초록 ▼

Combinatorial group theory 분야의 가장 delicate한 technique 중 하나인 small cancellation theory라는 강력한 geometric technique을 이용하여,
∙ 2-bridge knot group 사이의 epimorphism들의 complete classification
∙ even Heckoid orbifold의 2-bridge sphere 위에서의 두 개의 essential simple loop들이 homotopically equivalent 되기 위한 필요충분조

Combinatorial group theory 분야의 가장 delicate한 technique 중 하나인 small cancellation theory라는 강력한 geometric technique을 이용하여,
∙ 2-bridge knot group 사이의 epimorphism들의 complete classification
∙ even Heckoid orbifold의 2-bridge sphere 위에서의 두 개의 essential simple loop들이 homotopically equivalent 되기 위한 필요충분조건 찾기
∙ 구체적이고 명확한 presentation을 가지는 2-generator non-residually finite group의 construction 등과 같은 low dimensional topology와 geometric group theory 분야의 미해결 문제에 해답을 제시하는 것이 본 종료과제의 연구목표였다. 연구기간 동안 제시된 연구목표를 성공적으로 수행하여 본 연구자가 주저자임과 동시에 교신저자인 논문을 각각 21페이지, 33페이지, 22페이지, 18페이지의 분량으로 모두 네편 완성하였다. 그 중 세 편의 논문은 SCI저널인 Journal of Knot Theory and Its Ramifications에 출판되었고, 한 편의 논문은 SCI저널에 투고 중이다.

첫 번째 연구목표에 관해서, 본 종료과제에 앞서 본 연구자는 Sakuma 교수와 공동연구로 두 개의 2-bridge link group 사이에 upper meridian pair를 보존하는 epimorphism을 완전히 classify 한 바 있다. 가장 이상적으로는 upper meridian pair를 보존한다는 조건 없이 완전히 classify 하는 것인데, 2-bridge link를 2-bridge knot으로 제한하면 완전히 classification 하는 것이 가능할지 모른다는 일련의 근거에서 본 연구는 시작되었다. 그러나 초고로 완성된 논문의 길이가 50페이지를 넘어섬에 따라 우선 2-bridge knot group에서 twist knot group으로의 epimorphism의 complete classification을 다룬 논문을 21페이지 분량으로 완성하였다.

두 번째 연구목표에 관해서, 충분조건은 hyperbolic geometric technique을 변형한 방법으로 증명하였고, 또한 그 충분조건이 사실상 필요조건도 됨을 combinatorial group theory를 이용하여 증명하였다. 우선 even Heckoid group의 conjugacy problem 문제는 이 group이 one-relator group with torsion이므로 Newman의 Spelling Theorem을 도구로 시도해 볼 수도 있겠으나, 본 연구에서는 even Heckoid group의 upper presentation 위에서의 conjugacy diagram의 structure를 분석하여, conjugate인 두 개의 element들의 특징을 찾아내어 conjugacy problem을 완전히 해결하였다.

세 번째 연구목표에 관한 연구는 geometric group theory 분야에서 대표문제 중 하나인 hyperbolic group(혹은 word hyperbolic group 또는 Gromov-hyperbolic group으로 불림)은 반드시 residually finite인가 하는 질문의 연장선에 놓인 연구이다. 이 질문에 대한 학계의 지배적인 의견은 부정적이나 그 반례를 찾아내는 과정에 관해서는 현재까지 아무런 실마리를 얻지 못하고 있다. 심지어 일반적인 group으로 확장하더라도 구체적이면서 명확한 finite presentation을 가지는 non-residually finite인 group은 찾기가 쉽지 않다. 이에 본 연구에서는 1-relator group인 2-bridge link group의 relator의 특성을 분석하여, 구체적이고 명확한 2-generator presentation을 가지는 non-residually finite인 group을 construct 하였고, 특히 이 group이 C(4)-T(4) small cancellation condition도 만족함을 증명하였다.

(출처 : 연구결과 요약문 3p)

목차 Contents

• 표지 ... 1
• 목차 ... 2
• Ⅰ. 연구결과 요약문 ... 3
• Ⅱ. 연구내용 및 결과 ... 4
• 1. 연구과제의 개요 ... 4
• 2. 국내외 기술개발 현황 ... 4
• 3. 연구수행 내용 및 결과 ... 4
• 4. 목표 달성도 및 관련 분야에의 기여도 ... 5
• 5. 연구결과의 활용계획 ... 6
• 6. 연구과정에서 수집한 해외과학기술정보 ... 6
• Ⅲ. 연구성과 ... 7
• 끝페이지 ... 7