초록 ▼

연구의 목적 및 내용
이번 연구 과제에서는 단위원의 n차근에서 헤케대수의 표현론을 조합적 방법으로 분석한다. 특히 헤케대수의 반단순몫대수(semisimple quotient)의 그로텐디엑환이 가지는 호프대수구조를 대칭함수를 이용하여 조합적으로 분석하고, 그 대수적 구조상수와 코대수(coalgebra)적 구조상수를 계산한다. 이러한 이중대수(bialgebra) 구조의 대수-코대수 쌍대성을 통해 보존-페르미온 쌍대성을 구현한다. 헤케대수의 표현론을 이용하여 대칭군의 토릭 스펙(toric Specht) 모듈을 단순모듈로 분해하는 조

연구의 목적 및 내용
이번 연구 과제에서는 단위원의 n차근에서 헤케대수의 표현론을 조합적 방법으로 분석한다. 특히 헤케대수의 반단순몫대수(semisimple quotient)의 그로텐디엑환이 가지는 호프대수구조를 대칭함수를 이용하여 조합적으로 분석하고, 그 대수적 구조상수와 코대수(coalgebra)적 구조상수를 계산한다. 이러한 이중대수(bialgebra) 구조의 대수-코대수 쌍대성을 통해 보존-페르미온 쌍대성을 구현한다. 헤케대수의 표현론을 이용하여 대칭군의 토릭 스펙(toric Specht) 모듈을 단순모듈로 분해하는 조합적 방법을 개발하고, 또 이 모듈의 차원를 매칭앙상블 다면체의 부피를 이용하여 계산한다.
연구결과
헤케대수의 표현론은 양자군(quantum group)의 범주화(categorification)를 통해 연구할 수 있다. 헤케대수가 단위원의 n차근에서 정의되어있을 때는 세미심플하지 않은데, 각각의 음아닌 정수 k에 대해서 (k,n)-헤케대수라는 반단순몫대수(semisimple quotient algebra)를 정의할 수 있다.
우리는 (k,n)-헤케대수의 그로텐디엑환이 가지는 호프대수구조, 또는 이중대수구조를 연구한다. 대수구조와 그 구조상수는 Goodman과 Wenzl에 의해서 미리 연구된 바 있고, 이는 등각양자장이론의 퓨전환(fusion ring)과 밀접한 관련이 있다. 이 연구과제에서 우리는, 코대수(coalgebra) 구조를 조합적 방법을 이용하여 연구한다. 특히 이 구조를 대칭함수환의 부분코대수(sub-coalgebra)로서 이해하는 방법을 개발한다. 이를 위하여 Postnikov의 실린더 슈어 함수(cylindric Schur function)와 McNamara의 양의 값 추측 등을 증명, 이용한다. 우리는 이 코대수구조가 Grassmannian의 양자코 호몰로지와 깊은 관련이 있고, 코대수구조의 구조상수를 계산함으로써 Grassmannian의 그로모프-위튼 불변량 계산해낼 수 있을 것으로 추측한다. 그러므로 대칭함수의 조합론을 이용하여 이러한 계수, 불변량들을 계산하는 방법을 찾는 것을 목표로 한다.
또한 실린더 슈어 함수와 대칭군의 토릭 스펙 모듈이라는 재표현의 관계에 대한 여러 가지 추측들이 제시되었고, 이는 또 슈베르트 대수다양체의 일반화에 대한 대수기하와 관련하여 연구할 수 있다. 특히, 슈베르트 대수다양체가 좋은 토릭다양체로 퇴화(degenration) 가능함을 증명하고, 이를 이용하여 대칭군 재표현의 차원을 조합론적 다면체의 부피를 이용하여 계산한다.
연구결과의 활용계획
퓨젼환과 양자코호몰로지가 각각 보존, 페르미온들의 적분가능계(integrable system)에 대응하기 때문에, 우리의 추측들을 증명하면 보존-페르미온 대응을 대수-코대수 대칭으로 이해할 수 있게 된다. 특히 이러한 대수적 구조를 조합론적 방법 - 대칭함수 호프대수의 부분대수 - 으로 만들기 때문에 여러 가지 물리적 불변량들을 조합론적 방법으로 이해할 수 있게 되고, 직접 계산하기 용이한 이론을 만들 수 있다.
단위원의 n차근에서 헤케대수의 표현론은 현재 활발하게 연구되고 있는 분야이다. 특히 양자군의 범주화를 통해 이해하는 것이 일반적인데, 여기에 이중대수 구조와 조합론적 표현을 이용한 새로운 관점을 제시한다. 이 과제는 조합론, 표현론, 대수기하의 교점에서 모든 분야의 이론을 사용하기 때문에 다양한 수학자들과의 교류를 증진시키고 연구성과를 올릴 것으로 기대된다.

