[논문]다변량 지수평활모형을 이용한 환율 분석

이연하; 성병찬

doi:10.5351/kjas.2020.33.3.257

다변량 지수평활모형을 이용한 환율 분석
Multivariate exponential smoothing models with application to exchange rates 원문보기

응용통계연구 = The Korean journal of applied statistics, v.33 no.3, 2020년, pp.257 - 267

초록
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본 논문은 단변량 지수평활법의 확장된 형태인 다변량 지수평활법을 소개하고 다변량 시계열 분석에 활용한다. 다변량 지수평활법은 한 개의 오차를 기반으로 하는 상태공간모형을 이용하여 추정의 편리성을 제고하며, 다변량 시계열간의 잠재적인 상호연관성을 활용하여 적합도 및 예측력을 향상시킨다. 다변량 지수평활법의 성능을 평가하기 위하여 월별 원/달러 및 원/파운드 환율자료를 분석하고 예측한다. 대안 모형의 예측 결과와 비교하여 다변량 지수평활법의 우수성을 확인한다.

Abstract ▼ AI-Helper

We introduce multivariate exponential smoothing models based on a vector innovations structural time series framework. The models enable us to exploit potential inter-series dependencies to improve the fit and forecasts of multivariate (vector) time series. Models are applied to forecast the exchange rates of the UK pound (UKP) and US dollar (USD) against the Korean won (KRW) observed on monthly basis; subseqently, we compare their performance with alternative models. We observe that the multivariate exponential smoothing models are superior to alternatives.

주제어

표/그림 (8)

그림 Figure 4.1. US and UK monthly exchange rates with dual Y axis.
그림 Figure 4.2. MAPE for forecasting by 8 competing models.
그림 Figure 4.3. RMSE for forecasting by 8 competing models.
그림 Figure 4.4. MASE for forecasting by 8 competing models.
표 Table 4.1. MAPE for some selected forecast horizons
표 Table 4.2. RMSE for some selected forecast horizons
표 Table 4.3. MASE for some selected forecast horizons
그림 Figure 4.5. Average rank scores across all forecast horizons for 8 competing models.

AI 본문요약
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문제 정의

본 논문에서는 다변량 지수평활모형을 소개하고 실증분석을 통하여 그 예측성능을 평가하였다. 다변량 지수평활모형은 단변량 지수평활법을 다변량 시계열 자료의 모형화를 위하여 확장한 기법이다.

제안 방법

예를 들어, 1–3의 이름표를 가진 열은 예측시점 1부터 3시점까지의 3개 예측성능을 평균한 것이다. 결과를 쉽게 알아보기 위해 가장 작은 예측성능의 값을 가지는 경우 밑줄을 긋고 진하게 처리하였다.
이 모형은 변량들의 잠재적인 상호의존성을 포착하여 다변량 시계열의 적합도 및 예측성능을 향상시키며, 직관적이고 손쉽게 사용할 수 있다는 장점을 가지고 있다. 다변량 지수평활모형과 대안모형을 이용하여 원/달러환율과 원/파운드환율로 구성된 시계열 자료에 적합하고 모형들의 예측성능을 비교하였다. 대안모형으로는 단변량 지수평활모형과 VAR, ARIMA 모형을 사용하였다.
본 논문에서는 이 모형을 다변량 지수평활모형이라고 부르기로 한다. 본 논문에서는 다변량 지수평활모형을 소개하고, 환율자료에 적용한다. 이 모형은 시계열의 움직임을 수준(level) 및 추세와 같은 비관측 요소들로 표현한다.
그 후 보류해 둔 관측치 중 가장 오래된 관측치 한 개씩을 훈련자료에 추가하고 다시 예측시점에 대한 예측치를 생성한다. 본 논문에서는 이 과정을 50번 반복하여 한 개의 예측시점에 대하여 총 50개씩의 반복된 예측치를 만들었다.
본 장에서는, 2장에서 소개한 대안모형과 3장에서 소개한 다변량 지수평활모형을 이용하여 환율자료를 예측하고 예측성능을 비교한다. 즉, 단변량 지수평활 3가지(ULL, ULT, UDLT)와 ARIMA, VAR 모형의 총 5가지 모형을 비교 대상으로 삼았다.

