초록 ▼

□ 연구개요
본 연구는 2000년대 초 소개된 히가드 플로어 이론을 이용하여 매듭, 3차원 다양체, 4차원 다양체 등 저차원 위상수학의 대상들의 성질과 이 들 사이의 관계를 밝히는 것을 목표로 하였다. 보다 구체적으로 다음과 같은 저차원 위상수학의 주제들에 관하여 연구를 진행하였다.
(1) 3차원 다양체와 매듭 수술
(2) 4차원 다양체와 그 경계인 3차원 다양체 사이의 관계
(3) 히가드 플로어 4차원 다양체 불변량

□ 연구 목표대비 연구결과
(1) 3차원 다양체와 매듭 수술
본 연구

□ 연구개요
본 연구는 2000년대 초 소개된 히가드 플로어 이론을 이용하여 매듭, 3차원 다양체, 4차원 다양체 등 저차원 위상수학의 대상들의 성질과 이 들 사이의 관계를 밝히는 것을 목표로 하였다. 보다 구체적으로 다음과 같은 저차원 위상수학의 주제들에 관하여 연구를 진행하였다.
(1) 3차원 다양체와 매듭 수술
(2) 4차원 다양체와 그 경계인 3차원 다양체 사이의 관계
(3) 히가드 플로어 4차원 다양체 불변량

□ 연구 목표대비 연구결과
(1) 3차원 다양체와 매듭 수술
본 연구 과제를 통해 매듭의 수술로 얻을 수 없는 기존에 알려지지 않았던 무한히 많은 새로운 형태의 3차원 다양체의 예제를 제시할 수 있었고 이에 대한 결과를 “Irreducible 3-manifolds that cannot be obtained by 0-surgery on a knot” 논문을 통해 발표하였다.
(2) 4차원 다양체와 그 경계인 3차원 다양체 사이의 관계
4차원 유리 호몰로지 공의 경계가 될 수 있는 구형 3차원 다양체를 완벽히 분류하였고 이를 “Spherical 3-Manifolds Bounding Rational Homology Balls” 논문을 통해 발표하였다.
또한 렌즈공간을 경계를 갖는 4차원 다양체의 교차형식을 분류하는 연구를 진행하였고 특정한 조건을 만족하는 렌즈공간의 경우 분류에 성공하였다. 이에 대한 결과는 현재 논문 작성 중이다.
(3) 히가드 플로어 4차원 다양체 불변량
연구 목표 중에 하나였던 히가드 플로어 4차원 다양체 불변량 연구는 다양한 연구를 시도했음에도 불구하고 새로운 결과를 낼 수 없었다.

□ 연구개발성과의 활용 계획 및 기대효과(연구개발결과의 중요성)
본 연구 과제를 통해 발생한 성과는 앞으로 후속 연구에 활용될 예정이다. 우선 매듭 수술에 관한 연구에서 새롭게 제시된 히가드 플로어 이론의 의한 매듭수술에 관한 제한조건은 3차원 다양체의 매듭수술의 특성에 관한 연구 뿐 아니라 매듭의 다양한 불변량 연구에도 활용을 할 계획이다.
특히 본 연구과제를 통해 제시된 4차원 다양체의 교차형식에 관한 히가드 플로어 보정항의 필요조건은 활용성이 높다고 생각되고 4차원 다양체의 교차형식의 분류 뿐 아니라 4차원 다양체를 활용한 매듭이론의 다양한 문제에 활용할 수 있을 것이라 기대하고 있다. 또한 유리 호몰로지 4차원 공에 대한 연구는 특이 4차원 건설의 핵심적인 요소이고 매듭이론의 유명한 추측인 ‘슬라이스-리본 추측’과 연관되어 있다. 따라서 이에 대한 후속 연구를 진행하고 활용할 계획을 가지고 있다.

(출처 : 연구결과 요약문 2p)

목차 Contents

• 표지 ... 1
• 연구결과 요약문 ... 2
• 목차 ... 3
• 1. 연구개발과제의 개요 ... 4
• (1) 연구개발의 목표 ... 4
• (2) 연구개발의 내용 및 범위 ... 4
• 2. 연구개발과제의 수행 과정 및 수행 내용 ... 6
• 3. 연구개발과제의 수행 결과 및 목표 달성 수준 ... 8
• 1) 정성적 연구개발성과(연구개발결과) ... 8
• 2) 세부 정량적 연구개발성과 ... 8
• 3) 목표 달성 수준 ... 8
• 4) 목표 미달 시 원인 분석 ... 9
• 4. 연구개발성과의 관련 분야에 대한 기여 정도(연구개발결과의 중요성) ... 10
• 5. 연구개발성과의 관리 및 활용 계획 ... 11
• 6. 참고문헌 ... 12
• 붙임1. 세부 정량적 연구개발성과 ... 13
• 붙임2. 연구책임자 대표적 연구실적 및 증빙(요약문 및 사본) ... 16
• 끝페이지 ... 24