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문제 정의
- 본 연구에서는 우리나라의 강우빈도해석에 널리 적용되고 있는 Gumbel 분포에 적합한 도시위치공식을 새롭게 추정하고, 새롭게 추정된 도시위치공식과 Gumbel 분포에 적용되어오던 기존의 도시위치공식과의 정확도 비교를 통해 새롭게 추정된 도시위치공식의 적용성을 평가하였다. 이를 위해 Gumbel 분포의 order statistic과 확률가중모멘트를 이용하여 다양한 표본크기에 대한 도시위치공식의 기본식을 유도하였고, 최적화 기법 중 하나인 유전자 알고리즘 을 이용하여 유도된 도시위치공식의 매개변수를 추정하였다.
제안 방법
- 01로 설정하였고, 총 1,000회에 걸쳐 수행하였다. Seed number는 0.1부터 1.0까지 0.1씩 증가시키면서 총 10개의 seed number에 대해 수행하여 seed number에 따른 도시위치공식의 매개변수 추정치의 경향성을 살펴보았다. 입력자료로 사용된 표본크기는 n=2(1)30(5)100(10)200(50)500으로 표본크기 2≤n≤30의 범위에서는 각각의 order별 reduced variate까지 고려할 수 있도록 하였으며, n>30의 범위에서는 최대 표본크기 n에 대한 reduced variate를 식 (10)을 이용하여 산정하여 고려하였다.
- 본 연구에서는 Gumbel분포에 적합한 도시위치공식을 새롭게 추정하기 위해 Gumbel 분포의 order statistic과 확률가중모멘트를 이용하여 다양한 표본크기에 대한 도시위치공식의 기본식을 유도하였고, 도시위치공식의 매개변수를 추정하기 위해 유전자 알고리즘을 이용하였다. 또한 금회 추정된 도시위치공식의 정확도를 평가하기 위해 기존에 이용되고 있는 도시위치공식과 금회 추정된 도시위치공식에 의한 reduced variate 간의 오차를 산정하여 정확도를 비교하였다. 본 연구의 결과는 다음과 같다.
- 또한 유전자 알고리즘(genetic algorithm)을 이용하여 추정된 도시위치공식과 기존에 널리 사용되고 있는 도시위치공식의 정확도를 비교하기 위해 reduced variate 간의 평균제곱근오차와 절대오차를 산정하여 정확도를 비교하고, 정확도 분석 결과를 토대로 Gumbel 분포에 대해 새롭게 추정된 도시위치공식의 정확성을 비교·검토 하였다.
- 본 연구에서 새롭게 추정된 도시위치공식의 정확도를 분석하기 위해 Gumbel 분포에 대해 기존에 주로 사용되거나 개발된 Gringorten(1963), Cunnane(1978), De(2000)에 의한 도시위치공식을 금회 추정된 도시위치공식과 비교·검토하였다.
- 본 연구에서는 Gumbel분포에 적합한 도시위치공식을 새롭게 추정하기 위해 Gumbel 분포의 order statistic과 확률가중모멘트를 이용하여 다양한 표본크기에 대한 도시위치공식의 기본식을 유도하였고, 도시위치공식의 매개변수를 추정하기 위해 유전자 알고리즘을 이용하였다. 또한 금회 추정된 도시위치공식의 정확도를 평가하기 위해 기존에 이용되고 있는 도시위치공식과 금회 추정된 도시위치공식에 의한 reduced variate 간의 오차를 산정하여 정확도를 비교하였다.
- 본 연구에서는 유전자 알고리즘의 한 종류인 Real-coded Genetic Algorithm(Deb and Beyer, 2001; Beyer and Deb, 2001)을 적용하였고, 유전자 알고리즘의 목적함수(objective function)는 식 (12)의 좌변과 우변간의 평균제곱근오차(Root Mean Square Error)로 설정하였다. 유전자 알고리즘의 초기조건 중 모집단(population) 수는 5,000개, 전체 세대(generation)수는 1,000세대, 교배 확률은 0.8, 돌연변이(mutation) 확률은 0.01로 설정하였고, 총 1,000회에 걸쳐 수행하였다. Seed number는 0.
