초록 ▼

함수해석학과 최적화론 분야의 연구자들의 학제간 연구를 통하여 변분부등식과 벡터 최적화문제에 관련된 최신 주제인 합성 쌍대성원리의 추상공간에의 확장 및 변분부등 식과 최적화문제에의 응용, 벡터 변분부등식에 대한 통합적 이론개발, 벡터 변분부등 식의 벡터 최적화문제에의 응용, 벡터 최적화문제의 최적조건, 대칭원추상의 상보성문 제를 연구한다.
변분부등식이 최적화문제와 미분방정식에서 중요한 역할을 한다는 점과 여러 개의 목적함수를 최적화하는 벡터 최적화문제가 갈등관계에 있는 의사결정문제에서 중요한 분석 도구가 된다는 것은 잘 알려져

함수해석학과 최적화론 분야의 연구자들의 학제간 연구를 통하여 변분부등식과 벡터 최적화문제에 관련된 최신 주제인 합성 쌍대성원리의 추상공간에의 확장 및 변분부등 식과 최적화문제에의 응용, 벡터 변분부등식에 대한 통합적 이론개발, 벡터 변분부등 식의 벡터 최적화문제에의 응용, 벡터 최적화문제의 최적조건, 대칭원추상의 상보성문 제를 연구한다.
변분부등식이 최적화문제와 미분방정식에서 중요한 역할을 한다는 점과 여러 개의 목적함수를 최적화하는 벡터 최적화문제가 갈등관계에 있는 의사결정문제에서 중요한 분석 도구가 된다는 것은 잘 알려져 있는 사실이다. 본 연구에서는 간단하고 이용하기 쉬운 수학적 도구을 사용하여 광범위한 경우에 적용할 수 있는 변분부등식과 벡터 최적화문제에 관련된 문제들을 다루되, 중요도와 난이도가 높은 것들을 중심으로 연구하였다. 우선, 합성 쌍대성원리를 변분부등식 방법론과 최적화이론에 적용하려 하였다. 또한 변분부등식의 확장인 벡터 변분부등식과 관련하여, 여러 가지 벡터 변분부등 식들을 통합적 관점에서 다룰 수 있는 선형작용소공간에서 정의되는 다가함수에 대한 벡터 변분부등식을 제시하였고 그 성질들을 연구하였다. 뿐만 아니라 해집합의 연결성(connectedness)이 벡터 최적화문제의 해 곡선 이해에 매우 중요한 역할을 한다는 사실을 토대로, 선형 분수 벡터 최적화문제의 해집합이 연결이기 위한 충분조건을 아핀 벡터 변분부등식을 이용하여 얻었다. 그리고 섭동된 벡터변분부등식을 포함하는 벡터 최적화문제의 필요 최적조건과 섭동된 변분부등식을 특수한 경우로 포함하는 매개화된 일반화된 방정식(parametric generalized equation)의 해집합 함수에 대한 민감도 분석을 연구하였다. 나아가서 볼록 벡터 최적화문제의 효율해에 있어 제약상정이 성립하기 힘든 예가 많이 있다는 점에 착안하여, 제약상정 조건 없이도 성립할 수 있는 볼록 벡터 최적화문제의 (약, 진성)효율해에 대한 수열적 라그랑쥬 최적조건과 해집합의 특성화에 대하여 연구하였고, reduction 정리를 얻어 비 볼록 벡터 최적화문제의 Hartly 진성 효율해에 대한 필요최적조건을 연구하였다. 또한 몇 가지 방향도함수의 계산이 쉽다는 사실을 이용하여 Clarke의 일반화된 미분과 지지함수를 포함하는 미분 불가능한 비선형 분수 벡터 최적화 문제들의 최적조건의 필요충분성을 밝히고 쌍대정리를 확립하였다. 마지막으로 ‘대칭원추 상에서의 상보성문제’(Symmetric cone complementarity problem)라는 수학적으로 흥미롭고 중요한 통합적 관점을 생각함으로써 SOCCP 및 SDCP(semidefinite complementarity problem)를 효과적으로 일반화 할 수 있는 이론적 기초에 대한 연구를 수행하였다.
본 연구는 간단한 합성 쌍대성원리에 의해 변분부등식과 최적화이론이 파악될 수 있 다는 사실을 보였다. 이 점은 수리경제학, Operation Research, 수송문제에서 중요한 역할을 하고 있는 변분부등식과 최적화문제의 알고리듬 연구에 본 연구가 응용될 수있다는 것을 의미한다. 본 연구에서는 여러 가지 벡터 최적화문제의 해에 대한 최적 조건들을 확립함과 아울러 벡터 변분부등식이 벡터 최적화문제를 연구하는 데 유용한 도구가 된다는 점을 명확하게 보여 주었다. 또한 조단대수에 기초한 트래이스 해석을 선보임으로써 간결하면서도 강력한 대수적 방법론을 제시하여 유클리드 조단대수 상에서 통합적으로 상보성문제에서의 메리트함수 기법을 최고로 발달시키는 역할을 한 성과를 얻었다. 본 연구의 가장 중요한 성과는 본 연구가 변분부등식과 벡터최적화문제, 그리고 상보성문제에 대한 통합적 연구의 전형으로 많은 학자들에게 받아 들여질 것이라는 데 있다.

