초록 ▼

연구의 목적 및 내용
Nielsen 이론과 관련된 다양한 연구성과를 포함하는 더 큰 공간들, 특히 solv 다양체로 발전시키고자 한다. 본 연구는 기하위상수학적의 문제를 연구하는 것으로서 Lie 군의 기하학적 접근과 해석, 대수위상수학적 접근과 해석을 필요로 한다. 논문 [6]에서 McCord는 그 간의 solvmanifolds 위의 Nielsen 이론을 종합하여 solvmanifolds위의 예측문제를 제시하였다. 본인은 nilmanifolds와 infra-nilmanifolds 위의 Nielsen 이론의 연구를 통하여 위 예

연구의 목적 및 내용
Nielsen 이론과 관련된 다양한 연구성과를 포함하는 더 큰 공간들, 특히 solv 다양체로 발전시키고자 한다. 본 연구는 기하위상수학적의 문제를 연구하는 것으로서 Lie 군의 기하학적 접근과 해석, 대수위상수학적 접근과 해석을 필요로 한다. 논문 [6]에서 McCord는 그 간의 solvmanifolds 위의 Nielsen 이론을 종합하여 solvmanifolds위의 예측문제를 제시하였다. 본인은 nilmanifolds와 infra-nilmanifolds 위의 Nielsen 이론의 연구를 통하여 위 예측문제의 부분적인 해결과 예측문제가 성립하지 않는 경우는 대체 공식을 유도하여 왔다. 다음의 McCord의 예측문제 ([6])를 해결하고자 한다:
S_1, S_2 가 type (NR)인 solvmanifolds이고, f, g : S_1 -> S_2일 때, N(f,g)=| L(f,g) |
연구결과
타입 (R)인 가해 다양체상의 유한차수 정규 덮개공간에 대한 Nielsen 고정수와 일치수의 평균화 공식을 유도한다. 즉,
N(f) = 1/|Ψ| {Σ |det(A* - f*)| }, N(f,g) = 1/|Ψ| {Σ |det(g* -A* f*)| } 6-차원 nilpotent Lie 군의 하나인 3 x 3 unipotent upper triangular인 복소행렬 군 G의 infra-nil 다양체를 연구한다. G의 기하를 갖는 호로노미 위수가 최대인 AB-군을 구성한다. 이는 기하학적으로 흥미있는 6 차원 다양체를 구성한 것이다. 이 위에서의 Nielsen 이론 연구가 기대된다.
본 연구과제에서는 (infra-)nil endomorphism을 정의하고 혼돈함수로서 (infra-)nil automorphism이 갖는 주기점 집합의 density 성질이 eventually 주기점 집합에 대하여 성립함을 보인다.
Nil 다양체상의 함수에 대한 Anosov 정리 (N(f) = | L(f) |)를 고정점에서 일치점으로 확장할 뿐만 아니라 다양체도 nil 다양체에서 solv 다양체로 확장하는 것이며 대수적 계산 공식을 유도하는 것이다. 이제 L(f)=det(G_*-F_*)임을 보인다.
3-차원 unimodular (simply connected) Lie 군 위의 모든 좌불변 리만계량에 대한 isometry 군을 결정하는 것이다. 본 과제의 핵심결과인 isometry 군은 Ricci transformation의 signature와 상수곡률의 sign에 의하여 완전히 결정됨을 보인다.
Marzantowicz와 Przytycki에 의하여 증명된 nil 다양체상의 entropy conjecture를 기반으로 infra-nil 다양체상에서도 entropy conjecture가 성립함을 증명한다.
연구결과의 활용계획
단순연결 리군 중 가해 리군의 상공간의 미분기하의 연구에 중요한 결과를 제공할 것으로 기대된다. 본인의 3-차원상의 좌불변 리만 계량과 곡률의 선행연구의 기술을 4-차원에서도 활용하여 4-차원에서도 유사한 결과를 얻을 것으로 예상된다. 또한 가해 리군에 대한 Bieberbach 정리의 확장가능성 정도를 4-차원에서 확인할 수 있을 것으로 기대한다.
멱등 리군의 상공간 위의 함수에 대한 본인의 고정점 및 일치점 연구를 모든 저차원 리군의 상공간 위의 함수에 대한 고정점 및 일치점 이론 연구로 확장하는 계기가 될 것이다. 또한, dynamics의 연구에 위상수학적 관점에서 고정점 이론이 매우 유용함이 몇가지 경우에 알려져 있다. 주기점 이론을 수행하고 dynamics의 연구에 활용할 수 있을 것으로 기대된다. 연구수행과정 중 새로운 연구주제의 파생이 예상되며 이는 곧바로 신진 연구 인력을 양성하는 밑거름으로 작용할 것으로 기대한다

