초록 ▼

주식 등 기초 자산들의 가격변동위험이 크게 증대되고 있는 금융시장에서 자산 가격의 움직임은 블랙-숄즈의 모형처럼 확률 분포 함수가 로그정규분포를 따르지 않고 좀 더 복잡한 양상을 지닌다. 그러므로 해외 선진 금융 솔루션 업체들은 이미 블랙-숄즈 모형에 적분항을 도입한 새로운 이론인 점프-확산 모형의 적분-편미분 방정식수리 모형을 파생상품 가격 결정 및 헷징 기법에 활용하고 있으므로 이에 대한 연구가 필요한바, 본 연구에서는 이와 관련된 수치계산 알고리즘의 개발 및 이에 관한 수학적 해석을 했다.

점프-확산 적분-편미분

주식 등 기초 자산들의 가격변동위험이 크게 증대되고 있는 금융시장에서 자산 가격의 움직임은 블랙-숄즈의 모형처럼 확률 분포 함수가 로그정규분포를 따르지 않고 좀 더 복잡한 양상을 지닌다. 그러므로 해외 선진 금융 솔루션 업체들은 이미 블랙-숄즈 모형에 적분항을 도입한 새로운 이론인 점프-확산 모형의 적분-편미분 방정식수리 모형을 파생상품 가격 결정 및 헷징 기법에 활용하고 있으므로 이에 대한 연구가 필요한바, 본 연구에서는 이와 관련된 수치계산 알고리즘의 개발 및 이에 관한 수학적 해석을 했다.

점프-확산 적분-편미분 방정식: 아래의 초기치 및 경계치는 풋 옵션에 해당함. 치환 변수 수식.

수식

본 연구의 성과 결과는 위의 점프-확산 적분-편미분 방정식 (integro-partial differential equation, PIDE)의 해인 옵션가격 u(τ,s)뿐만 아니라 그 미분값인 델타헷징 υ(τ,s)=∂u(τ,x(s))/∂s 빠르고 정확하게 계산하는 알고리즘의 개발한 것이다. 옵션가격 계산을 위해서는 유한 차분법을 그리고 델타헷징 계산을 위해서는 혼합유한 요소법을 사용하는 두 앨고리즘을 개발했다.

옵션 가격 계산을 위한 유한차분 알고리즘: 시간 변수 τ는 세 층 τⁿ⁺¹, τⁿ, τ^n-1 을 사용하되 n층을 기준으로 이산화를 했으며 자산 변수 s의 치환 변수 x는 세점 x_m-1, x_m, x_m+1을 사용하여 이산화 하는 유한차분법(finite difference)을 사용했다. 기존 알고리즘은 꽉찬(full) 계수 행렬은 만들지만 개발한 알고리즘은 세 대각(tri-diagonal) 계수행렬을 만드는 것이 큰 장점이다. 즉, 이것이 빠른 계산과 정확성을 보장한다. 시간 변수 및 자산 변수에 대한 2차 수렴지수 O((Δτ)²)+O((Δx)²)를 증명했고, 컴퓨터 시뮬레이션이 이 결과를 보여 준다.

델타헷징 계산을 위한 혼합유한요소 알고리즘 (아래의 얻어진 연구성과에 대한 논문은 집필중에 있음): 시간 변수 τ는 두 층 τⁿ, τ^n-1을 사용하는 오일러 방법을 사용하여 이산화 하되, 미분 연산자는 n층에서 그러나 적분 연산자는 n-1층에서 이산화 했다. 이렇게 적분 연산자를 1층에서 산화한 이유는 세 대각 계수행렬을 얻기 위함이다. 즉, 변형된 오일러 후진 방법 (modified Euler backward method)을 사용한다.
일반적인 유한 요소법에서는 델타헷징 ∂u/∂x 값으리 계산을 옵션가격 u(τ, x)를 계산한 후에 격자점에서의 이들 값을 사용하므로 그 수렴지수가 1 감소된다. 그러나 혼합유한요소법 (mixed finite element method) 를 사용하는 본 연구 결과는 수렴지수 감소 없이 옵션 가격과 델타헷징 갑은 같은 수렴지수 2를 갖는다. uⁿ(x)≈U_iⁿ의 유한요소 공간의 기저함수는 해당 부분구간에서 상수 1을 갖고 전체 구간에서 연속이 아닌 함수 ψ₁,ψ₂⋯, ψ_M로 택한다. 그리고 ∂uⁿ/∂x ≈ V_mⁿ의 유한요소공간의 기저함수는 부분 구간에서 1차함수인 이며 전체구간에서 연속인 햍(hat) 함수 ϕ₁,ϕ₂⋯, ϕ_N+1으로 택한다.

요약: 점프-확산 모형에서
- 옵션가격의 정확성이 필요한 경우에는 이에 대한 2차 수렴 지수를 갖는 유한차분 알고리즘을 추천함.
- 델타헷징의 정확성이 필요한 경우에는 이에 대한 2차 수렴 지수를 갖는 혼합유한요소 알고리즘을 추천함.

(출처 : 연구결과 요약문 3p)

목차 Contents

• 표지 ... 1목차 ... 2Ⅰ. 연구결과 요약문 ... 3Ⅱ. 연구내용 및 결과 ... 4 1. 연구과제의 개요 ... 4 2. 국내외 기술개발 현황 ... 4 3. 연구수행 내용 및 결과 ... 4 4. 목표 달성도 및 관련 분야에의 기여도 ... 6 5. 연구결과의 활용계획 ... 6 6. 연구과정에서 수집한 해외과학기술정보 ... 6Ⅲ. 연구성과 ... 7끝페이지 ... 8