대상 데이터

모형적합을 위한 훈련자료(training set)의 기간은 1964년 5월부터 2013년 8월까지이며, 예측성능평가를 위한 검증자료(test set)의 기간은 2013년 9월부터 2019년 10월까지 6년 2개월간의 자료를 사용하였다. 분산 안정화를 위해 모형 적합 전 자료에 로그 변환을 하였으며, 자료는 한국은행 경제통계시스템(https://ecos.
본 논문은 총 5장으로 구성되어 있다. 2장에서는 대안모형으로서 기존 모형인 단변량 지수평활모형 및ARIMA 모형을 살펴본다.
실증분석에 사용된 자료는 미국 달러와 영국 파운드에 대한 원화 환율의 월평균 자료이며, 기간은 1964년 5월부터 2019년 10월까지의 666개월을 대상으로 하였다. Figure 4.
본 장에서는, 2장에서 소개한 대안모형과 3장에서 소개한 다변량 지수평활모형을 이용하여 환율자료를 예측하고 예측성능을 비교한다. 즉, 단변량 지수평활 3가지(ULL, ULT, UDLT)와 ARIMA, VAR 모형의 총 5가지 모형을 비교 대상으로 삼았다.
평가의 정확도 향상을 위해 확장창 또는 롤링 원점 방법(expanding window or rolling origin approach)을 사용하였다. 총 관측치 666개 중 마지막 관측치 74개를 보류하고 나머지 592개의 훈련자료를 이용하여 1개월부터 24개월 미래 예측시점까지 예측치를 생성한다. 그 후 보류해 둔 관측치 중 가장 오래된 관측치 한 개씩을 훈련자료에 추가하고 다시 예측시점에 대한 예측치를 생성한다.

데이터처리

각 모형의 예측성능을 평가하기 위해 평균절대백분율오차(mean absolute percentage error; MAPE)와제곱근평균제곱오차(root mean square error; RMSE), 평균절대척도오차(mean absolute scaled error;MASE)를 사용하였다. MAPE는 예측성능을 오차의 백분율로 표시하므로 쉽게 이해할 수 있다는 장점이 있다.
평균순위값이 작을수록 모형의 예측성능이 우수함을 의미한다. 표의 정렬은 모형의 평균순위값을 기준으로 하여 오름차순으로 정렬하였다.

이론/모형

Harvey (1990)는 Jones의 다변량 지수평활법을 근간으로 한 구조 시계열 모형을 제안했다. Harvey의 모형은 추세(trend)와 주기(cycle), 계절성(seasonality)에 상응하는 상태벡터들(state vectors)을 표현하며, 모형 안의 각 상태방정식은 서로 독립인 다중오차들(multiple sources of error)을 사용한다.
다변량 지수평활모형은 De Silva 등 (2010)이 제안한 벡터 이노베이션 구조 시계열 형태(vector innovations structural time series framework; VISTS)의 형태로서 다음과 같은 상태공간모형으로 표현될 수 있다.
다변량 지수평활모형을 이용한 예측은 R의 smooth 패키지 (Svetunkov, 2019), VAR은 vars 패키지 (Pfaff, 2008), 나머지 다른 모형들은 forecast 패키지 (Hyndman 등, 2019)를 이용하였다. 모든 ARIMA 모형에서 최적 모형의 선택은 corrected Akaike information criterion (AICc) 정보량을 기준으로 결정하였다.
다변량 지수평활모형과 대안모형을 이용하여 원/달러환율과 원/파운드환율로 구성된 시계열 자료에 적합하고 모형들의 예측성능을 비교하였다. 대안모형으로는 단변량 지수평활모형과 VAR, ARIMA 모형을 사용하였다. 결과적으로 이변량 환율자료예측에 있어 다변량 지수평활모형이 경쟁모형에 비하여 상대적으로 우수한 예측성능을 보여주었다.
다변량 지수평활모형을 이용한 예측은 R의 smooth 패키지 (Svetunkov, 2019), VAR은 vars 패키지 (Pfaff, 2008), 나머지 다른 모형들은 forecast 패키지 (Hyndman 등, 2019)를 이용하였다. 모든 ARIMA 모형에서 최적 모형의 선택은 corrected Akaike information criterion (AICc) 정보량을 기준으로 결정하였다. 특히, 원/달러 환율자료 분석을 위한 ARIMA 모형은 ARIMA(0, 1, 1)×(0, 0, 1)s=12,원/파운드 환율자료분석을 위해서 ARIMA(0, 1, 1) 모형이 사용되었으며, VAR 모형에서는 최적 모형으로 VAR(3) 모형이 사용되었다.
모수의 추정은 최대가능도추정법(maximum likelihood estimation)을 사용하며, 미지의 모수벡터 θ와 상태벡터의 초기값 x0를 추정하기 위한 로그우도함수는 아래와 같이 표현된다.
Anderson과 Moore (1979)는 이노베이션 상태공간모형을 제안했다. 이것은 단일오차(single sources of error)만을 사용하며 모형의 추정은 최대우도법을 사용한다. Snyder (1985)는 이노베이션 상태공간모형과 지수평활법 사이의 관련성을 입증했다.
특히, 원/달러 환율자료 분석을 위한 ARIMA 모형은 ARIMA(0, 1, 1)×(0, 0, 1)s=12,원/파운드 환율자료분석을 위해서 ARIMA(0, 1, 1) 모형이 사용되었으며, VAR 모형에서는 최적 모형으로 VAR(3) 모형이 사용되었다.
평가의 정확도 향상을 위해 확장창 또는 롤링 원점 방법(expanding window or rolling origin approach)을 사용하였다. 총 관측치 666개 중 마지막 관측치 74개를 보류하고 나머지 592개의 훈련자료를 이용하여 1개월부터 24개월 미래 예측시점까지 예측치를 생성한다.

