초록 ▼

비선형 항에 대한 최적의 조건인 Berestycki-Lions 의 조건하에서 다양한 spike layer해의 존재를 보인다. 다양한 종류의 퇴화된 곡선에 관련된 푸리에 국한연산자의 최적의 L^p-L^q 예측을 증명한다. 다항식을 이용하여 도가비트 성질을 일반화한 고차원의 도가비트 성질, 고차원의 도가비트 대안성질, 다항식 수치지수 그리고 해석함수의 함수대수체의 경계를 규명한다.
특이섭동방정식은 이에 대응되는 극한 방정식을 갖는다. Berestycki-Lions는 비선형항에 대하여 가장 최적의 조건하에서 최소에너지 해의 존재를

비선형 항에 대한 최적의 조건인 Berestycki-Lions 의 조건하에서 다양한 spike layer해의 존재를 보인다. 다양한 종류의 퇴화된 곡선에 관련된 푸리에 국한연산자의 최적의 L^p-L^q 예측을 증명한다. 다항식을 이용하여 도가비트 성질을 일반화한 고차원의 도가비트 성질, 고차원의 도가비트 대안성질, 다항식 수치지수 그리고 해석함수의 함수대수체의 경계를 규명한다.
특이섭동방정식은 이에 대응되는 극한 방정식을 갖는다. Berestycki-Lions는 비선형항에 대하여 가장 최적의 조건하에서 최소에너지 해의 존재를 보였다. 특이섭동방정식에 대해서는 이보다 강한 조건하에서 존재 증명이 이루어져 왔는데, 본 연구에서는 Berestycki-Lions의 최적의 조건하에서 spike layer 해의 존재를 보였다. 몇 가지의 퇴화적 곡선 족에 대한 공역 푸리에 국한 연산자에 관하여 아핀측도에 대한 최적의 계측을 증명하였고, 비퇴화적 곡선에 대해서는 예상외의 weak
type계측을 얻었다. 또 비퇴화적 푸리에 국한 연산자에 대하여 최적의 무게함수를 포함하는 계측을 증명하였다. 바나흐 공간 X가 n차 도가비트 (대안)성질을 가지면, 약 컴팩트 (Weak Compact) n차 다항식에 대해서 도가비트 (대안) 식이 성립하며, 복소 바나흐 공간 ？ , 컴팩트 공간 그리고 -finite측도(Measure)에 대해와 ∞는？∞라는 사실로부터 도가비트 식에 대한 다항식의 성질은 작용소와 많은 공통 부분이 있음을 알 수 있었다. 또한 Marcinkiewicz 수열공간 혹은 Order 연속이며 Locally c-convex한 복소바나흐 공간에 정의된 해석함수로 구성된 함수대수체의 Shilov 경계를 규명하였다
위 연구 제안의 수행을 통하여 spike layer solution 의 존재를 비선형 항에 대하여 Berestycki-Lions 조건이라는 거의 필요 충분조건하에서 처음으로 증명하였다. 위 결과는 많은 관련연구의 새로운 접근 방법을 제공하리라고 기대 한다. 또한 무게함수를 포함하는 계측을 다루기 위해 새로 개발된 방법은 조화해석학과 편미분방정식의 여러
가지 문제에서 유용하게 쓰일 수 있을 것으로 기대한다.

Abstract ▼

We try to prove an existence of spike layer solutions under the Berestycki-Lions conditions which is optimal conditions for nonlinearity. We want to prove optimal estimates for the Fourier restriction operator associated to various classes of degenerate curves. We study the (alternative) Daugavet pr

We try to prove an existence of spike layer solutions under the Berestycki-Lions conditions which is optimal conditions for nonlinearity. We want to prove optimal estimates for the Fourier restriction operator associated to various classes of degenerate curves. We study the (alternative) Daugavet property of high order, which is defined nypolynomials, polynomial numerical index and boundaries of algebras of holomorphic functions on a Banach space.
Singularly perturbed nonlinear elliptic problems have corresponding limiting problems. Berestycki-Lions proved an existence of a least energy solution for the
limiting problem under an optimal conditions on a nonlinearity. All previous works have been done under more strong conditions than the Berestycki-Lions
conditions. In this project, we have proved an existence of spike layer solutions for singularly perturbed nonlinear elliptic problems under the Berestycki-Lions
conditions. We proved the optimal estimates for the adjoint Fourier restriction operator associated to several classes of degenerate curves in Euclidean spaces of dimension 3 and higher. We also obtained the unexpected weak type estimate in the nondegenerate case. In addition we proved two optimal weighted estimates for the adjoint Fourier restriction operator, thereby resolving some open problems in higher dimensions.
We show that the (alternative) Daugavet equation holds for a weakly compact polynomials, if a Banach space X has the (alternative) Daugavet property, and also that ∞ for a complex Banach space X, compact space K and a ？-finite measure ？. It follows from them that polynomials share similar properties to operators with respect to the Daugavet equation. Further, we characterize the Shilov boundaries of algebras of holomorphic functions on Marcinkiewicz sequence spaces or order continuous and
locally c-convex complex Banach spaces.
Through this project, we have developed a new method to prove an existence of spike layer solutions for singularly perturbed nonlinear elliptic problems. We
believe that this provides a new approach to the research on this field. Our new method of handling the weighted estimates is expected be useful in several other
problems in harmonic analysis and partial differential equations.

목차 Contents

• Ⅰ. 연구계획 요약문...3
• 1. 국문요약문...3
• Ⅱ. 연구결과 요약문...4
• 1. 국문요약문...4
• 2. 영문요약문...5
• Ⅲ. 연구내용...6
• 1. 서론...6
• 2. 연구방법 및 이론...9
• 3. 결과 및 고찰...10
• 4. 결론...13
• 5. 인용문헌...14