[논문]란체스터 모형에 대한 통계적 고찰과 해석

유병주

doi:10.5351/kjas.2020.33.3.335

란체스터 모형에 대한 통계적 고찰과 해석
Statistical review and explanation for Lanchester model 원문보기

응용통계연구 = The Korean journal of applied statistics, v.33 no.3, 2020년, pp.335 - 345

유병주 (지상작전사령부 작전분석과)

초록
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본 논문에서는 과거 2차 세계대전 자료 중 Ardennes 전역에서 있었던 실제 전투 자료를 란체스터 모형에 적합 시키기 위하여 로그변환된 선형회귀모형을 추정하는 문제를 다루었다. 먼저 동일한 자료에 대하여 기존 연구 결과를 고찰하여 모수에 대한 최적해(Global Solution) 결정 문제와 다중공선성 문제들을 확인하였다. 최소제곱 추정법에 의한 모수 추정은 특정 제약조건이나 제한된 후보군을 고려할 경우 최적해를 찾지 못하고 지역해(Local Solution)를 찾을 수 있음으로 주의가 필요하고, 모형에 포함된 변수들은 통계적으로 충분히 유의성을 검토하여 포함해야지 그렇지 않았을 때 모수 추정값들이 왜곡될 수 있다. 모형에 과도하게 많은 설명 변수를 포함하는 경우 변수 간의 상관관계로 인하여 추정값이 왜곡되고 변수의 추가나 제거 시 불안정한 현상들이 발생한다. 이런 다중공선성 문제를 탐색하는 방법은 설명 변수 간의 선형적 연관 관계를 측정할 수 있는 분산확대인자(VIF)로 알려진 통계량에 의해 확인이 가능하며 이를 조치하기 위해서는 상호 연관된 설명 변수들을 제거하여 모형을 단순화해야 한다. 그래서 이러한 문제가 발생하지 않도록 모형을 단순화하고 이해와 설명이 용이한 전투력 손실률 모형을 제안하였고 Ardennes 자료에 대하여 적합한 결과 모수 추정이 안정적이고 자료에 대한 설명과 해석이 용이하다는 점을 입증하였다. 특히, 모수 추정간 선형회귀 모형의 기본적인 가정사항인 독립성, 정규성, 등분산성을 검증하여 자기상관(Autocorrelation) 문제로 독립성이 훼손되어 과대 과소 추정될 우려가 있는 사항을 Cochrane-Orcutt 방법에 의해 변환하여 독립성과 정규성을 보장하였다.

Abstract ▼ AI-Helper

This paper deals with the problem of estimating the log-transformed linear regression model to fit actual battle data from the Ardennes Campaign of World War II into the Lanchester model. The problem of determining a global solution for parameters and multicollinearity problems are identified and modified by examining the results of previous studies on data. The least squares method requires attention because a local solution can be found rather than a global solution if considering a specific constraint or a limited candidate group. The method of exploring this multicollinearity problem can be confirmed by a statistic known as a variance inflation factor. Therefore, the Lanchester model is simplified to avoid these problems, and the combat power attrition rate model was proposed which is statistically significant and easy to explain. When fitting the model, the dependence problem between the data has occurred due to autocorrelation. Matters that might be underestimated or overestimated were resolved by the Cochrane-Orcutt method as well as guaranteeing independence and normality.

주제어

표/그림 (5)

표 Table 3.1. Parameter estimation by model
표 Table 3.2. Comparison of VIF between FM and YM
표 Table 4.1. Regression diagnostics
표 Table 4.2. Parameter estimation after removal of autocorrelation
그림 Figure 4.1. Fitting a regression line to Ardennes data.

AI 본문요약
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문제 정의

본 논문에서는 Bracken (1995)과 Fricker (1998)가 적용한 모형을 집중적으로 재조명하고 새로운 모형을 제안하고자 한다. 새로운 모형을 제안하기 위한 기준으로는 첫 번째 통계적으로 유의한 모형이어야 하고, 두 번째는 해석과 설명이 용이한 모형을 우선적으로 고려하여 정확하게 모수를 추정하고자 한다.
그래서 실질적인 적용 측면에서는 가장 간단한 형태로 모수를 단순화할 필요가 있고 통계적으로 유의한지 충분히 검토하여 적용해야 할 것이다. 이런 측면에서 본 논문에서는 전투력 손실률 모형을 제안하였으며 Ardennes 전역 자료에 대해서 군사적 측면의 의미 있는 해석이 가능하였고 단순화한 만큼 설명이 용이한 부분을 확인하였다.

