초록 ▼

본 연구에서는 Lie 대수와 양자군의 표현론에 대한 대수학적, 조합론적 이해를 바탕으로 정수론적인 의미와 기하학적인 의미를 찾아내고 상호간의 관계를 규명하고자 한다.
대수학적인 측면에서는 generalized Kac-Moody 대수의 결정기저이론 및 대역기저 이론을 개발하려 한다. 또한 Hall 대수를 이용한 접근방법을 통해 Lusztig의 canonical 기저 이론과의 관계를 밝히고자 한다.
조합론적인 측면에서는 affine 양자군의 임의의 기약표현들의 결정기저를 Young Wall의 개념을 사용하여 구현하고 Naka

본 연구에서는 Lie 대수와 양자군의 표현론에 대한 대수학적, 조합론적 이해를 바탕으로 정수론적인 의미와 기하학적인 의미를 찾아내고 상호간의 관계를 규명하고자 한다.
대수학적인 측면에서는 generalized Kac-Moody 대수의 결정기저이론 및 대역기저 이론을 개발하려 한다. 또한 Hall 대수를 이용한 접근방법을 통해 Lusztig의 canonical 기저 이론과의 관계를 밝히고자 한다.
조합론적인 측면에서는 affine 양자군의 임의의 기약표현들의 결정기저를 Young Wall의 개념을 사용하여 구현하고 Nakajima의 monomial 기저들을 구체적으로 표현하고자 한다.
기하학적인 측면에서는 representation variety를 이용한 결정기저의 구성을 generalized Kac-Moody 대수로 확장하고, 이를 통해 대수학적 측면에서 개발하려고 하는 결정기저와의 대응관계를 밝히고자 한다.
정수론적인 측면에서는 무한곱 전개를 가지는 보형 함수들과 그것들에 대응하는 Lie (슈퍼)대수를 구성하는 연구를 수행하려 한다.
Generalized Kac-Moody 대수의 결정기저이론 및 대역기저 이론을 개발하였고, 동시에 Hall 대수를 통한 양자군의 canonical 기저를 기하학적인 방법으로 구성하였다. 또 한 이를 바탕으로 추상적인 결정기저 개념을 정의할 수 있게 되었다.
Young wall의 개념을 일반적인 기약 표현으로까지 확장하였으며, 양자군 자체의 결정기저를 설명하는 것도 가능함을 보였다. 그 밖에도 Young wall의 조합론과 분할을 이용한 고전적인 조합론의 연결을 보여주는 다양한 연구 결과들을 얻었다.
Nakajima의 monomial 기저를 고전적 양자군의 경우 구체적으로 구현하였으며, 더 나아가 Nakajima의 monomial 기저를 양자군 자체의 결정기저 경우까지 확장할 수 있음을 보였다. 동시에 generalized Kac-Moody 대수의 경우에도 Nakajima의 monomial기저를 만들 수 있음을 보였다.
곱셈 항등식에 관한 연구를 통해서는 super-replicable 함수의 다양한 성질을 이해할 수가 있게 되었다. 다른 한편으로는 Necklace-ring, Witt ring 개념을 이용하여 곱셈 항등식의 일반화된 해석을 할 수 있게 되었다. 2차 국소체 위에서 정의된 대수적 군 의 spherical Hecke algebra 와 Iwahori-Hecke algebra를 정의하고 이들의 성질들을 규명하였다.

Abstract ▼

The purpose of this work is to investigate the deep connection between representation theory and various branches of mathematics such as algebra, combinatorics, number theory and geometry.
The principal investigator proposes to develop crystal basis and global basis theory for generalized Kac-Moo

The purpose of this work is to investigate the deep connection between representation theory and various branches of mathematics such as algebra, combinatorics, number theory and geometry.
The principal investigator proposes to develop crystal basis and global basis theory for generalized Kac-Moody algebras. Using Hall algebra approach, he plans to construct the positive part of the corresponding quantum group and investigate the relation with Lusztig's canonical basis.
In relation to combinatorial representation theory, he proposes to construct crystal bases for higher level irreducible representations of quantum affine algebras using combinatorics of Young walls. Another interesting problem is to characterize Nakajima's monomial crystals for various classes of quantum groups.
He also proposes to generalize the geometric construction of crystal bases given by Kashiwara and Saito to the case of generalized Kac-Moody algebras and investigate the connection with the combinatorial realization of crystal bases for generalized Kac-Moody algebras.
Finally, he proposes to study the modular functions with infinite product expansions and construct corresponding graded Lie (super)algebras whose denominator functions can be identified with these modular functions.
We developed the crystal and global basis theory for generalized Kac-Moody algebras, and also constructed the Lusztig's canonical basis for generalized Kac-Moody algebras using the Hall algebra construction for the associated quantum groups.
We extended the notion of Young walls to the crystal bases for arbitrary integral highest weight representations of classical quantum affine algebras, and obtained several results on interesting combinatorial properties of Young walls.
We succeeded in giving explicit realizations of Nakajima's monomial bases for classical quantum groups, and constructed a Nakajima's monomial basis for the crystal basis of the quantum group itself. Nakajima's monomial bases for generalized Kac-Moody algebras and their modules were also constructed.
In relation to product identities, we obtained several properties of super-replicable functions, and new interpretations in terms of Necklace rings and Witt rings.

목차 Contents

• Ⅰ. 연구계획 요약문...3
• 1. 국문요약문...3
• Ⅱ. 연구결과 요약문...4
• 1. 국문요약문...4
• 2. 영문요약문...5
• Ⅲ. 연구내용...6
• 1. 서론...6
• 2. 연구방법 및 이론...8
• 3. 결과 및 고찰...11
• 4. 결론...17
• 5. 인용문헌...18
• 6. 연구 성과...20