Abstract ▼

New topics related to variational inequality and vector optimization problem were studied through the interdisciplinary cooperation among researchers in the fields of (nonlinear) functional analysis and optimization theory. The topics include the extension of composition duality principle to infinit

New topics related to variational inequality and vector optimization problem were studied through the interdisciplinary cooperation among researchers in the fields of (nonlinear) functional analysis and optimization theory. The topics include the extension of composition duality principle to infinite-dimensional spaces and its applications to variational inequality and optimization problem. They also contain a unified theory for vector variational inequalities, applications of vector variational inequality to vector optimization problems, the optimality conditions of vector optimization problems, and symmetric cone complementarity problem (SCCP).
It has been well known that variational inequality plays crucial roles in optimization problems and differential equations, and that vector optimization is an important analysis tool for decision making with conflict situations since it is the problem of optimizing several objective functions. In this research, we studied significant and difficult problems arising in variational inequality and vector optimization problem, which can be applied to broad areas by using simple and easy mathematical tools. To be more specific, we applied the composition duality principle to the method for variational inequality and optimization theory. To deal with several kinds of vector variational inequalities from a unified viewpoint, we proposed and developed vector variational inequalities for set-valued maps defined on the space of linear operators. It is very useful in understanding solution curves to identify the connectedness of solution sets of vector optimization problems. So we studied sufficient conditions for solution sets of fractional vector optimization problems to be connected by using affine vector variational inequalities. We investigated sensitivity analysis for the solution set map of a parametric generalized equation, which contains, as special cases, parametric variational inequality and necessary optimality conditions for vector optimization problem involving parametric vector variational inequality. Also due to an observation that there are so many convex vector optimization problems in which the constraint qualifications do not hold, we proved the sequential Lagrange optimality conditions
for such problems without any constraint qualification. We studied the characterizations of solution sets of such problems, and proving the reduction theorem, we obtained a necessary optimality condition for a Hartly properly efficient solution of a nonconvex vector optimization problem. Based on the fact that some directional derivatives are easy to calculate, we established optimality conditions and duality theorems for nondifferentiable nonlinear fractional vector optimization problems by using Clarke's subgradient and support functions.
Finally, we paid our special concern on the development of symmetric cone complementarity problem to unify SOCCP and SDCP in the framework of Euclidean Jordan algebra.
In this research, we showed that variational inequality and optimization theory can be derived from the simple composition duality principle. This means that our research will be applicable for getting the algorithms for variational inequality and optimization problems which play important roles in mathematical economics, operation research and transportation problems. Also we established optimality conditions for vector optimization problems and verified that vector variational inequality can be a useful tool for studying vector optimization problems. These facts explain that this research will make a significant contribution to the theory of variational inequality and vector optimization. Moreover, by exploiting trace argument and trace inequality, we provided a general scheme of merit function techniques for SCCP. The most important contribution is that many scholars will regard this research as a typical unified study on variational inequality, vector optimization, and symmetric cone complementarity problem.

목차 Contents

• Ⅰ. 연구계획 요약문...3
• 1. 국문요약문...3
• Ⅱ. 연구결과 요약문...4
• 1. 국문요약문...4
• 2. 영문요약문...5
• Ⅲ. 연구내용...6
• 1. 서론...6
• 2. 연구방법 및 이론...10
• 3. 결과 및 고찰...15
• 4. 결론...26
• 5. 인용문헌...27