초록 ▼

□ 연구의 목적 및 내용
본 연구의 목적은 대수곡면의 옹골찬 모듈라이 공간을 건설하는 주요한 두 방법인 기하학적인 불변이론과 쌍유리 기하학적 방법의 관계를 이해하고, 대수곡면의 변형이론, 대수적 구조를 연구하여 새로운 일반형 대수곡면의 건설과 특별한 대수곡면의 모듈라이 공간의 건설에 응용하는데 있다. 연구 수행에 대수기하학의 여러 방법(A) 옹골찬 대수곡선의 모듈라이 공간의 연구 (B) 구체적인 기하학적인 불변이론의 계산 (C) Q-Gorenstein 변형이론(D) 고차원 대수다양체 이론 (E) K-stability, slop

□ 연구의 목적 및 내용
본 연구의 목적은 대수곡면의 옹골찬 모듈라이 공간을 건설하는 주요한 두 방법인 기하학적인 불변이론과 쌍유리 기하학적 방법의 관계를 이해하고, 대수곡면의 변형이론, 대수적 구조를 연구하여 새로운 일반형 대수곡면의 건설과 특별한 대수곡면의 모듈라이 공간의 건설에 응용하는데 있다. 연구 수행에 대수기하학의 여러 방법(A) 옹골찬 대수곡선의 모듈라이 공간의 연구 (B) 구체적인 기하학적인 불변이론의 계산 (C) Q-Gorenstein 변형이론(D) 고차원 대수다양체 이론 (E) K-stability, slope stability 등과 같은 새로운 기하학적 불변 이론 등을 종합적으로 사용하였다.

□ 연구결과
본 연구를 수행하는 동안 연구책임자는 4편(3편은 SCI(E) 저널에 게재 또는 게재승인, 1편은 투고 중)의 논문 결과를 얻었고 1편의 논문은 완성 단계에 있다. 그리고 연구조원(지도 대학원생)들 단독으로 3편의 논문을 완성하도록 지도하였다. 연구기간 동안 박사 1인과 석사 2인을 양성하였다.

구체적으로 본 연구에서 다음의 결과를 얻었다.
(i) Stability of hypersurface sections of quadric threefolds
(ii) On subfields of the function field of a general surface in P^3
(iii) On rational maps from the product of two general curves
(iv) Exceptional collections on Dolgachev surfaces associated with degenerations
(v) Q-Gorenstein deformation theory over a field with any characteristic

연구조원 단독연구:
(i) Stability of nets of quadrics in P^5 and associated discriminants
(ii) A bound for the Milnor sum of projective plane curves in terms of GIT
(iii) Slices of Okounkov bodies of big divisors on Mori dream spaces

□ 연구결과의 활용계획
대수곡면의 연구는 오랜 역사동안 진행되었고 최근에는 대수곡면의 모듈라이 공간의 연구도 활발하지만, 여전히 기하종수가 0인 일반형 대수곡면의 분류도 되어 있지 않고 대수곡면의 모듈라이 공간 연구는 중요하지만 대수곡선과 비교하면 연구가 시작 단계이다. 본 연구는 특별한 대수곡면들의 존재성, 옹골찬 모듈라이 공간의 이해 등의 문제에 도움을 준다. 양의 표수 체위의 대수곡면, 4차원다양체의 연구도 본 연구와 직접관련이 있다.

본 연구에서 얻은 연구방법인 GIT계산, 대수곡면의 함수 체를 이해하기 위하여 적용한 대수곡선의 변형이론, 대수곡면의 분류이론, Hodge이론, Q-Gorenstein 변형이론과 변형이론을 통한 line 속들의 이해 등을 미래의 연구에 적용하려고 한다.

( 출처 : 요약문 4p )

Abstract ▼

□ Purpose&contents
The goal of this project is to understand the relation between two main methods,which are geometric invariant theory and birational geometry method, of the construction of compact moduli of surfaces. We also study deformation theory and algebraic structures of algebraic surface

□ Purpose&contents
The goal of this project is to understand the relation between two main methods,which are geometric invariant theory and birational geometry method, of the construction of compact moduli of surfaces. We also study deformation theory and algebraic structures of algebraic surfaces to construct new examples of surfaces of general type and to construct moduli of special algebraic surfaces.

We use several techniques and theories from many different facets of algebraic geometry (A) compact moduli spaces (B) Explicit GIT computations (C) Q-Gorenstein deformation theory (D) higher dimensional algebraic varieties (E) New geometric invariant theories including K-stability, slope stability

□ Result
During the research project, P.I. carried out 4 papers (3 papers are published or a pproved in SCI(E) journals) and one paper is near to complete. P.I. guided research assistants to publish 3 papers only with their names. One Ph.D. and two mater degree were given during this project.

More explicitly the following results are obtained:
(i) Stability of hypersurface sections of quadric threefolds
(ii) On subfields of the function field of a general surface in P^3
(iii) On rational maps from the product of two general curves
(iv) Exceptional collections on Dolgachev surfaces associated with degenerations
(v) Q-Gorenstein deformation theory over a field with any characteristic

Research assistants’ works:
(i) Stability of nets of quadrics in P^5 and associated discriminants
(ii) A bound for the Milnor sum of projective plane curves in terms of GIT
(iii) Slices of Okounkov bodies of big divisors on Mori dream spaces

□ Expected Contribution
Study on algebraic surfaces has a ling history and is very active recently. But the classification of algebraic surfaces of general type with geometric genus 0 is still incomplete. Study on moduli of algebraic surfaces is just started as compared to moduli of curves. Our study helps to show the existence of algebraic surfaces with special invariant, to understand compact moduli spaves of algebraic surfaces. Study on algebraic surfaces over positive characteristics and four manifolds are also related to our research.

Deformation theory of curves, classification theory of algebraic surfaces, Hodge theory to understand function fields of algebraic surfaces, GIT computation,Q-Gorenstein deformation theory and understanding of line bundles via deformation theory will be used in future research.

( 출처 : SUMMARY 5p )

목차 Contents

• 표지 ... 1목차 ... 2연구계획 요약문 ... 3연구결과 요약문 ... 4 한글요약문 ... 4 SUMMARY ... 5연구내용 및 결과 ... 6 1. 연구개발과제의 개요 ... 6 2. 국내외 기술개발 현황 ... 7 3. 연구수행 내용 및 결과 ... 9 4. 목표달성도 및 관련분야에의 기여도 ... 11 5. 연구결과의 활용계획 ... 13 6. 연구과정에서 수집한 해외 과학기술정보 ... 14 7. 주관연구책임자 대표적 연구실적 ... 14 8. 참고문헌 ... 15 9. 연구성과 ... 16 10. 국가과학기술지식정보서비스에 등록한 연구시설‧장비 현황 ... 23 11. 연구개발과제 수행에 따른 연구실 등의 안전조치 이행실적 ... 23 12. 기타사항 ... 23별첨 ... 24끝페이지 ... 41