초록 ▼

□ 연구의 목적 및 내용
리만 다양체 속의 완비 극소 부분 다양체에 대한 Bernstein 정리와 흡사한 정리를 증명함으로써 극소 부분 다양체의 기하학적이고 위상적인 특징에 대해 이해한다. 단위 공 속에 놓인 극소 부분 다양체에 관해 첫 번째 Steklov 고유값을 측정하고 극소 부분 다양체의 부피에 관한 측정을 한다. 또한 리만 다양체 속에 있는 극소 부분 다양체에서의 기하학적 해석(geometric analysis)을 통하여 대역적(global) 정리를 얻음으로써, 극소 초곡면 기하학적인 성질을 규명하는 것을 목표로 한다.

□ 연구의 목적 및 내용
리만 다양체 속의 완비 극소 부분 다양체에 대한 Bernstein 정리와 흡사한 정리를 증명함으로써 극소 부분 다양체의 기하학적이고 위상적인 특징에 대해 이해한다. 단위 공 속에 놓인 극소 부분 다양체에 관해 첫 번째 Steklov 고유값을 측정하고 극소 부분 다양체의 부피에 관한 측정을 한다. 또한 리만 다양체 속에 있는 극소 부분 다양체에서의 기하학적 해석(geometric analysis)을 통하여 대역적(global) 정리를 얻음으로써, 극소 초곡면 기하학적인 성질을 규명하는 것을 목표로 한다.

□ 연구결과
1. 저차원의 음이 아닌 곡률을 가지는 완비 리만 다양체 속의 완비 비옹골 초곡면 M이 델타 안정성 부등식을 만족하면 M 위에 L^2 조화 1-형식은 자명한 것 뿐이다.
2. 저차원의 유클리드 공간 속에 놓인 완비 비옹골 부분 다양체 M이 역시 델타 안정성 부등식을 만족하면 M 위에 L^2 조화 1-형식은 자명한 것 뿐이다.
3. 양이 아닌 유계인 곡률을 가지는 리만 다양체 속에 놓인 n차원 완비 초곡면이 델타 안정성 부등식을 만족할 국소적 조건을 구하였다.
4. 양이 아닌 곡률을 가지는 완비 단순 연결된 리만 다양체 속에 놓인 완비 초곡면이 델타 안정성 부등식을 만족할 대역적 조건을 구하였다.
5. 저차원의 음이 아닌 곡률을 가지는 완비 리만 다양체 속의 완비 비옹골 초곡면 M이 델타 안정성 부등식을 만족하면 M은 특정한 상수 p에 대하여 많아야 하나의 p-nonparabolic end를 가진다.
6. 저차원의 유클리드 공간 속에 놓인 완비 비옹골 부분 다양체 M이 역시 델타 안정성부등식을 만족하면 M은 특정한 상수 p에 대하여 많아야 하나의 p-nonparabolic end를 가진다.
7. 저차원의 유클리드 공간 속에 놓인 완비 비옹골 부분 다양체 M이 역시 델타 안정성부등식을 만족하면 p-harmonic L^q 함수는 자명한 것 밖에 없다. 여기서 p, q는 M의 차원에 의존하는 값으로서 나타난다.
8. 양이 아닌 곡률을 가지는 완비 단순 연결된 리만 다양체 속에 놓인 완비 초곡면이 델타 안정성 부등식을 만족할 대역적 조건을 구하였다.

□ 연구결과의 활용계획
양이 아닌 유계인 곡률을 가지는 완비 단순 연결된 리만 다양체 속에 놓인 완비 비옹골부분 다양체 M에 대하여 traceless 제 2 기본형식의 L^n 노음이 충분히 작고 제 1 고유값이 적당히 크면 M위의 L^2 조화 1-형식은 자명한 것 뿐임을 증명하였다. 따라서 완비 비옹골 부분 다양체의 위상적인 특성 연구에 활용가능성이 충분히 있다.

저차원의 유클리드 공간 속에 놓인 완비 비옹골 부분 다양체 M이 역시 델타 안정성 부등식을 만족하면 p-harmonic L^q 함수는 자명한 것 밖에 없고. 여기서 p, q는 M의 차원에 의존하는 값으로서 나타난나는 사실을 얻었다. 이 사실은 기존의 일반적인 조화함수에 대한 이해를 높인 것으로써 완비 비옹골 부분 다양체의 해석학 연구에 활용될 수 있을 것으로 기대한다.

