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• 연구 주제
• 연구 방법
• 연구 결과

문제 정의

• 본 연구에서는 비선형회귀모형에서 유량 관측치의 오차에 따라 가중치를 달리하는 가중최소제 곱법(WLS)을 제시하였다. 로그변환 선형회귀모형과 비선형회귀모형에 대해 곡선식의 오차 및 신뢰구간을 구하여 각 기법의 장단점을 파악하고자 하였으며, 곡선식 분할에 따른 영향도 검토하였다.

가설 설정

• 본 연구에서는 회귀모형의 잔차를 이용하여 의사최우도법(pseudoTikelihood method)에 의해 최적의 가중치를 추정하였다. 먼저, 반응변수인 관측유량의 분산이 반응변수 평균의 7승에 비례한 것으로 가정하여 분산함수를 다음 식 (10)과 같이 설정하였는데 이는 오차가 유량이 커질수록 증가한다는 가정에 따른 것이다.
• 잡음 ni가 정규분포 (0, 에 따른다고 가정하였으며 잡음의 표준오차를 유량 #의 4 %로 상정하였다. 참값에 잡음를 더하여 45개의 관측값 0(m3/s)를 가진 6개의 자료군을 생성하여 모형 보정과 검증에 사용하였다.

제안 방법

• 가상의 수위-유량곡선식에서 유량 크기에 비례하는 분산을 갖는 잡음을 발생시켜 이를 더해 관측값을 만든후 로그변환에 의한 선형 회귀모형, 비선형 회귀모형에서의 OLS 및 WLS기법을 적용 비교하였다.
• 본 연구에서는 비선형회귀모형에서 유량 관측치의 오차에 따라 가중치를 달리하는 가중최소제 곱법(WLS)을 제시하였다. 로그변환 선형회귀모형과 비선형회귀모형에 대해 곡선식의 오차 및 신뢰구간을 구하여 각 기법의 장단점을 파악하고자 하였으며, 곡선식 분할에 따른 영향도 검토하였다. 최적화기법으로는 전역최적화기법인 Simulated Annealing 방법을 사용하였는데 이는 곡선식 분할 등에 따라 매개변수 수가 증가하므로 지역최소값에 도달할 가능성을 배제하기 위함이다.
• 본 연구에서는 수위-유량관측자료에서 비선형 회귀모형에서 WLS 기법을 적용하여 수위-유량 곡선식을 유도하는 방법을 개발하였다. 비선형 WLS 기법에서 매개변수 추정 및 곡선식 최적분할을 위해 전역최적화기법인 Simulated Annealing 기법을 적용하였으며 의사최우도법에 의해 최적 가중치를 주정하였다

대상 데이터

• 의 4 %로 상정하였다. 참값에 잡음를 더하여 45개의 관측값 0(m3/s)를 가진 6개의 자료군을 생성하여 모형 보정과 검증에 사용하였다.

이론/모형

• 최소제곱법중 식 ⑺의 OLS는 오차의 분산이 서로 같다는 등분산성(homoscedasticity) 가정하에서 적용할 수 있다. 그러나 오차의 분산이 서로 다르면 OLS 대신에 오차에 가중치를 부여하는 가중최 소제곱법 (WLSM, Weighted Least Squares Method)을 사용해야 한다. 만약, E(εi) = 0이 성립하면 반응변수 평균값에 대한 식 (8a)가 성립한다.
• 대청댐 상류 유량측정지점의 98년도 자료(한국수자원공사, 1998)를 이용하여 비선형 WLS 모형을 적용하여 구한 분산함수의 7 값은 표 2에 나타내었다.
• WLS를 적용하기 위해서는 오차의 가중치를 추정해야 한다. 본 연구에서는 회귀모형의 잔차를 이용하여 의사최우도법(pseudoTikelihood method)에 의해 최적의 가중치를 추정하였다. 먼저, 반응변수인 관측유량의 분산이 반응변수 평균의 7승에 비례한 것으로 가정하여 분산함수를 다음 식 (10)과 같이 설정하였는데 이는 오차가 유량이 커질수록 증가한다는 가정에 따른 것이다.
• 본 연구에서는 수위-유량관측자료에서 비선형 회귀모형에서 WLS 기법을 적용하여 수위-유량 곡선식을 유도하는 방법을 개발하였다. 비선형 WLS 기법에서 매개변수 추정 및 곡선식 최적분할을 위해 전역최적화기법인 Simulated Annealing 기법을 적용하였으며 의사최우도법에 의해 최적 가중치를 주정하였다

성능/효과

• RMSE 및 결정계수 즉면에서 보정단계에서는 비선형 OLS모형, 로그선형 회귀모형, 비선형 WLS모형의 순으로 우수하지만, 검증단계에서는 비선형 WLS가 로그선형보다 약간 우수하였으며, 비선형 OLS가 가장 저조하였다. 또한, 로그선형 회귀모형의 결정계수는 원자료로 환산하여 산정하면 그 값이 낮아짐을 알 수 있다.
• 잡음이 포함된 가상 수위-유량 관측자료에 적용한 결과, 비선형 WLS 기법은 로그선형 회귀모형 보다 우수한 결과를 도출하였으며 비선형 OLS 기법은 곡선식 저수량의 오차가 크게 발생하였다. 또한, 본 연구에서 개발된 비선형 WLS 모형은 유량측정자료의 오차양상에 따라 의사최우도 법에 의해 가중치를 최적추정하므로 최적의 수위-유량곡선식을 추정할 수 있었다
• 상대오차 측면에서는 비선형 WLS 및 로그선형 회귀모형이 우수한 결과를 나타냈으며 비선형 OLS는 저수량에서 오차가 큰 것으로 나타났다. 따라서, 로그선형 모형은 저수량에 큰 가중치를 부여하는 것과 같은 효과를 가지고 있음을 알 수 있다.
• 잡음이 포함된 가상 수위-유량 관측자료에 적용한 결과, 비선형 WLS 기법은 로그선형 회귀모형 보다 우수한 결과를 도출하였으며 비선형 OLS 기법은 곡선식 저수량의 오차가 크게 발생하였다. 또한, 본 연구에서 개발된 비선형 WLS 모형은 유량측정자료의 오차양상에 따라 의사최우도 법에 의해 가중치를 최적추정하므로 최적의 수위-유량곡선식을 추정할 수 있었다

후속연구

• 러나, 곡선식 분할 위치를 구하는 방법은 대상하천에 대한 기술 (1)자의 판단과 눈대중(eyefitting) 방법에 의존하고 있어 이를 체계적으로 구하는 노력이 필요하다. 따라서, 수위-유량곡선식의 매개변수를 최적으로 추정하는 방법과 로그변환을 통하지 않고 비 선형회귀모형을 이용하여 곡선식을 추정하는 연구가 필요하다.

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