초록 ▼

본 연구에서는 Level Set 방법을 근사식 안으로 매입(immersed)시킨 격자망 없는 hybrid 차분법을 이용하여 융해(melting)/고체화(solidification)와 같은 이동경계문제를 효율적으로 시뮬레이션 할 수 있는 수치기법과 해석프로그램을 개발했다. 기존 수치해석기법들은 해석과정에서 요소망(mesh)이나 그리드(grid)와 같이 이산화의 기본단위를 필요로 하기 때문에 임의로 이동하는 계면경계의 형상과 미분 특이성을 묘사하는 것이 쉽지 않다. 또한, 이동경계문제에서 계면경계의 형상이 해(solution)의 일부로

본 연구에서는 Level Set 방법을 근사식 안으로 매입(immersed)시킨 격자망 없는 hybrid 차분법을 이용하여 융해(melting)/고체화(solidification)와 같은 이동경계문제를 효율적으로 시뮬레이션 할 수 있는 수치기법과 해석프로그램을 개발했다. 기존 수치해석기법들은 해석과정에서 요소망(mesh)이나 그리드(grid)와 같이 이산화의 기본단위를 필요로 하기 때문에 임의로 이동하는 계면경계의 형상과 미분 특이성을 묘사하는 것이 쉽지 않다. 또한, 이동경계문제에서 계면경계의 형상이 해(solution)의 일부로부터 얻어지기 때문에 해석의 어려움을 더한다. 그러나 무격자hybrid 차분법은 그리드 없이 절점만을 이용하여 Taylor 다항식을 전개하고 이 과정에서 원하는 함수와 그 미분을 동시에 근사할 수 있는 강형식 기반의 새로운 수치기법으로 이동하는 계면경계를 쉽게 모형화 할 수 있다. 여기에 이동하는 계면경계를 모사할 수 있는 확장항을 도입하여 이동경계문제를 정확하고 효율적으로 해석하였다. 수치 알고리즘 개발 및 컴퓨터 프로그램 작성이 제안서에서 제시된 계획대로 잘 이루어졌으며, 다양한 수치예제를 통해 개발된프로그램의 검증도 성공적으로 수행했다.
먼저, 이동경계의 위상변화를 추적하기 위해 추가적으로 도입되는 Level Set Method와 같은 수치기법을 피하기위해 이동경계의 수학적 특성과 kinetics를 모사할 수 있는 특수한 항들을 근사함수 내로 매입하여 이동경계문제를 해석하였다. 지배방정식의 차분은 안정성이 보장되는 음해법(implicit method)을 사용했다. 또한, 시간에 따라 이동하는 계면경계의 위치를 시간에 대하여 explicit update 방법뿐만 아니라 implicit update 방법으로 update 할 수 있는 기법을 개발했다. 이동경계문제의 수치계산은 매 해석단계에서 열전달 방정식의 해(solution)인 온도뿐만 아니라 이동경계의 위치까지 미지값이 되면서 전체 계방정식이 비선형 시스템이 되기 때문에 반복해석기법이 필요하다. Explicit update 방법을 사용하면 반복계산을 피할 수 있어 계산효율성이 뛰어나지만 시간적분이 진행됨에 따라 발생하는 오차의 크기를 줄이기 어려웠다. 반면, implicit update 방법은 매 해석단계에서 일정한 오차기준 이내에서 수렴한 해를 찾은 후 다음 단계로 넘어가기 때문에 정해와 더 잘 일치하는 수치해를 얻을 수 있었다. 특히, 절점의 개수가 증가해도 반복계산 횟수가 거의 증가하지 않고 정확도를 잘 유지하는 것으로부터 implicit 알고리즘이 계산효율성을 일정 수준이상으로 확보하면서도 해의 정확도를 획기적으로 향상시킬 수 있음을 보였다.
다음으로, 개발된 해석 알고리즘을 보다 범용적인 2차원 이동경계문제를 해석할 수 있도록 확장하여 이동경계가 복잡한 기하학적 형상을 갖는 문제까지도 성공적으로 시뮬레이션 했다. 2차원 공간상에서도 계면경계의 미분불연속 특이성과 kinetics 관계식을 동시에 만족시킬 수 있도록 이동최소제곱 미분근사식를 유도하여 Level Set Method 같은 추가의 수치기법의 도입이 필요 없도록 했다. 1차원 문제와 달리 2차원 문제의 경우 계면경계의 위상변화 추적을 위해 세그먼트화(化)된 계면경계의 수직미분 정의와 update 기법이 중요한데, 2차원 이동경계문제에서도 성공적으로 작동하는 계면경계 모델링 기법을 개발했다. 이것은 기존의 연구와 확실히 차별화되는 우수한 연구결과이다. 다양한 수치예제를 해석한 결과, 이론해가 알려진 문제에 대해 정확한 해를 줄 뿐만 아니라, 초기의 계면경계 형상이 상당히 복잡한 경우에도 해석의 정확도를 잘 유지하면서 이동경계의 기하학적 위상변화를 효과적으로 추적할 수 있었다. 더 나아가, 자유이동경계문제뿐만 아니라 고체역학문제의 동적해석도 수행할 수 있는 컴퓨터 프로그램을 개발했다. 2차원까지 확장된 동적해석 알고리즘을 바탕으로 explicit 및 implicit 시간적분법을 모두 적용할 수 있는 해석 tool을 개발하여 기존의 유한요소법과 경쟁할 수 있는 정확성과 계산효율성을 얻었다.
본 연구에서 개발된 수치기법은 유체-고체 또는 유체-유체 상호작용 문제와 같은 보다 난이도가 있는 문제에 확장되어 적용이 가능할 뿐만 아니라, 고체문제의 동적균열전파 시뮬레이션에 아주 적합하다고 판단되며 이에 대한 연구들을 이미 진행하고 있다. 또한 본 연구에서 개발된 기법은 추후에 기계, 항공, 조선, 생명공학 등과 연관된 다양한 융합학문 분야로의 확장도 기대된다.

목차 Contents

• 일반연구자지원사업 최종(결과)보고서 ... 1
• 목차 ... 2
• Ⅰ. 연구결과 요약문 ... 3
• Ⅱ. 연구내용 및 결과 ... 4
• 1. 연구과제의 개요 ... 4
• 2. 국내·외 기술개발 현황 ... 4
• 3. 연구수행 내용 및 결과 ... 5
• 4. 목표 달성도 및 관련 분야에의 기여도 ... 8
• 5. 연구결과의 활용 계획 ... 9
• 6. 연구과정에서 수집한 해외 과학기술 정보 ... 10
• 참고문헌 ... 10
• Ⅲ. 연구성과 ... 11