초록 ▼

우리는 비가환 기하 관련 연구에서 비가환 Calabi-Yau 다양체 특성과 비가환 토러스상의 양자쎄타함수와 관련된 특성 그리고 새로운 양자화 방식에 대해서 연구하였다. 이를 통하여 M이론과 연관된 비가환 장론의 해를 주는 비가환 사영연산자에 대하여 연구하였다. 먼저, 특이 K3 곡면인 T4/Z2 orbifold 경우에 대수기하적 변형을 시도하고, 비가환 4-토러스 상에서의 상태함수의 표현으로 quantized theta 함수에 대한 연구를 수행하였다. 이로부터 Schwarz의 theta vector와 Manin의 quantum th

우리는 비가환 기하 관련 연구에서 비가환 Calabi-Yau 다양체 특성과 비가환 토러스상의 양자쎄타함수와 관련된 특성 그리고 새로운 양자화 방식에 대해서 연구하였다. 이를 통하여 M이론과 연관된 비가환 장론의 해를 주는 비가환 사영연산자에 대하여 연구하였다. 먼저, 특이 K3 곡면인 T4/Z2 orbifold 경우에 대수기하적 변형을 시도하고, 비가환 4-토러스 상에서의 상태함수의 표현으로 quantized theta 함수에 대한 연구를 수행하였다. 이로부터 Schwarz의 theta vector와 Manin의 quantum theta function 사이의 관계를 이해하였다. Orbifold상에서의 quantum theta function은 quotient group의 대칭성을 crossed product algebra의 표현에 대치시켜 여기에 상응하는 algebra valued inner product를 정의하여 얻었다. 우리는 Manin의 모델 II 양자쎄타함수를 사용하여, 양자 복소 토러스에서의 대칭그룹이 심플렉틱 그룹인 Sp(2n,Z)의 부분그룹임을 밝히고, Morita 동치로 주어지는 비가환 토러스들 사이의 변환 그룹인 So(2n,2n,Z)와 비가환 토러스 embedding 격자에서의 translation 그룹인 Z^2n에 대한 변환에서 비가환 토러스가 대칭성을 가짐을 밝혔다. 리초대수 P(n)의 표현론을 텐서곱공간에서의 교환 대수를 통하여 연구하고 P(n)의 모든 최대벡터들을 구하였다. 일반선형양자초군의 Uq(gl(m,n))의 유리 표현론을 혼합텐서곱 공간에서 교환대수를 이용하여 혼합텐서곱 공간을 기약표현들로 분해함으로서 연구하였다. 이 경우 유리 기약 표현들의 최대벡터들 또한 얻으며 각 기저에 대한 양자초군의 작용을 기술한다. 그리고, 템퍼리-립 대수와 방울 대수의 표현론을 텐서곱 공간에서의 교환대수를 연구하였다.

Abstract ▼

We study the properties of noncommutative Calabi-Yau 2-fold, and quantum theta functions and then study the related quantization methods. We study projection operators as solutions of noncommutative field theory in relation with M theory. We first construct a noncommutative singular K3 surface, an o

We study the properties of noncommutative Calabi-Yau 2-fold, and quantum theta functions and then study the related quantization methods. We study projection operators as solutions of noncommutative field theory in relation with M theory. We first construct a noncommutative singular K3 surface, an orbifold T4/Z2, then study theta vectors as quantized state functions on noncommutative 4-torus. Based on this we understand the relation between Schwarz's theta vector and Manin's quantum theta function. Quantum theta function on an orbifold can be constructed, if the consistency of the crossed product algebra of the quotient group is fulfilled, and can be evaluated via algebra valued inner product. We find that the symmetry of quantum complex torus is a subgroup of Sp(2n,Z) in model II quantum theta funciton. With the fact that the symmetry transformation of quantum torus due to Morita equivalence is So(2n,2n,Z), we also find the translation in the embedding lattice of noncommutative torus, Z^2n, is the symmetry of quantum torus, and thus lead to the way for the construction of quantum Jacobi form. In quantum group research, we study the representation theory of P(n) using the centralizer algebra of the tensor product space of its n-dimensional space. We obtain all maximal vectors of P(n) in the tensor product space. We further study the rational representation theory of the quantum super algebra Uq(gl(m,n)) by decomposing its mixed tensor product space using the centralizer algebra of Uq(gl(m,n)). We describe the action of the quantum superalgebra on irreducible rational representation space, and show its maximal vectors. We also study the representation theories of the Temperley-Lieb algebra and the blob algebra on tensor product spaces.

목차 Contents

• I. 연구계획 요약문...3
• 1. 국문요약문...3
• II. 연구결과 요약문...4
• 1. 국문요약문...4
• 2. 영문요약문...5
• III. 연구내용...6
• 1. 서론...6
• 2. 연구방법 및 이론...12
• 3. 결과 및 고찰...21
• 4. 결론...29
• 5. 인용문헌...36