- 본 연구에서는 우리나라의 강우빈도해석에 널리 적용되고 있는 Gumbel 분포에 적합한 도시위치공식을 새롭게 추정하고, 새롭게 추정된 도시위치공식과 Gumbel 분포에 적용되어오던 기존의 도시위치공식과의 정확도 비교를 통해 새롭게 추정된 도시위치공식의 적용성을 평가하였다. 이를 위해 Gumbel 분포의 order statistic과 확률가중모멘트를 이용하여 다양한 표본크기에 대한 도시위치공식의 기본식을 유도하였고, 최적화 기법 중 하나인 유전자 알고리즘 을 이용하여 유도된 도시위치공식의 매개변수를 추정하였다. 또한 유전자 알고리즘(genetic algorithm)을 이용하여 추정된 도시위치공식과 기존에 널리 사용되고 있는 도시위치공식의 정확도를 비교하기 위해 reduced variate 간의 평균제곱근오차와 절대오차를 산정하여 정확도를 비교하고, 정확도 분석 결과를 토대로 Gumbel 분포에 대해 새롭게 추정된 도시위치공식의 정확성을 비교·검토 하였다.
데이터처리
- 본 연구에서 새롭게 추정된 도시위치공식의 정확도를 분석하기 위해 Gumbel 분포에 대해 기존에 주로 사용되거나 개발된 Gringorten(1963), Cunnane(1978), De(2000)에 의한 도시위치공식을 금회 추정된 도시위치공식과 비교·검토하였다. NERC(1975)에 수록되어 있는 Gumbel 분포에 의한 표본크기 50까지의 reduced variate와 금회 추정된 도시위치공식 및 기존의 도시위치공식을 이용하여 산정되는 reduced variate 간의 평균제곱근오차(Root Mean Square Error, RMSE)와 절대오차(Absolute Error, AE)를 표본크기 n에 대해 order별로 계산하여 나타내면 표 1과 같다. 표 1에 의하면 순위가 작을 때 금회 추정된 도시위치공식에 의해 추정된 평균제곱근오차와 절대오차는 Gringorten(1963)과 Cunnane(1978)의 도시위치공식에 의한 평균제곱근오차와 절대오차에 비해 상대적으로 큰 것으로 나타났으나, 순위가 커질수록 금회 추정된 도시위치공식에 의해 추정된 평균제곱근오차와 절대오차는 다른 도시위치공식에 의한 값보다 상대적으로 작은 것으로 나타났다.
이론/모형
- 본 연구에서는 Gumbel 분포에 대한 도시위치공식의 매개변수를 추정하기 위해 유전자 알고리즘을 적용하였다. 유전자 알고리즘은 자연 선택(natural selection)과 유전자의 응용을 기반으로 하는 기법으로(Goldberg, 1989), 1960년대에 Holland(1975)와 그의 동료들에 의해서 창안되었으며 다윈이 제안한 ‘적자생존(survival of the fittest)’을 컴퓨터 기법화한 최적화 방법이다.
- 본 연구에서는 유전자 알고리즘의 한 종류인 Real-coded Genetic Algorithm(Deb and Beyer, 2001; Beyer and Deb, 2001)을 적용하였고, 유전자 알고리즘의 목적함수(objective function)는 식 (12)의 좌변과 우변간의 평균제곱근오차(Root Mean Square Error)로 설정하였다. 유전자 알고리즘의 초기조건 중 모집단(population) 수는 5,000개, 전체 세대(generation)수는 1,000세대, 교배 확률은 0.
성능/효과
- (1) Gumbel 분포에 대한 도시위치공식은 Pm=(m-0.30)/(n+0.22)와 같이 추정되었다.
