초록 ▼

본 과제의 연구 수행을 통해 다음의 연구성과를 도출하였다.
특성공간 정제된 Cheeger-Gromov rho 불변량 이론: 본 연구진은 특성공간 정제된 (eigenspace-refined) Cheeger-Gromov rho 불변량을 정의하고 관련된 이론을 개발하였다. 우리는 center에 포함되는 적절한 유한 위수 군 원소를 활용하여 이를 L2 Hilbert space상의 operator로 보고 regular representation을 특성공간으로 분해하여 이로부터 L2-부호수 불변량을 정의하였으며, bordism 이론적 특

본 과제의 연구 수행을 통해 다음의 연구성과를 도출하였다.
특성공간 정제된 Cheeger-Gromov rho 불변량 이론: 본 연구진은 특성공간 정제된 (eigenspace-refined) Cheeger-Gromov rho 불변량을 정의하고 관련된 이론을 개발하였다. 우리는 center에 포함되는 적절한 유한 위수 군 원소를 활용하여 이를 L2 Hilbert space상의 operator로 보고 regular representation을 특성공간으로 분해하여 이로부터 L2-부호수 불변량을 정의하였으며, bordism 이론적 특성을 분석하고 Atiyah 형태의 지표 정리의 위상수학적 꼴을 증명하여 다양체의 rho-불변량을 건설하였다.
PTFA 부호수 불변량으로 검출되지 않는 새로운 비 단면 매듭(non-slice knot)의 발견: Z/p 계수를 Blanchfield 형식을 이용하여 3차원 다양체의 기본군과 4차원 코보디즘의 기본군의 관련성을 이해하는 방법을 개발하고 또한 선행연구인 Amenable Signature 이론을 활용하여 위상수학적 동계성의 연구에 있어 가장 근간이 되는 이론인 Levine의 불변량, Casson-Gordon의 불변량 및 Cochran-Orr-Teichner의 PTFA 부호수 불변량이 비 단면 매듭에 대한 완전한 불변량이 되지 못한다는 사실을 입증하였다.
4차원 Whitney tower cobordism 이론 및 고리 동계 문제에 대한 응용: Cochran-Orr-Teichner가 제안한 매듭, 고리에 대한 Whitney tower 및 grope을 일반화하여 경계를 갖는 3차원 다양체의 호몰로지 코보디즘에 대한 Whitney tower 코보디즘 이론을 제안하고 이와 같은 기하적 특성을 Amenable Cheeger-Gromov rho-불변량을 이용하여 검출할 수 있음을 증명하였다. 이를 이용하여 기존의 수술다양체로부터 얻어지는 동계 불변량들이 전혀 활용될 수 없는 호프 고리의 동계성에 대한 새로운 응용 방법을 제시하였다.
호프 고리(Hopf link)에 대한 미분가능 동계와 위상수학적 동계의 차이점 규명: 알렉산더 다항식이 1이면서도 호프 고리와 미분가능 동계적이지 않은 고리가 무수히 많다는 사실을 증명하여 2006년 Davis가 제안한 문제를 해결하였다.
풀린 매듭으로 및 알렉산더 불변량이 1인 매듭으로 구성된 고리의 동계성 규명: 고리가 매듭에 비해 얼마나 더 많은 복잡한 구조를 동계적으로 가질 수 있는지를 규명하기 위한 연구의 일환으로, 고리의 각 성분매듭은 모두 풀려있을지라도 이 고리가 반드시 풀린 성분 매듭을 갖는 고리와 동계적이지는 않을 수 있다는 것을 증명하였다.
꼬인 알렉산더 불변량을 이용한 호몰로지 동위 및 고리 동계 불변량 발견: 꼬인 알렉산더 불변량의 쌍대성을 이용하여 새로운 호몰로지 동위 및 고리 동계 불변량을 개발하고, Milnor에 의해 처음 발견된 acyclic 4차원 다양체의 경계가 되는 3차원 다양체의 torsion이 갖는 특성을 non-acyclic인 경우로 확장하였다.
3차원 다양체 기본군의 숨겨진 유한 위수 원소(hidden torsion)의 발견 및 이와 관련된 새로운 호몰로지동위류(homology cobordism class) 검출: 3차원 다양체 기본군과 4차원 호몰로지 코보디즘 기본군의 어떤관련성을 갖는지를 이해하기 위해서는 Vogel과 Levine이 Bousfield의 이론을 정제하여 정의한 군의 algebraic closure를 생각하는 것이 자연스럽다. 이와 관련해, 3차원 다양체 기본군이 algebraic closure상에서 숨겨진 torsion을 가질 수 있음을 증명하였다. 이 숨겨진 torsion은 transfinite lower central series에 포함되어 있어, 이와 관련된 3차원 다양체들은 과거 알려진 방법으로는 식별이 전혀 불가능하다. 또한 Freedman과 Cochran의 질문인 “3차원 다양체 기본군의 lower central length가 호몰로지 코보디즘에 의해 보존되는가?”에 대한 반례를 제시하였다.

목차 Contents

• 일반연구자지원사업 최종(결과)보고서 ... 1
• 목차 ... 2
• Ⅰ. 연구결과 요약문 ... 3
• Ⅱ. 연구내용 및 결과 ... 4
• 1. 연구과제의 개요 ... 4
• 2. 국내외 기술개발 현황 ... 4
• 3. 연구수행 내용 및 결과 ... 4
• 4. 목표 달성도 및 관련 분야에의 기여도 ... 6
• 5. 연구결과의 활용계획 ... 6
• 6. 연구과정에서 수집한 해외과학기술정보 ... 6
• Ⅲ. 연구성과 ... 7