성능/효과

5는 모형들 간의 평균순위를 용이하게 비교하기 위해 그림으로 표현한 것이다. 이를 통하여 다음과 같은 3가지 점들은 흥미로운 결과이며, 이는 추후 좀더 면밀한 검토가 필요한 부분이라고 보여진다; (i) 다변량 지수평활모형 중에서 VLT 모형의 성능이 좋지 않은 점, (ii) 단변량 지수평활모형임에도ULL 모형은 VDLT와 유사한 예측 성능을 보이는 점, (iii) VAR는 다변량 모형임에도 불구하고 성능이 아주 좋지 않은 점.
대안모형으로는 단변량 지수평활모형과 VAR, ARIMA 모형을 사용하였다. 결과적으로 이변량 환율자료예측에 있어 다변량 지수평활모형이 경쟁모형에 비하여 상대적으로 우수한 예측성능을 보여주었다.
특히 VDLT 모형은 다른 경쟁모형과 비교할 때 가장 우수한 예측성능을 보여준다. 국소수준모형인 VLL과 ULL은 대체로 비슷한 예측 성능을 보이고 있으며 국소추세모형인 VLT와 ULT 또한 비슷한 성능을 보였다.
3를 통해서 볼 때, VDLT 모형은 예측시점이 1일 때와 예측시점 구간이 1–3일 때를 제외하고는 모든 예측시점 및 구간에서 가장 좋은 예측성능을 가진다. 또한 평균순위에 따르면 8가지 경쟁모형 중 VDLT 모형이 가장 우수한 예측성능을 보여주고 있고, 뒤이어 ULL과 VLL 모형순으로 좋은 예측성능을 보여주고 있다. 감쇠모형을 제외하고는 각 모형들은 종류별로 예측성능이 그룹화되는 경향을 보인다.
감쇠모형을 제외하고는 각 모형들은 종류별로 예측성능이 그룹화되는 경향을 보인다. 예측성능은 VDLT, 국소수준모형 2가지, (벡터) ARIMA 모형 2가지, UDLT, 국소추세모형 2가지의 순서로 좋은 것으로 나타났다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	다변량 지수평활모형이란?	본 논문에서는 다변량 지수평활모형을 소개하고 실증분석을 통하여 그 예측성능을 평가하였다. 다변량 지수평활모형은 단변량 지수평활법을 다변량 시계열 자료의 모형화를 위하여 확장한 기법이다. 이 모형은 변량들의 잠재적인 상호의존성을 포착하여 다변량 시계열의 적합도 및 예측성능을 향상시키며, 직관적이고 손쉽게 사용할 수 있다는 장점을 가지고 있다.
	다변량 지수평활모형에서 모수의 추정 방법은?	다변량 지수평활모형에서 계수행렬 H와 F, G와 공분산행렬 Σ는 모수 θ를 구성한다. 모수의 추정은 최대가능도추정법(maximum likelihood estimation)을 사용하며, 미지의 모수벡터 θ와 상태벡터의 초기값 x0를 추정하기 위한 로그우도함수는 아래와 같이 표현된다.
	다변량 지수평활모형의 장점은?	이 모형은 시계열의 움직임을 수준(level) 및 추세와 같은 비관측 요소들로 표현한다. 또한 단일오차만을 사용하기 때문에 구현이 간단하고 유용한 도구이다.

참고문헌 (12)

Anderson, B. D. and Moore, J. B. (1979). Optimal Filtering, Englewood Cliffs, New Jersey.
Box, G. E. P. and Jenkins, G. (1976). Time Series Analysis: Forecasting and Control, Holden-Day, Oakland.
Brown, R. G. (1959). Statistical forecasting for inventory control. McGraw/Hill.
De Silva, A., Hyndman, R. J., and Snyder, R. (2010). The vector innovations structural time series framework: a simple approach to multivariate forecasting, Statistical Modelling, 10, 353-374.

상세보기
Harvey, A. C. (1990). Forecasting, Structural Time Series Models and the Kalman Filter, Cambridge University Press, Cambridge.
Hyndman, R. J. and Athanasopoulos, G. (2018). Forecasting: Principles and Practice (2nd ed), OTexts, Lexington.
Hyndman, R. J., Athanasopoulos, G., Bergmeir, C., Caceres, G., Chhay, L., O'Hara-Wild, M., Petropoulos, F., and Razbash, S. (2019). forecast: Forecasting functions for time series and linear models. R package version 8.10, URL http://pkg.robjhyndman.com/forecast.
Jones, R. H. (1966). Exponential smoothing for multivariate time series, Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 28, 241-251.
Pfaff, B. (2008). VAR, SVAR and SVEC models: implementation within R Package vars, Journal of Statistical Software, 27. URL http://www.jstatsoft.org/v27/i04/
Sims, C. A. (1980). Macroeconomics and reality, Econometrica, 48, 1-48.

상세보기
Snyder, R. D. (1985). Recursive estimation of dynamic linear models, Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 47, 272-276.
Svetunkov, I. (2019). smooth: Forecasting Using State Space Models. R package version 2.5.4, URL https://github.com/config-i1/smooth

저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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