Cryo-EM 영상분석을 통한 단백질 형태 변형에 관한 수학적 모델링 Mathematical Modeling in Cryo-EM imaing for the detection of conformational changes in flexible protein structures원문보기
보고서 정보
주관연구기관
울산과학기술원 Ulsan National Institute of Science and Technology
연구의 목적 및 내용 연구의 목적은 3차원 Flexible 단백질의 2차원 사영영상들을 통하여 3차원 구조의 변형에 관한 수학적 모델링입니다. 알 수 없는 3차원 공분산행렬의 고유벡터를 2차원 공분산행렬들로부터 근사하는 문제인데, 제일 중요한 고유벡터 2~3개가 대부분의 변형을 설명하는 것으로 이해가 됨으로 인해, 우선 제일 중요한 고유벡터를 찾는 것이 연구의 목적입니다. 제일 중요한 고유벡터를 찾기 위하여 연산자노름을 사용하여 최적화 모델을 구현하였습니다. 또한, 공분산행렬의 고유벡터를 찾는 문제와 관련하여 조건부 최적화 문
연구의 목적 및 내용 연구의 목적은 3차원 Flexible 단백질의 2차원 사영영상들을 통하여 3차원 구조의 변형에 관한 수학적 모델링입니다. 알 수 없는 3차원 공분산행렬의 고유벡터를 2차원 공분산행렬들로부터 근사하는 문제인데, 제일 중요한 고유벡터 2~3개가 대부분의 변형을 설명하는 것으로 이해가 됨으로 인해, 우선 제일 중요한 고유벡터를 찾는 것이 연구의 목적입니다. 제일 중요한 고유벡터를 찾기 위하여 연산자노름을 사용하여 최적화 모델을 구현하였습니다. 또한, 공분산행렬의 고유벡터를 찾는 문제와 관련하여 조건부 최적화 문제를 조건이 없는 비구속 최적화 문제로 바꾸어 푸는 연구 또한 함께 진행하였습니다.
연구결과 연산자노름을 포함하는 함수를 제안하고, 그 함수의 최솟값을 찾는 알고리듬을 분석하였습니다. 방대한 양의 데이터를 다루어야 하므로, 선형 수렴이 현실적이라는 가정 하에, 경사하강법이 실제 원하는 해로 수렴을 하는 지를 연구하였습니다. 그 결과 실제 원하는 해로 수렴을 하는 것은 아직 밝히지 못하였지만, 약한 조건 하에서 경사하강법이 어떠한 결과값으로 수렴을 하는 것을 증명하였습니다. 또한, 고유벡터를 찾는 비구속 최적화 문제에 관하여는, 볼록 함수가 아님에도 불구하고, 최소가 아닌 극소값이 없음을 증명하였고, 이로 인하여 선형 수렴의 경우 경사하강법을 통하여 실제 최소값을 가지는 해로 수렴함을 증명하였습니다. 뉴턴방식을 통한 알고리듬의 경우, 생성되는 수열의 노름이 수렴하는 것과 그 수열 자체가 수렴하는 것이 동치임을 증명하였습니다. 더욱이, 같은 형태의 함수와 계산 방법을 통하여 다양한 분야의 문제들(일반화된 고유벡터 문제, Laplacian의 고유함수 문제, 비선형 연산자의 고유함수 문제등)에 적용하고, 그 수렴성 또한 얻을 수 있음을 보였습니다.
연구결과의 활용계획 고유벡터를 찾는 비구속 최적화 문제를 제안하였고, 분석을 하였으므로, 이 연구의 최종 목표인 공분산행렬의 고유벡터를 찾는 문제에 적용하여, 궁극적인 목표인 단백질의 형태 변화를 수학적으로 분석하는 일을 완성할 예정입니다. 더욱이, 3차원의 경우 계산양이 너무 많아 수학적 분석의 내용을 수치적으로 확인하는데 어려움이 있으므로, 2차원의 경우로 차원을 낮추어서, 같은 형태의 문제를 분석하고, 결과를 도출하여, 수치적 방법 또한 해석적 방법을 잘 반영하고 올바를 해를 계산할 수 있음을 추가적으로 연구할 예정입니다.
(출처 : 요약문 4p)
Abstract▼
Purpose& contents The main purpose of the project is to model the conformational changes in 3D flexible protein structures using 2D projection images. Mathematically, this is a problem of estimating eigenvectors of a 3D unknown covariance matrix with its 2D versions on the planes perpendicular to
Purpose& contents The main purpose of the project is to model the conformational changes in 3D flexible protein structures using 2D projection images. Mathematically, this is a problem of estimating eigenvectors of a 3D unknown covariance matrix with its 2D versions on the planes perpendicular to the direction along which we obtain projection images. I proposed an optimization problem using the operator norm to find the eigenvector corresponding to the largest eigenvalue of the unknown covariance matrix. Moreover, I did research on an unconstrained minimization problem of finding eigenvectors of a symmetric matrix.
Result I proposed a functional involving the operator norm and analyzed a minimization algorithm for the functional. Due to a large amount of data, assuming that linear convergence is the best that we can hope for, I performed the convergence of the gradient descent method to the true eigenvector. Despite the fact that the convergence has not been resolved, I proved that the algorithm converges under mild conditions. In addition, when it comes to the unconstrained problem to find an eigenvector of the unknown 3D covariance matrix, I proved that a local minimizer is a global minimizer and that the gradient descent method finds a global minimizer even though the functional to be minimized is not convex. I also proved that the sequence generated by the Newton’s method converges if and only if their norms converge. Moreover, I applied the same framework to various problems such as generalized eigenvalue problems, eigenfunctions of the Laplace operator and of nonlinear differential operators and obtained the same results as those that I obtained for matrices.
Expected Contribution The unconstrained minimization problem that I proposed will help me obtain positive answers to the problem of finding eigenvectors of the unknown covariance matrix. Since there are a few difficulties in dealing with the full 3D data due to its size, I would like to consider a 2D version of the problem and to confirm the same results that I expect to obtain for the 3D case via analytical and numerical approaches.
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