[논문]Poincare Section과 신경망기법을 이용한 수문자료 분석

나창진; 김응석; 김형수; 김중훈

문제 정의

동역학적인 방법으로 물체의 운동을 기술할 때, 우리는 많은 실제 현상들을 단순화하여 운동방정식을 세우고 그 방정식을 해석함으로써 물체의 시간적 변동 특성을 파악하고자 하였다. 이러한 노력에도 불구하고 비선형 방정식들을 해석하는데는 많은 어려음이 따라 오랫동안 큰 관심을 끌지 못한 반면 해석하기에 편리한 선형 방정식들은 널리 이용되어져 왔다.
본 연구에서는 복잡하고 불규칙적인 현상을 보이는 수문 현상들을 이해하고자 Poincare Section을 이용하여 선형 방정식으로는 설명할 수 없는 비선형적인 특성을 보이는 수문자료의 특성을 파악하고자 한다. 이를 위하여 먼저 Poincare section에 대한 개념 설명과 Poincare Section을 자료를 분석하는데 어떻게 이용할 수 있는지를 살펴보고, 이미 그 특성이 알려진 시스템들에 대해 Poincare section을 이용하여 각 시스템들의 특성들을 분석하며, 마지막으로 Poincare section을 이용하여 실제 수문자료의 특성을 파악하고자 한다.

제안 방법

Poincare section을 이용하여 Poincare map을 구축하고, 이를 여러 자료에 적용하여 자료의 특성을 비교 분석하였다. 적용 결과 Poincare mape 간단하게 자료의 특성을 찾는데 적절한 방법임을 알 수 있었다.
각 시스템을 비교하기 위하여 식(1)과 같이 주기가 2π인 sine곡선으로부터 2000개의 자료를 발생시켜 Poincare section에 의해 map을 구축하였다.
또한 분석된 비선형성의 자료는 black box 모형인 신경망 모형을 통한 학습과 test과정을 통하여 예측(forecasting)을 시도하였다. 신경망을 통한 비선형성을 지닌 자료 예측시 카오스 특성을 지닌 자료와 그렇지 않은 자료의 경우 그 예측의 정도에 있어 차이가 있음을 알 수 있었다.
또한 신경망을 통하여 비선형성을 지닌 자료계열의 예측시 Poincare Section을 통하여 카오스 시스템의 특성을 지니고 있다고 판단된 GSL의 용적자료의 경우 단지 비선형성을 띠고 있는 충주댐의 일유입량에 비하여 더 정도 높은 예측을 하였다.
어떠한 감지할 수 있는 형태(pattern)을 찾기 위하여, 일정유입량(Q=180cms)의 발생의 시간간격 자료를 가지고 구축하였다. 유입량자료를 통하여 구축된 map에 비하여 특이할 만한 형태를 보이고 있다.
기지의 다른 시스템들에 Poincare section을 이용하여 Poincare map을 구축해보면 각 시스템에 따라 각기 다른 특성을 보인다. 여기서는 주기성을 갖는 시스템, 무작위한 특성을 갖는 시스템, 추계학적 모형, 카오스 특성을 갖는 자료들을 Poincare section을 이용하여 불연속적인 자료를 발생시킨 후 Poincare map을 구축하였다.
본 연구에서는 복잡하고 불규칙적인 현상을 보이는 수문 현상들을 이해하고자 Poincare Section을 이용하여 선형 방정식으로는 설명할 수 없는 비선형적인 특성을 보이는 수문자료의 특성을 파악하고자 한다. 이를 위하여 먼저 Poincare section에 대한 개념 설명과 Poincare Section을 자료를 분석하는데 어떻게 이용할 수 있는지를 살펴보고, 이미 그 특성이 알려진 시스템들에 대해 Poincare section을 이용하여 각 시스템들의 특성들을 분석하며, 마지막으로 Poincare section을 이용하여 실제 수문자료의 특성을 파악하고자 한다. Poincare Section을 통한 자료의 분석시 카오스 특성을 쉽게 판별할 수 있다.

대상 데이터

Great Salt Lake(GSL)는 평균 수심이 3~5m 정도로 매우 얕고, 대단히 넓은 표면적(6400㎢)을 가진 세계에서 네 번째로 큰 호수이다. 1847년부터 1992년까지 15일 단위의 용적자료 중 앞선 200개의 자료를 사용하였다. 시계열 자료의 분포는 그림 14와 같고, 그림에서 보는 바와 같이 건기와 우기가 수년에 걸쳐서 지속된 현상을 보이고 있음을 알 수 있다(Sangoyomi et el.
GSL의 체적자료는 3,578개의 자료중 2,500개의 자료를 통하여 학습 후 1,078개의 자료를 통하여 test하였다. 이러한 과정을 통하여 예측된 결과는 그림 19, 그림 20과 같다.
실제 수문 시계열 자료의 적용시 소양강댐과 충추댐의 일 유입량 자료와 Great Salt Lake의 용적 자료를 이용하였다. 소양강댐과 충주댐의 일 유입량에 대한 시간 간격을 Poincare section의 slice로 하는 방법으로 map을 구축할 때 특별한 형태를 찾지 못하였으나 일정 유입량을 slice로 하여 map을 구축할 때 유입량의 발생에 관한 형태를 찾을 수 있었다.
총 2,003개의 자료를 발생시켰으며, 시간 간격을 바꿔가며 Poincare section을 적용하였으나 어떠한 끌개도 찾을 수 없었다. 즉, 그림 7을 보면 Poincare map이 산만하게 퍼져 있을 뿐, 어떠한 형태도 보이지 않는다.
충주댐의 일 유입량 자료는 1998년까지 13개년 자료를 사용하였으며, 일 유입량 시계열 분포는 그림 11과 같다.
충주댐의 일 유입량자료 4,625개 중 3,000개의 자료를 통하여 학습 후 1,625개의 자료를 통하여 test를 하였다. 이러한 과정을 통하여 예측된 결과는 그림17, 그림 18과 같으며 그림 18은 실측자료를 통한 test 결과를 보이고 있다.

