초록 ▼

Sobolev형태의 부등식 연구에서 최적의 상수는 가장 핵심적인 역할을 하는 부분이다.본 연구의 중심목표는 고전적 Sobolev 부등식에 대한 깊은 이해를 바탕으로 하며 좀 더 나아가 exponential class Sobolev부등식의 한 종류 인 선형화 된 Moser부등식에 대한 연구를 단위원 상에서 실행하고자 한다.
Sobolev imbedding 정리의 경계에 해당하는 p = n인 경우에, Sobolev 부등식은 exponential 형태의 적분 가능성에 대한 조건으로 바뀌었다.
Trudinger, Adams, F

Sobolev형태의 부등식 연구에서 최적의 상수는 가장 핵심적인 역할을 하는 부분이다.본 연구의 중심목표는 고전적 Sobolev 부등식에 대한 깊은 이해를 바탕으로 하며 좀 더 나아가 exponential class Sobolev부등식의 한 종류 인 선형화 된 Moser부등식에 대한 연구를 단위원 상에서 실행하고자 한다.
Sobolev imbedding 정리의 경계에 해당하는 p = n인 경우에, Sobolev 부등식은 exponential 형태의 적분 가능성에 대한 조건으로 바뀌었다.
Trudinger, Adams, Flucher등은 이러한 exponential integrability를 증명하며 식에서 최상의 상수를 연구 발전시켰다. 그리고 Carleson과 Chang은 해당 문제의 extremal 함수의 존재성에 대하여 언급하는 한편 Moser, Onofri, Beckner등은 구상에서의 선형화된 exponential Sobolev 부등식을 연구 발전시켰다.
본 연구자는 단위원 상에서의 선형화된 Moser-Trudinger 부등식을 발전시키기 위한 핵심 도구로써 고전적인 Sobolev 부등식을 사용하였다. 이 부등식은 Geometric analysis분야의 연구에서 자주 언급되고 또한 Beckner에 의하여 구상에서의 exponential sobolev 부등식 연구에 사용된 바 있다. 본 연구에서는 이 고전적 Sobolev부등식에 Beckner가 구상에서의 연구에 사용한 기교와 함수의 symmetrization 방법을 사용하여 단위원 상에서의 선형화된 Moser-Trudinger 부등식을 유도 사용하였다.
또한, 본 연구와 관련된 내용으로써 최근에 연구 된 Sobolev 그리고 Moser-Trudinger부등식 형태의 부등식들과 그 응용에 대하여 조사하여 관련분야의 연구 동향에 대하여 연구하였다..
구상에서의 Beckner부등식이 몇몇의 기하학 문제(편미방 문제)에 사용되었다. 그리고 Sobolev 형태의 부등식 역시 p-Laplace방정식의 해와 관련된 비선형 potential 이론과 깊이 관련되어 있다. 우리는 exponential class Sobolev부등식들의 유용함을 알 수 있는 다수의 연구 결과들을 쉽게 접할 수 있다. 그런 면에서 sharp Moser-Trudinger부등식에 대한 연구는 geometric analysis, partial differential equation등의 발전에 활기를 불어넣을 것이다.

Abstract ▼

In study of Sobolev type inequalities, getting sharp constants play an essential role because they contain geometric information. The principal objective of my research is to develop a deeper understanding of classical Sobolev inequalities.
Furthermore I intent to update the linearized Moser-Trud

In study of Sobolev type inequalities, getting sharp constants play an essential role because they contain geometric information. The principal objective of my research is to develop a deeper understanding of classical Sobolev inequalities.
Furthermore I intent to update the linearized Moser-Trudinger inequality for the unit disc in the plan.
In the botherline case of the sobolev imbedding theorem (when p = n), the Sobolev inequality is replaced by a condition of exponential integrability.
Trudinger, Adams and Flucher computed sharp constants in the exponential integrability condition. Carleson and Chang mentioned about the existence of the extremal function while Moser, Onofri, Beckner tried to got sharp form of the linearized exponential Sobolev inequality on the sphere.
To develop linearized Moser-Trudinger inequality on the unit ball we used the classical Sobolev inequality which is deeply related with this research. It was a basic tool in geometric analysis and also used by Beckner in the research about the exponential Sobolev inequality on the sphere.
Using the classical Sobolev inequality we obtained a linearized Moser-Trudinger type inequality on the disc. We accepted the inequality by an elementary real-variable argument by using symmetrization and rearrangement. And we also used Beckner's method which was used in the study of sharp Sobolev inequalities.
To improve our research further we observed recent applications of inequalities related to the Sobolev and Moser-Trudinger type inequalities on a different setting.
Beckner's result on the sphere been used in several geometric problems. And Sobolev type inequalities are deeply related in the nonlinear potential theory associated to solutions of p-Laplace equation. we can find many papers which demonstrates the richness of the family of exponential class Sobolev inequalities.
In that sense, a sharp exponential class Sobolev inequality will provide a good direction to the development of some geometry and partial differential equations problems.

목차 Contents

• Ⅰ. 연구계획 요약문...3
• 1. 국문요약문...3
• Ⅱ. 연구결과 요약문...4
• 1. 국문요약문...4
• 2. 영문요약문...5
• Ⅲ. 연구내용...6
• 1. 서론...6
• 2. 연구방법 및 이론...7
• 3. 결과 및 고찰...9
• 4. 결론...10
• 5. 인용문헌...10