Abstract ▼

Purpose&contents
In this research project, we are going to study the representation theory of Hecke algebras at root of unity. The Hopf algebra structure of the Grothendieck ring of semisimple quotient of the Hecke algebras are going to be studied using combinatorics of symmetric functions. We ca

Purpose&contents
In this research project, we are going to study the representation theory of Hecke algebras at root of unity. The Hopf algebra structure of the Grothendieck ring of semisimple quotient of the Hecke algebras are going to be studied using combinatorics of symmetric functions. We calculate the structure constants of algebra and coalgebra structures using the machinary.
Using the dual structure of algebra/coalgebra, we understand the Boson-Fermion correspondence. Also, we study toric Specht modules of the symmetric groups, and calculate the dimension using the volume of matching ensemble polytopes.
Result
Representation theory of Hecke algebras can be studied using categorification of quantum groups. When the Hecke algebra is defined over roots of unity, it is not semisimple but there are semisimple quotients of the algebra, namely (k,l)-Hecke algebra.
We studied the Hopf algebra and bialgebra structures of the Grothendieck ring of (k,l)-Hecke algebras. Algebraic structure and the structural coefficients had been studied by Goodnan and Wenzl, and they are related to the fusion ring of conformal quantum field theory. In this research project, we have studied the coalgebraic structure via combinatorial methods. In particular, we view this coalgebra structure as a sub-coalgebra of the symmetric function ring. We have used Postnikov’s cylindric Schur functions and proved McNamara’s cylindric positivity conjecture to study the structure. We have observed the coalgebra structure is deeply related to the quantum cohomology of Grassmannian, hence by calculating the coalgebra structure coefficient using combinatorial method, we can calculate Gromov-Witten invariants of Grassmannians.
Also we propose many conjectures and results on the relations between the cylindric Schur function and toric/cylindric Specht modules. The subject is related to the diagram Schubert varieties as well. We can study matching ensemble polytopes to find toric degenerations of the diagram Schubert varieties.
Expected Contribution
Fusion ring and quantum cohomology correspond to boson and fermion integrable systems, hence our results could give another understanding of boson-fermion correspondence as algebra-coalgebra duality. Also, we construct the dual structure using combinatorial models, hence we could understand physical invariants as combinatorial coefficients making them easier to calculate.
The representation theory of Hecke algebra at root of unity is active area of research. It is generally studied via categorification of quantum groups. We propose combinatorial view point to this area. We expect the researchers to work together across many related fields.

목차 Contents

• 일반연구자지원사업 최종보고서 양식 ... 1
• 목 차 ... 3
• 연구 계획 요약문 ... 4
• 연구 결과 요약문 ... 5
• 한글요약문 ... 5
• SUMMARY ... 6
• 연구내용 및 결과 ... 8
• 1. 연구개발과제의 개요 ... 8
• 2. 국내외 기술개발 현황 ... 10
• 3. 연구수행 내용 및 결과 ... 10
• 4. 목표 달성도 및 관련 분야에의 기여도 ... 11
• 5. 연구결과의 활용계획 ... 11
• 6. 연구과정에서 수집한 해외과학기술정보 ... 11
• 7. 주관연구책임자 대표적 연구 실적 ... 11
• 8. 참고 문헌 ... 12
• 9. 연구 성과 ... 13
• 10. 기타사항 ... 14
• 끝페이지 ... 15