이론/모형

여기서 Δt = 0.05를 사용하여 Runge-Kutta 방법에 의하여 x에 대한 2,000개의 시계열 자료를 구축하였다. 그림 9는 Lorenz 시스템으로부터 변수 x에 대한 시계열 자료를 도시하고 있으며, 그림 10은 x 시계열의 Poincare map을 보이고 있다.
자동회귀모형(autoregressive model, AR(p))중 다음식과 같은 1차 자동회귀모형(AR(1))을 이용하여 선형 추계학적 자료를 발생시켰다.

성능/효과

따라서 결론적으로 Poincare section을 이용한 Poincare map을 구축하는 것은 시계열 자료의 특성을 손쉽게 분석하는데 유용한 방법임을 알 수 있었으며, 카오스 특성을 지닌 자료의 경우 예측이 가능함을 알 수 있었다. 또한 목적과 시스템에 따라 Poincare section을 잘 적용한다면 자료의 특성 분석뿐만 아니라 예측가능한 특성을 추출하여 정도 높은 자료의 예측 또한 가능할 것으로 판단된다.
그러나 이러한 형태는 그 계절적 특성에 의한 것이며, 이것이 어떤 확정론적인 특성을 표현하는 것은 아니다. 또한 GSL 용적 자료는 이미 증명된 것처럼 Poincare section을 이용하여 map을 구축하였을 때 카오스 특성을 지니고 있음을 확인할 수 있었다.
실제 수문 시계열 자료의 적용시 소양강댐과 충추댐의 일 유입량 자료와 Great Salt Lake의 용적 자료를 이용하였다. 소양강댐과 충주댐의 일 유입량에 대한 시간 간격을 Poincare section의 slice로 하는 방법으로 map을 구축할 때 특별한 형태를 찾지 못하였으나 일정 유입량을 slice로 하여 map을 구축할 때 유입량의 발생에 관한 형태를 찾을 수 있었다. 그러나 이러한 형태는 그 계절적 특성에 의한 것이며, 이것이 어떤 확정론적인 특성을 표현하는 것은 아니다.
Poincare section을 이용하여 Poincare map을 구축하고, 이를 여러 자료에 적용하여 자료의 특성을 비교 분석하였다. 적용 결과 Poincare mape 간단하게 자료의 특성을 찾는데 적절한 방법임을 알 수 있었다. 주기성을 갖는 시스템과 카오스 특성을 갖는 자료는 모두 어떠한 형태를 갖고 있으나 주기성을 갖는 시스템은 Poincare map이 동시에 즉, 일정한 자취에 의해 어떤 형태를 가지고 있으나 카오스 특성을 갖는 자료는 map의 자취가 일정하지는 않으나 어떤 형태를 보이고 있음을 알 수 있었다.
적용 결과 Poincare mape 간단하게 자료의 특성을 찾는데 적절한 방법임을 알 수 있었다. 주기성을 갖는 시스템과 카오스 특성을 갖는 자료는 모두 어떠한 형태를 갖고 있으나 주기성을 갖는 시스템은 Poincare map이 동시에 즉, 일정한 자취에 의해 어떤 형태를 가지고 있으나 카오스 특성을 갖는 자료는 map의 자취가 일정하지는 않으나 어떤 형태를 보이고 있음을 알 수 있었다. 그러나 백색잡음과 추계학적 모형은 일정한 형태를 갖기 보다는 산만하게 퍼져 있음을 알 수 있었다.
기상학자 Lorenz(1963)는 지금까지 잘 알려져 있었으나 해결할 수 없었던 기상현상에 대한 방정식을 단순화하고 이를 컴퓨터를 이용해 시뮬레이션 한 결과 이상한 현상을 발견하였다. 즉, 계산 결과가 초기 소건에 따라 아주 민감하게 변하며 위상 공간(phase space)에서 이상한 끌개(strange attractor)라 부르는 묘한 형태를 보이고 있음을 알았다. 이와 같이 컴퓨터의 발달은 예전에 Poincare가 제안하였던 기하학적 방법을 이용하여 가능하게 하였으며, 이제 그의 방법론을 이용하여 자연 현상의 비선형 특성을 파악하고자 하는 연구가 활발히 진행되고 있다(Kawakami and Funakoshi, 1999; Azuaje and Pubizky, 1999).

후속연구

따라서 결론적으로 Poincare section을 이용한 Poincare map을 구축하는 것은 시계열 자료의 특성을 손쉽게 분석하는데 유용한 방법임을 알 수 있었으며, 카오스 특성을 지닌 자료의 경우 예측이 가능함을 알 수 있었다. 또한 목적과 시스템에 따라 Poincare section을 잘 적용한다면 자료의 특성 분석뿐만 아니라 예측가능한 특성을 추출하여 정도 높은 자료의 예측 또한 가능할 것으로 판단된다.

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