초록 ▼

No dice conjecture는 양의 정부호 행렬에 대한 Karcher 평균의 단조성 해결과정에서 확률적 접근법(Strong Law of Large Numbers)을 통하여 제기된 문제로서 수학적인 면에서 중요한 의미를 가지고 있다. 최근 Holbrook에 의해 이 문제가 양의 정부호 행렬(positive definite matrices, PDM)상에서 해결되었다. 본 연구에서는 이를 일반적인 대칭원추(symmetric cone)상으로 확장하는 것을 첫 번째 연구목표로하고, 행렬해석학의 맥락과는 전혀 다른, 볼록해석학의(conv

No dice conjecture는 양의 정부호 행렬에 대한 Karcher 평균의 단조성 해결과정에서 확률적 접근법(Strong Law of Large Numbers)을 통하여 제기된 문제로서 수학적인 면에서 중요한 의미를 가지고 있다. 최근 Holbrook에 의해 이 문제가 양의 정부호 행렬(positive definite matrices, PDM)상에서 해결되었다. 본 연구에서는 이를 일반적인 대칭원추(symmetric cone)상으로 확장하는 것을 첫 번째 연구목표로하고, 행렬해석학의 맥락과는 전혀 다른, 볼록해석학의(convex analysis) 관점과 동기로부터 등장한 새로운 양의 정부호 행렬 평균인 ‘역핵평균’ 및 ‘매개화된 산술평균과 조화평균의 기하평균’을 대칭원추 상으로 확장하여 주요 특성들을 규명하는 것을 두 번째 연구목표로 설정하였다. 여기서 대칭원추는 유한차원인 경우를 의미한다.따라서 본 연구의 결과는 ‘자기쌍대성(self-duality)을 만족하는 PDM의 평균들을 대칭원추 상에서 일반화하는 작업의 완성’이라고 표현할 수 있다. 구체적으로 당초 연구목표에 따른 연차별 연구목표와 내용은 다음과 같았다.

■ 1차년도 : 2계 원추 상에서 No dice conjecture 해결
■ 2차년도 : (유한차원) 대칭원추 상에서 No dice conjecture 해결
■ 3차년도 : (유한차원) 대칭원추 상에서 ‘매개화된 산술평균과 조화평균의 기하평균’의 확장 및 특성규명
이와 비교하여 최종적으로 도출된 결과들을 요약하면 아래와 같다.

■ (유한차원) 대칭원추 상에서 No dice conjecture 해결
■ 무한차원 대칭원추 상에서 ‘역핵평균 및 매개화된 산술평균과 조화평균의 기하평균’의 확장 및 특성규명
을 함으로써 최초 연구목표를 초과하는 연구결과를 얻게 되었고, 또한 당초 목표 외에도 연구수행 과정에서 새롭게 유도된

■ (유한차원) 대칭원추 상에서 Karcher 평균과 로그-유클리드평균의 관계
■ 양의 정부호행렬로 구성된 대칭원추 상에서 역핵평균의 비확대성 (nonexpansiveness)을 밝히고 행렬방정식에의 응용 제시
■ 볼록 거리공간에서 이동평균(moving average) 성질규명 등
예상을 뛰어넘는 풍부하고 좋은 결과들을 도출하였다.