가설 설정

BM3 모형은 전투력 자료를 이용하여 공격모수 δ = 1을 가정하여 모형을 적합 시켰고, BM4 모형은 총전투력을 기준으로 δ = 1을 가정하여 모수를 추정하였다.
그래서 γ = 1로 가정하고 이를 좌변으로 옮기면 자연스럽게 전투력 손실 부분이 전투력 손실률인 B˙ (t)/B(t)과 R˙ (t)/R(t)으로 변한다.
그의 모형 BM1 모형은 전투력 자료를 기준으로 β = γ = 1로 가정하여 공격모수 δ를 추정하는 데 중점을 두었으며, BM2 모형은 총전투력을 기준으로 모수를 추정하였다.

제안 방법

Ardennes 자료에 대하여 불필요한 변수들을 포함하여 야기할 수 있는 다중공선성 문제를 해결하면서 모형을 단순화하고, 자기상관으로 인하여 야기될 수 있는 부정확한 추정 문제를 해결하여 통계적으로 유의한 모형으로 전투력 손실률 모형인 YM(a) 모형들로 정리하였다. 그리고 어떤 특정 모형을 수치적으로 적합시켜 추정하는 것도 중요하지만 설명과 해석이 용이한 부분도 매우 중요하다.
그러나 Bracken이 자신의 논문에서 실질적으로 활용한 데이터는 이 자료 중 초기 12월 16일부터 12월 25일까지 10일간의 자료만을 사용하였는데 이유는 초기 5일은 독일군이 공격한 자료이며, 이후는 연합군이 공격한 결과이므로 자료의 균형을 고려했을 것으로 생각된다(이하 Bracken 자료). Fricker (1998)가 사용한 자료는 Bracken (1995)이 제시한 Ardennes 전역 전체 자료를 포함하여 당시 연합군과 독일군이 투입했던 근접항공지원 소티(Sorties)수를 추가하여 분석하였다. 그는 증원병력과 예비대 포함 여부 등을 확인 검증하여 Bracken이 제시한 자료를 수정하였고, 일부 자료 중 피해가 없는 첫날 12월 15일 자료를 제외한 32일간의 자료를 활용하였다.
1을 기준으로 설명하면 Case1과 Case2는 Bracken 모형처럼 각각 전투력 모형, 총전투력 모형이며, Case3의 경우는 근접항공지원 시 전투력 모형, Case4는 근접항공지원 시 총전투력 모형이다. Fricker의 접근 방법은 Bracken이 시도한 10일간의 전투자료가 아닌 Ardennes 전역 전체 자료 64개 관찰치를 활용했다는 점과 추정하고자 하는 모수에 특별한 제약조건 없이 추정하였다는 점에서 진일보하였다. Fricker가 추정한 모수들은 FM(a) 모형으로 제시하였고 본인이 검증한 모수의 추정치는 FM(b) 모형으로 제시하였다.
Fricker (1998)가 사용한 자료는 Bracken (1995)이 제시한 Ardennes 전역 전체 자료를 포함하여 당시 연합군과 독일군이 투입했던 근접항공지원 소티(Sorties)수를 추가하여 분석하였다. 그는 증원병력과 예비대 포함 여부 등을 확인 검증하여 Bracken이 제시한 자료를 수정하였고, 일부 자료 중 피해가 없는 첫날 12월 15일 자료를 제외한 32일간의 자료를 활용하였다. 결국 분석간 활용한 자료는 32일간의 자료를 식 (2.
그래서 제안하고자 하는 모형은 위의 두 가지 조건, 즉 유사한 모수들은 단순화하고 전술적 상황을 고려한 자군과 상대군 전투력이 모두 고려된 Yoo’s model (YM) 모형을 아래와 같이 제안하고자 한다.
란체스터 모형에 대하여 통계적 방법으로 접근하였던 기존 연구를 고찰하면서 몇 가지 문제점을 식별하여 해결하였다. 최소제곱 추정법에서 최적해를 찾지 못하고 몇 가지 후보군을 대입하여 결론을 내리면서 지역해를 찾아낸 사례가 있었으며, 모형을 너무 복잡하게 적용함으로써 다중공선성 문제를 간과한 문제들을 가지고 있었다.
본 논문에서는 Bracken (1995)과 Fricker (1998)가 적용한 모형을 집중적으로 재조명하고 새로운 모형을 제안하고자 한다. 새로운 모형을 제안하기 위한 기준으로는 첫 번째 통계적으로 유의한 모형이어야 하고, 두 번째는 해석과 설명이 용이한 모형을 우선적으로 고려하여 정확하게 모수를 추정하고자 한다.
여기에는 연합군(B군)과 독일군(R군)의 전차, 장갑차, 포병, 전투원, 전투력, 총전투원, 총전투력에 대해 일자별로 보유 현황과 손실현황을 제시하고 있다. 여기서 CAA에서 제시한 무기효과지수에 무기별 수량을 곱하여 합한 가중합을 계산하여 전투력과 총전투력을 도표로 제시하였다. 예를 들어 t일 B군의 전투력 수준 B(t)는 무기효과지수에 해당 일자의 무기 수량을 곱하여 20 × 전차수 + 5 × 장갑차수 + 40 × 포병수 + 1 × 전투원수로 얻은 값이며, 총전투력은 전투원수 대신 전투원과 지원병력을 합한 총전투원수를 반영하여 계산한 값이다.