Abstract ▼

Purpose&contents
The purpose is to develop the Nielsen theory on a class of manifolds, especially on solvmanifolds, which includes many known diverse results. This research is to study a geometric topological problem. It requires a geometric approach of Lie group theory and an algebraic topologic

Purpose&contents
The purpose is to develop the Nielsen theory on a class of manifolds, especially on solvmanifolds, which includes many known diverse results. This research is to study a geometric topological problem. It requires a geometric approach of Lie group theory and an algebraic topological approach and analysis. In [6], McCord conjecture a problem on solvmanifolds of type (E) by summerizing Nielsen theory on nilmanifolds. We succeeded to give partial answers to this conjecture and a counter example with an alternate formula on infra-nilmanifolds. We intend to solve the following McCord' s conjecture ([9]): When S_1, S_2 are solvmanifolds of type (NR) and f, g : S_1 -> S_2, N(f,g)=| L(f,g) | holds true.
Result
We derive averaging formula for Nielsen (coincidence) numbers on solvmanifolds of type (R):
N(f) = 1/|Ψ| {Σ |det(A* - f*)| }, N(f,g) = 1/|Ψ| {Σ |det(g* -A* f*)| }
We study the infra-nilmanifods modeled on the nilpotent Lie group G of 3 x 3 unipotent upper triangular complex matrices. We construct an AB-group of maximal holonomy and G-geometry. This means that we form a geometrically interesting 6-dimensional manifold. We expect the study of Nielsen theory on this manifold.
We define (infra-)nil endomorphisms and study one of chaotic properties. As chaotic maps, an (infra-)nil automorphism has dense subset of periodic points. We show that (infra-)nil endomorphi는 have eventually periodic dense subset.
The Anosov theorem (N(f) = | L(f) |) on nilmanifolds will be extended to coincidences and solvmanifolds. We also derive an algebraic formula
L(f)=det(G_*-F_*).
We will determine the full isometry groups for all left invariant Riemannian metrics on a 3-dimensional unimodular (simply connected) Lie group. They are determined by the signature of Ricci transformations and the sign of scalar curvatures.
Relying on the entropy conjecture on nilmanifolds proved by Marzantowicz and Przytycki, we prove the entropy conjecture for maps on infra-nilmanifolds.
Expected Contribution
We expect our methods of studying homogeneous spaces of solvable (nilpotent) Lie groups and understanding of fixed points and coincidences for maps of those spaces.
Our results and methods obtained from the study of isometry groups of 3-dimensional Lie group may be extended to the study for 4-dimensional Lie groups.
We have studied some properties of chaotic maps, especially infra-nil endomorphisms. This is an initiation of the study of dynamics for endomorphisms (including automorphisms).
All these new research topics obtained via this research project will be sources for nurturing students of our research group.

목차 Contents

• 중견연구자지원사업(핵심연구) 최종보고서 ... 1
• 목 차 ... 3
• 연구계획 요약문 ... 4
• 연구결과 요약문 ... 5
• 한글요약문 ... 5
• SUMMARY ... 6
• 연구내용 및 결과 ... 7
• 1. 연구개발과제의 개요 ... 7
• 2. 국내외 기술개발 현황 ... 8
• 3. 연구수행 내용 및 결과 ... 8
• 4. 목표달성도 및 관련분야에의 기여도 ... 11
• 5. 연구결과의 활용계획 ... 12
• 6. 연구과정에서 수집한 해외과학기술정보 ... 12
• 7. 주관연구책임자 대표적 연구실적 ... 13
• 8. 참고문헌 ... 13
• 9. 연구성과 ... 15
• 10. 기타사항 ... 15
• 대 표 연 구 성 과 ... 17