초록 ▼

본 연구에서는 적분방정식과 대역적 커플링을 포함하는 세 개체의 반응-확산 방정식에서 대역적 강도가 변함에 따라 이 문제에서 유도되는 자유 경계치문제의 해의 행태를 조사한다. 또한 대역적 커플링의 효과와 breathing 움직임의 억제에 대하여연구 조사한다
반응-확산 방정식에서 정상점들은 반응제와 확산제의 비율이 감소하면 안정성은 불안정하게 된다. 이러한 안정성의 상실은 호프 분기현상과 내부 층의 위치에서 주기진동과 같은 성질을 야기하게 된다. 더욱이 진행점들은 breathing 불안정성이 억제될 때만 조사될 수 있다. 이러한

본 연구에서는 적분방정식과 대역적 커플링을 포함하는 세 개체의 반응-확산 방정식에서 대역적 강도가 변함에 따라 이 문제에서 유도되는 자유 경계치문제의 해의 행태를 조사한다. 또한 대역적 커플링의 효과와 breathing 움직임의 억제에 대하여연구 조사한다
반응-확산 방정식에서 정상점들은 반응제와 확산제의 비율이 감소하면 안정성은 불안정하게 된다. 이러한 안정성의 상실은 호프 분기현상과 내부 층의 위치에서 주기진동과 같은 성질을 야기하게 된다. 더욱이 진행점들은 breathing 불안정성이 억제될 때만 조사될 수 있다. 이러한 현상은 대역적인 제한과 불안정하거나 발산하는해를 억제해 주는 역할을 하는 대역적 커플링과 적분조건에 의해 설명될 수 있다. 본 연구에서는 적분 방정식과 대역적 커플링을 갖는 세 개체로 이루어진 반응-확산 방정식에서 유도되는 자유경계치 문제를 다루었으며 특이 극한이 아닌 자유경계치 문제에 대한 대역적 커플링의 효과를 분석함으로서 강한 대역적 커플링일 때의 해의 분기현상과 안정성을 implicit function 정리와 Hopf 분기현상 이론에 입각하여 연구하였다. 자유경계치 문제에 대하여 해의 대역적 커플링 효과를 다음과 같은 단계로 연구 조사하였다.
1. 자유경계치 문제 유도 : 적분 방정식은 활성제의 함수이므로 억제제의 공간적 평균 속도와 이 평균속도의 미분방정식을 구하였고 자유경계치의 속도함수를 구하여 자유경계치문제를 건설하였다.
2. 자유경계치 문제의 정규화 : 변수변환을 사용하여 자유경계치 문제를 정규화 하였다. 이 문제에 대하여 해의 존재성, 주기성과 분기현상이 보장 될 수 있는 공간은 semigroup이론을 적용하여 구하였다.
3. 정상해의 존재성과 선형화문제 : 대역적커플링상수를 세 구간으로 나누어서 정상해의 존재범위를 구하였고 선형화된 고유값문제를 구하였다.
4. 호프 분기현상에 대한 대역적 커플링의 효과 : 대역적 커플링 상수가 변함에 따라 정상해가 호프 점이 되는지 조사하였다. 호프 분기현상이 발생하는 대역적 커플링의 조건과 강한 대역적 커플링인 경우에 해의 안정성을 조사하였다
자유경계치문제는 자유경계치와 억제제의 평균속도에 의존하는 3개의 변수로 구성된 문제로 나타나게 되었고 해 존재성과 분기현상이 보장되는 공간은 semigroup이론을 적용하여 해의 존재성을 증명하였다. 대역적커플링이 없는 경우와 (mu+1) 인경우에는 정상해가 호프점이 (즉, 순허수 고유값이 유일하게 존재하고 그런 값이 존재하는 유일한 분기매개변수가 유일하게 존재한다) 됨을 증명하였다. 그러나 대역적커플링이 증가하면 정상해가 호프점이 되기 위해서는 순허수 고유값의 존재 범위가 축소되고 분기매개변수가 증가함에 따라 정상해는 불안정해에서 안정해로 변함을 알 수 있었다. 또한 강한 대역적 커플링 상수인 경우에는 앞에서 사용하였던 방법과는 달리 전반적으로 분기매개변수의 움직임을 통해 해의 안정성을 조사하였는데, 분기매개변수가 증가함에 따라 정상해는 불안정해에서 안정해로 변함을 알수 있었다. 결론적으로 대역적 커플링의 효과가 증가할 때 breathing 해가 안정해로 변함을 알 수 있었다. 연구결과의 한 부분으로 여학생들에게 도움이 될 국내외 자료와 본인의 강의내용을 홈페이지로 제작하였다. 본 연구를 통해 얻은 논문은 저널 “Mathematical Models and Methods in Applied Sciences”에 투고중이다.

Abstract ▼

We consider a three-component reaction-diffusion system with global coupling and the integral condition in this project. The behaviors of solutions for a free boundary problem is investigated when the global intensity varies. We shall examine the effects of global coupling and the suppression of bre

We consider a three-component reaction-diffusion system with global coupling and the integral condition in this project. The behaviors of solutions for a free boundary problem is investigated when the global intensity varies. We shall examine the effects of global coupling and the suppression of breathing motions for the free boundary problem.
the ratio of the activator and inhibitor times is gradually decreased. The loss of stability results from a Hopf bifurcation and produces a kind of periodic oscillation in the location of the internal layers. If the breathing instability is suppressed, traveling spots can be only be observed. This phenomena can be achieved by global coupling and the integral condition which describe a global restriction of the resources and plays an important role in stabilizing moving spots. We consider three-component reaction-diffusion system with the global coupling and the integral condition. We examine the effects of global coupling for this free boundary problem as followings:
1. Construction of the free boundary problem : We found the spatial average of the inhibitor and the differential equation of it. And we set up the free boundary problem.
2. The regularized free boundary problem : Use a transformation to obtain the regular problem for the free boundary problem. Apply the semigroup theory to define the domain of solutions which is guaranteed the stability and a Hopf bifurcation.
3. Stationary solutions and linearized eigenvalue problem : Examine the existence of stationary solutions as global coupling varies and obtain the linearized eigenvalues problem at the stationary solutions.
4. Effects on global coupling for a Hopf bifurcation : Investigate the conditions that the stationary solution becomes Hopf points as the global coupling constant varies. Find the conditions of global coupling occurring a Hopf bifurcation. Examine a stability for the strong global coupling.
We obtain a free boundary problem depending on the free boundary and the spatial average of the inhibitor and the well posedness of the solutions using the fractional power. For the case without global coupling and the case of (mu+1), there exist a Hopf point, i.e., the unique pair of pure imaginary eigenvalues and the unique bifurcation parameter and thus the Hopf bifurcation occurs. As the global coupling constant increases, the pair of pure imaginary eigenvalues is restricted. The stationary solution is getting to be stable as the bifurcation parameter increases. For sufficiently strong global coupling, we have the same result by using the different method. Hence, as the effects on global coupling increases, we see that the breathing motions are suppressed and the stationary solutions are becoming to be stable solutions. The web page was made for future women students. I submit the manuscript in the Journal of Mathematical Models and Methods in Applied Sciences”.

목차 Contents

• Ⅰ. 연구계획 요약문...4
• 1. 국문요약문 ...4
• Ⅱ. 연구결과 요약문...5
• 1. 국문요약문 ...5
• 2. 영문요약문 ...6
• Ⅲ. 연구내용...7
• 1. 서론 ...7
• 2. 연구방법 및 이론 ...8
• 3. 결과 및 고찰 ...14
• 4. 결론 ...15
• 5. 인용문헌 ...16