대상 데이터

Army Concept Analysis agency; CAA)은 1990년도에 미국, 영국, 독일의 각종 문헌 및 전자 자료로부터 제2차 세계대전 자료를 수집하였다. 그중 1944년 12월 15일부터 1945년 1월 16일까지 Ardennes 전역에서 있었던 연합군과 독일군 전투 자료를 완성하여 Data Memory System Inc. (1990) The Ardennes Campaign Simulation Data Base (ACSDB)를 만들었고, Bracken(1995)은 이 자료를 활용하였다.

데이터처리

1로 제시하였다. Chatterjee와 Hadi (2000)와 Faraway (2015)를 참조하여 독립성 검증은 Durbin Watson 통계량을 이용하고, 정규성 검증은 Shapiro Wilk 통계량을 이용하며, 등분산성 검증은 Non-constant Variance Score Test를 이용하여 검증한 결과이다.

이론/모형

4)의 모형에 적합시킨 것이다. 그의 전투력과 총전투력 계산 방법은 Bracken이 제시한 방법과 동일하며 근접항공지원의 소티수는 무기효과지수를 30으로 계산하여 가중합을 구하였다(이하 Fricker 자료).

성능/효과

1. 미영 연합군과 독일군의 전투력 손실률의 차이는 유의하지 않았다.
2. 특별한 태세가 없는 부대에 비하여 공격부대는 86% 수준으로 피해가 감소하였고 방어부대는 1.16배의 피해가 더 발생하였다.
3. 전투원에 대한 전투력 손실률은 상대군 전투력의 약 1.5승에 비례하며, 지원병력을 포함한 총전투력손실률은 상대군 전투력에 비례한다.
4. 총전투력 모형은 Fricker (1998)의 주장과 다르게 란체스터 제2선형모형과 거의 유사하다.
Bracken은 여러 가지 종류의 란체스터 모형을 모두 포괄할 수 있는 일반화 모형을 제안하였고 이를 실제 전쟁 자료에 적용하였으며, 전술적 상황을 고려한 공격 모수를 BM1 모형이나 BM2모형에서처럼 추정하여 공격 부대가 0.8 정도로 손실이 적게 발생한다는 점을 입증하는 성과를 얻었다. 반면 당시 컴퓨터의 계산 능력의 한계에 의해서인지 모르지만 모수들이 가질 수 있는 후보 값을 한정하여 β + γ = 2라는 제약 조건을 둠으로써 최적의 해를 찾지 못하였고, 통계적 측면에서 유의하지 않은 변수들까지 모형에 포함하여 모형을 단순화하지 못하였다.
2에 YM(a) 모형으로 그 결과를 제시하였으며 모든 모형의 독립성이 개선된 것을 알 수 있다. Table 4.1에서 정규성에도 문제가 있던 YM2와 YM4 모형의 경우 YM2(a)와 YM4(a) 모형에서는 정규성을 재검증한 결과 Shapiro Wilk 통계량이 모두 0.97 p-value가 0.21로 정규성에 문제가 없음을 확인할 수 있었다.
1에 YM 모형으로 반영되어있고 이 모형들은 각각 전투력, 총전투력, 근접항공지원 하 전투력, 근접항공지원 하 총전투력 모형이다. 모든 모형이 안정적이며 Table 3.2에서 제시한 바와 같이 모든 변수의 VIF는 2.0 이하로 안정적이어서다중공선성 문제는 없는 것으로 확인하였다.
i와 x^∗_1i로 모수를 추정하고 수정해주는 과정을 반복하여 Durbin Watson 통계량이 귀무가설을 기각하지 못할 때까지 반복하는 과정을 거친다. 자기상관된 모형을 수정하여 추정한 결과 Table 4.2에 YM(a) 모형으로 그 결과를 제시하였으며 모든 모형의 독립성이 개선된 것을 알 수 있다. Table 4.

후속연구

란체스터 방정식은 1세기 전에 개발한 미분방정식 형태의 모형이지만 아직도 다양한 형태로 변형되어 응용되고 있는 것은 간단하지만 강력하고 시사하는 바가 크기 때문일 것이다. 그래서 실질적인 적용 측면에서는 가장 간단한 형태로 모수를 단순화할 필요가 있고 통계적으로 유의한지 충분히 검토하여 적용해야 할 것이다. 이런 측면에서 본 논문에서는 전투력 손실률 모형을 제안하였으며 Ardennes 전역 자료에 대해서 군사적 측면의 의미 있는 해석이 가능하였고 단순화한 만큼 설명이 용이한 부분을 확인하였다.

참고문헌 (16)

Bracken, J.(1995). Lanchester models of Ardennes Campaign, Naval Research Logistics, 42, 559-577.

상세보기
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표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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