( 출처 : 요약문 5p )

Abstract ▼

□ Purpose&contents
The aim of the present study is to prove geometric inequalities on minimal submanifolds in a Riemannian manifold and Bernstein-type theorems for complete minimal submanifolds under new geometric assumptions, thereby to understand geometric and topological properties of minimal

□ Purpose&contents
The aim of the present study is to prove geometric inequalities on minimal submanifolds in a Riemannian manifold and Bernstein-type theorems for complete minimal submanifolds under new geometric assumptions, thereby to understand geometric and topological properties of minimal submanifolds in a Riemannian manifold. Moreover, this study aims to prove a characterization theorem for minimal submanifolds in the unit ball, which can provide new geometric inequalities containing the geometric informations. Finally we aims to obtain global theorems for minimal submanifolds by use of geometric analysis.

□ Result
1. Let $M$ be an $n$-dimensional complete orientable noncompact hypersurface in a complete Riemannian manifold of nonnegative sectional curvature. For $2＼leq n ＼leq 6$, we prove that if $M$ satisfies the $＼delta$-stability inequality ($0< ＼delta ＼leq 1$), then there is no nontrivial $L^{2＼beta}$ harmonic $1$-form on $M$ for some constant $＼beta$. We also provide sufficient conditions for complete hypersurfaces to satisfy the $＼delta$-stability inequality. Moreover, we prove a vanishing theorem for $L^2$ harmonic $1$-forms on $M$ when $M$ is an $n$-dimensional complete noncompact submanifold $M$ in a complete simply-connected Riemannian manifold $N$ with sectional curvature $K_N$ satisfying that $-k^2 ＼leq K_N ＼leq 0$ for some constant $k$.

2. Let $M$ be an $n(＼geq 3)$-dimensional closed hypersurface in a unit sphere with constant $m$-th order mean curvature and with two distinct principal curvatures. We obtain a sharp curvature integral for $M$ in terms of Ricci curvature, which gives a characterization of a Clifford hypersurface. Moreover we give a generalization of Simons' integral inequality for closed hypersurface with vanishing $m$-th order mean curvature by making use of the Laplacian of the function of principal curvatures.

3. The PI study the connectedness at infinity of complete submanifolds by using the theory of $p$-harmonic function. For lower-dimensional cases, we prove that if $M$ is a complete orientable noncompact hypersurface in $＼RR^{n+1}$ and $＼delta$-stability inequality holds on $M$, then $M$ has at most one $p$-nonparabolic end. It is also proved that if $M^n$ is a complete noncompact submanifold in $＼mathbb{R}^{n+k}$ with sufficiently small $L^n$-norm of the traceless second fundamental form, then $M$ has at most one $p$-nonparabolic end. Moreover, we obtain a lower bound of the fundamental tone of the $p$-Laplace operator on complete submanifolds in a Riemannian manifold.

□ Expected Contribution
Since the results and methods associated with the research proposed here will utilize basically global geometric analysis, the PI expects that the research will contribute to a potentially broad range of areas, such as nonlinear partial differential equations, harmonic analysis, and topology of complete/compact manifolds. Minimal submanifold theory which will be developed by the proposed research has also a potential impact on theoretical physics, such as general relativity and black hole theory. Furthermore, optimization of the global shape in various space will provide mathematical basis for the feasibility of geometric construction/modelling in engineering. Besides intellectual merits, the proposed work has a potentially significant impact on education by developing related graduate courses and managing undergraduates/graduates research program.

( 출처 : SUMMARY 6p )

목차 Contents

• 표지 ... 1목차 ... 3연구계획 요약문 ... 4연구결과 요약문 ... 5 한글요약문 ... 5 SUMMARY ... 6연구내용 및 결과 ... 7 1. 연구개발과제의 개요 ... 7 2. 국내외 기술개발 현황 ... 7 3. 연구수행 내용 및 결과 ... 9 4. 목표달성도 및 관련분야에의 기여도 ... 12 5. 연구결과의 활용계획 ... 14 6. 연구과정에서 수집한 해외 과학기술정보 ... 15 7. 참고문헌 ... 15 8. 연구성과 ... 15 9. 국가과학기술지식정보서비스에 등록한 연구시설‧장비 현황 ... 16 10. 연구개발과제 수행에 따른 연구실 등의 안전조치 이행실적 ... 16 11. 기타사항 ... 17끝페이지 ... 17