- (2) 금회 추정된 도시위치공식은 상대적으로 낮은 순위에서는 기존의 도시위치공식에 비해 정확도가 낮은 것으로 나타났으나, 상대적으로 높은 순위에서는 기존의 도시위치공식에 비해 더 정확도가 높은 것으로 나타났다.
- (3) 표본크기에 대한 순위를 모두 고려한 결과, 금회 추정된 도시위치공식이 기존의 도시위치공식에 비해 정확도가 높은 것으로 나타났다.
- Gumbel 분포에 대한 도시위치공식의 매개변수를 추정하기 위해 유전자 알고리즘을 적용한 결과, 최소 평균제곱근오 0.02466에 대해 적합된 a=-0.30, b=0.22가 추정되었다. Seed number에 따른 매개변수 추정치를 살펴보면, 모든 Seed number에 대해 매개변수가 동일한 결과를 보여 도시위치공식의 매개변수 추정에 있어 Seed number에 따른 영향이 크지 않은 것으로 나타났다.
- 22가 추정되었다. Seed number에 따른 매개변수 추정치를 살펴보면, 모든 Seed number에 대해 매개변수가 동일한 결과를 보여 도시위치공식의 매개변수 추정에 있어 Seed number에 따른 영향이 크지 않은 것으로 나타났다. 최종적으로 유전자 알고리즘을 이용하여 추정된 Gumbel분포에 대한 도시위치공식은 다음과 같다.
- Gringorten(1963)과 비교하였을 때는 상대적으로 큰 오차를 보이는 것으로 분석되었으나, 두 식 간의 차이는 소수점 셋째짜리로 그 차이가 미미한 것으로 나타났다. 결과적으로, 금회 추정된 도시위치공식이 기존의 도시위치공식에 비해 상대적으로 정확하게 Gumbel 분포의 도시위치를 나타내고 있는 것으로 분석되었다.
- 표 1에 의하면 순위가 작을 때 금회 추정된 도시위치공식에 의해 추정된 평균제곱근오차와 절대오차는 Gringorten(1963)과 Cunnane(1978)의 도시위치공식에 의한 평균제곱근오차와 절대오차에 비해 상대적으로 큰 것으로 나타났으나, 순위가 커질수록 금회 추정된 도시위치공식에 의해 추정된 평균제곱근오차와 절대오차는 다른 도시위치공식에 의한 값보다 상대적으로 작은 것으로 나타났다. 금회 추정된 도시위치공식은 낮은 순위에 대해서는 기존의 도시위치공식에 비해 오차가 상대적으로 크게 나타나긴 하나, 높은 순위에서는 반대로 오차가 더 작은 것으로 나타남에 따라 큰 재현기간에 대해 보다 정확한 도시위치를 추정하게 하는 것으로 판단된다.
- NERC(1975)에 수록되어 있는 Gumbel 분포에 의한 표본크기 50까지의 reduced variate와 금회 추정된 도시위치공식 및 기존의 도시위치공식을 이용하여 산정되는 reduced variate 간의 평균제곱근오차(Root Mean Square Error, RMSE)와 절대오차(Absolute Error, AE)를 표본크기 n에 대해 order별로 계산하여 나타내면 표 1과 같다. 표 1에 의하면 순위가 작을 때 금회 추정된 도시위치공식에 의해 추정된 평균제곱근오차와 절대오차는 Gringorten(1963)과 Cunnane(1978)의 도시위치공식에 의한 평균제곱근오차와 절대오차에 비해 상대적으로 큰 것으로 나타났으나, 순위가 커질수록 금회 추정된 도시위치공식에 의해 추정된 평균제곱근오차와 절대오차는 다른 도시위치공식에 의한 값보다 상대적으로 작은 것으로 나타났다. 금회 추정된 도시위치공식은 낮은 순위에 대해서는 기존의 도시위치공식에 비해 오차가 상대적으로 크게 나타나긴 하나, 높은 순위에서는 반대로 오차가 더 작은 것으로 나타남에 따라 큰 재현기간에 대해 보다 정확한 도시위치를 추정하게 하는 것으로 판단된다.
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