 가변칠교판은 전통칠교판에 익숙했던 초등학교 영재학급 학생들에게 확장 가능성 및 수학적 의사소통이라는 방법적 측면과 다각형의 변의 길이와 넓이, 대칭성 등의 성질 이해에 유용한 소재임을 확인하였다.
- 첫째, 영재학급에서 가변칠교판을 이용한 교수·학습 자료를 활용할 경우 활동을 재구성하거나 가감하여 활용할 수 있다.
후속연구
- 둘째, 가변칠교판과 관련한 보다 다양한 수업 아이디어와 더불어 영재들의 핵심 역량을 신장시킬 수 있는 프로그램의 개발도 가능할 것으로 기대한다.
- 둘째, 선행학습을 하지 않은 초등학교급 단위학교 영재학급 수준에서 형식화 단계의 경험을 위해 어느 정도의 수학적 추론(정당화)과 수학적 의사소통이 가능하도록 하려면 그에 앞선 기호화 단계가 필요하고 문자와 기호에 대한 탐구 과정을 담은 보충 학습 자료의 제공이 필요하다.
- 하나의 예로 가변칠교판의 종류에 따라 만들 수 있는 삼각형, 직사각형, 볼록다각형의 개수가 다른 이유를 경우의 수를 이용하여 연역적으로 정당화할 수 있다. 또 본인이 교구 제작자라고 가정할 때 가변칠교판 중에서 어떤 모양을 대표적인 이미지로 제공할지, 왜 그렇게 생각하는지 토론해보는 의사결정 중심의 활동을 할 수도 있을 것이다.
- 첫째, 영재학급에서 가변칠교판을 이용한 교수·학습 자료를 활용할 경우 활동을 재구성하거나 가감하여 활용할 수 있다. 본 연구는 국가수준 영재교육 프로그램 기준에서 제안하는 기본 수준과 발전 수준에 해당하는 활동만 개발하였으나 추상적, 형식적인 수준의 깊이 있는 수학적 활동을 추가하여 확장 수준까지 범위를 확대한 단위프로그램을 개발할 수도 있을 것으로 기대한다. 유재근, 박문환(2019b)이 제안한 개방형 과제는 영재교육에서 이미 많이 사용하고 있는 방법이지만 특히 유재근, 박문환(2019a)의 변이 이론에 따른 여러 조각들의 변의 길이와 넓이 사이의 관계를 이용하면 수학적 정당화가 용이해 질 수도 있다.
- 가변칠교판은 전통칠교판보다 다양한 경우의 수까지 고려해야 한다는 점에서 난도가 높다. 수업 시수의 제한으로 현장 적용을 생략하거나 축소했지만 가변칠교판 조각으로 만들 수 있는 모든 경우의 수(9종)를 직접 탐구한다거나 그 9가지 유형 중에서 어떤 유형으로 이루어진 가변칠교판이 삼각형, 직사각형, 볼록다각형을 가장 많이 만들 수 있는지의 증명(수학적 정당화)을 통해 고등수학적 추론능력, 해법에서 내부 선부의 수 가장 적은 깔끔한 해법은 무엇인지를 통해 수학적 태도 및 실천의지력, 어떤 유형의 가변칠교판을 대표적인 이미지로 할지를 모둠 토론을 거쳐 학급 토론으로 결정하는 의사소통능력 동에도 활용할 수 있을 것이며 가변성을 정사각형 칠교판뿐 아니라 정삼각형 칠교판(스핑크스퍼즐)에 적용하여 새로운 교구를 개발하는 창의적 문제해결력의 신장을 기대한다.
- 첫째, 가변칠교판을 이용한 활동(모든 삼각형과 직사각형을 찾아 설명하기)은 3차시(120분) 분량의 초등학교 영재학급용 탐구과제형 교수․학습 자료의 소재로 활용이 가능하다.
- 본 연구는 영재학급용 교수․학습 자료 개발을 위해 가변칠교판이라는 소재 발굴을 목적으로 한다. 특히 초등학교 영재학급 학생들이 가변칠교판을 이용하여 만들 수 있는 모든 삼각형과 직사각형을 찾는 과정을 영재학급에서의 실제 수업에 적용해 보면서 학생들의 문제 해결 과정과 사고 과정 분석에서 드러난 문제점을 바탕으로 보다 개선된 교수․학습 자료 개발에 기여할 수 있을 것으로 기대한다.
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